解とけない微分方程式びぶんほうていしきをどう扱あつかうか：解析解かいせきかい・数値解すうちかい・定性的解析ていせいてきかいせきの役割分担やくわりぶんたん

導入どうにゅう

このページの核心かくしんは、「解とけない」を「初等関数しょとうかんすうで閉とじた式しきに表現ひょうげんできない」という限定的げんていてきな意味いみとして扱あつかい、存在そんざい・近似きんじ・挙動きょどうの解析かいせきを分離ぶんりすることである。

三みっつの役割やくわり

なぜこの方針ほうしんを選えらぶのか

微分方程式びぶんほうていしきの実用じつようでは、閉とじた式しきよりも、解かいの存在そんざい、安定あんていか不安定ふあんていか、長時間ちょうじかんで発散はっさんするか、数値的すうちてきに信頼しんらいできるかが重要じゅうようになる。解析解かいせきかいがない場合ばあいに数学すうがくが停止ていしするわけではない。

最初さいしょに判定はんていすること

解法かいほうを探索たんさくする前まえに、問題もんだいを次つぎの順序じゅんじょで判定はんていする。

この順序じゅんじょを採用さいようする理由りゆうは、解析解かいせきかいの探索たんさくだけに固執こしつすると、存在そんざいしている解かいや安定性あんていせいの情報じょうほうを逸失いっしつするためである。閉とじた式しきは有用ゆうようだが、唯一ゆいいつの到達点とうたつてんではない。

具体例ぐたいれい 1：解析解かいせきかいより存在そんざいを先さきに確認かくにんする

は初等的しょとうてきな標準解法ひょうじゅんかいほうへ直接ちょくせつは接続せつぞくしない。しかし $$f(x,y)=x^2+y^2$$f(x,y)=x^2+y^2 は滑なめらかであるため、局所的きょくしょてきに一意解いちいかいが存在そんざいする。Euler 法ほうや Runge-Kutta 法ほうで近似きんじでき、方向場ほうこうばにより正せいの領域りょういきでは増加傾向ぞうかけいこうが強つよまることも確認かくにんできる。

ここで重要じゅうようなのは、標準解法ひょうじゅんかいほうに接続せつぞくしないことと、数学的すうがくてきに扱あつかえないことが同義どうぎではない点てんである。存在そんざい・一意性いちいせいを定理ていりで確認かくにんし、数値解すうちかいで近似きんじし、方向場ほうこうばで傾向けいこうを判定はんていする、という役割分担やくわりぶんたんが成立せいりつする。

具体例ぐたいれい 2：長時間挙動ちょうじかんきょどうを優先ゆうせんする場合ばあい

は分離形ぶんりけいとして積分せきぶんできるが、実際じっさいには平衡解へいこうかい $$y=-1,0,1$$y=-1,0,1 と符号ふごうの判定はんていだけで多おおくの情報じょうほうを得える。右辺うへんを $$g\left(y\right)=y(1-y^2)$$g(y)=y(1-y^2) とおくと、$$0<y<1$$0<y<1 では $$g\left(y\right)>0$$g(y)>0、$$y>1$$y>1 では $$g\left(y\right)<0$$g(y)<0 である。したがって $$y=1$$y=1 は安定あんてい、$$y=0$$y=0 は不安定ふあんていと判定はんていされる。

閉とじた式しきを得える前まえに、位相線いそうせんだけで長時間ちょうじかんの吸引先きゅういんさきを推定すいていできる。この例れいは、定性的解析ていせいてきかいせきが解析解かいせきかいの代用品だいようひんではなく、別べつの目的もくてきを持もつ解析かいせきであることを示しめす。

誤用ごようしやすい点てん

• 解析解かいせきかいが得えられないことを、解かいが存在そんざいしないことと混同こんどうしてはならない。
• 数値解すうちかいは近似きんじであり、誤差ごさと安定性あんていせいの確認かくにんを省略しょうりゃくしてはならない。
• 方向場ほうこうばは厳密証明げんみつしょうめいではなく、挙動きょどうの推定すいていと仮説形成かせつけいせいに用もちいる。

どこまで成なり立たつか

このページの役割分担やくわりぶんたんは、解析解かいせきかい・数値解すうちかい・定性的解析ていせいてきかいせきを混同こんどうしないための基本方針きほんほうしんである。ただし、解析解かいせきかいが存在そんざいしないことを証明しょうめいする作業さぎょうは一般いっぱんに難むずかしく、初学段階しょがくだんかいでは「標準解法ひょうじゅんかいほうに接続せつぞくしない」と「閉とじた式しきが存在そんざいしない」を同一視どういつししない姿勢しせいが重要じゅうようである。

数値解すうちかいは計算けいさんできる点てんで強力きょうりょくだが、刻幅きざみはば、丸まるめ誤差ごさ、安定性あんていせいに依存いぞんする。定性的解析ていせいてきかいせきは全体像ぜんたいぞうを把握はあくする手段しゅだんだが、局所線型化きょくしょせんけいかや符号判定ふごうはんていだけで大域挙動たいいききょどうを完全かんぜんに決定けっていできるとは限かぎらない。目的もくてきに応おうじて、証明しょうめい、近似きんじ、挙動判定きょどうはんていを分担ぶんたんさせることが必要ひつようである。

次つぎに参照さんしょうするページ

存在そんざいと一意性いちいせいの保証ほしょうを確認かくにんするなら、初期値問題しょきちもんだいの存在そんざい・一意性いちいせいを先さきに確認かくにんする。数値解すうちかいへ進すすむなら、方向場ほうこうばと Euler 法ほう、さらに Runge-Kutta 法ほうと陰的方法いんてきほうほうを参照さんしょうする。

演習えんしゅうリンク

関連かんれんリンク