ラプラス変換へんかんの入口いりぐち

導入どうにゅう

この講義こうぎで最重要さいじゅうようなのは、ラプラス変換へんかんは微分方程式びぶんほうていしきを積分せきぶんを含ふくむ別べつの式しきに移うつすだけでなく、微分びぶんを代数的だいすうてきな操作そうさへ変かえて初期条件しょきじょうけんを一緒いっしょに処理しょりできることです。

用語ようごと定義ていぎ

ラプラス変換へんかんLaplace transform は

で定義ていぎされます。

方針ほうしん

時間じかんに関かかる関数かんすうをそのまま解とくのではなく、変換へんかんして $$s$$s の式しきへ移うつし、代数的だいすうてきに整理せいりしてから逆ぎゃく変換へんかんで戻もどす、と考かんがえます。

直感的ちょっかんてきな説明せつめい

微分方程式びぶんほうていしきが難むずかしいのは、関数かんすうとその導関数どうかんすうが同時どうじに出でるからです。ラプラス変換へんかんは、それを $$F\left(s\right)$$F(s) という 1 つの対象たいしょうへまとめて移うつし、微分びぶんを掛かけ算ざんへ変かえます。

厳密げんみつな説明せつめい

重要じゅうような性質せいしつは

です。ただし $$F\left(s\right)=\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("mathcal")")]}L\left[f\right]\left(s\right)$$F(s)=\mathcal{L}[f](s) です。

これがなぜ成なり立たつかを部分積分ぶぶんせきぶんで確たしかめます。

で、$$u=e^{-st},dv=f^{\prime }\left(t\right)dt$$u=e^{-st},\ dv=f'(t)\,dt と置おくと

です。ここで $$e^{-st}f\left(t\right)\to 0$$e^{-st}f(t)\to 0 が成なり立たつだけ十分じゅうぶんに収束しゅうそくするとすれば

だから

を得えます。

したがって

を変換へんかんすると

です。よって

となり、逆ぎゃく変換へんかんで

を得えます。

具体例ぐたいれい

微分方程式びぶんほうていしきそのものでは導関数どうかんすうが主役しゅやくですが、ラプラス変換へんかんした後あとは $$F\left(s\right)$$F(s) についての分数式ぶんすうしきになります。ここが「解析かいせきの問題もんだいを代数だいすうの問題もんだいへ移うつす」という核心かくしんです。

別べつの見方みかた

見分みわけ方かた

• 初期値しょきちつきの線形せんけい微分方程式びぶんほうていしきが出でたらラプラス変換へんかんを疑うたがう
• 微分びぶんを掛かけ算ざんに変かえたいときに向むく
• 周波数分解しゅうはすうぶんかいそのものが主役しゅやくならフーリエ変換へんかん、初期条件しょきじょうけんつきの方程式ほうていしきならラプラス変換へんかんを先さきに考かんがえる

どこまで成なり立たつか

ここで使つかった

は、部分積分ぶぶんせきぶんが正当化せいとうかでき、かつ $$e^{-st}f\left(t\right)$$e^{-st}f(t) が無限遠むげんえんで 0 に行いく範囲はんいで成なり立たちます。したがって、どんな関数かんすうにも無条件むじょうけんに使つかえるわけではありません。

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