ラプラス変換へんかん・級数きゅうすう・モデル化かへの接続せつぞく

導入どうにゅう

このページの核心かくしんは、常微分方程式じょうびぶんほうていしきの学習がくしゅうを初等解法しょとうかいほうで閉とじず、ラプラス変換へんかん・級数解法きゅうすうかいほう・Fourier 法ほう・物理ぶつりモデル・PDE へ接続せつぞくする出口戦略でぐちせんりゃくとして整理せいりすることである。

役割分担やくわりぶんたん

ラプラス変換へんかんの位置いちづけ

ラプラス変換へんかんは、初期値しょきちを抱かかえたまま微分方程式びぶんほうていしきを代数方程式だいすうほうていしきへ移行いこうする道具どうぐである。たとえば

では、微分びぶんの変換公式へんかんこうしきに初期値しょきちが組くみ込こまれる。したがって不連続入力ふれんぞくにゅうりょくやインパルスを含ふくむ問題もんだいで有効ゆうこうである。

具体的ぐたいてきには、$$Y\left(s\right)=\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("mathcal")")]}L\left\{y\right(t\left)\right\}$$Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\} とおくと

である。したがって初期条件しょきじょうけんは変換後へんかんごの式しきに自然しぜんに出現しゅつげんする。初期値問題しょきちもんだいでラプラス変換へんかんが有効ゆうこうな理由りゆうは、微分びぶんを代数化だいすうかするだけでなく、初期条件しょきじょうけんを別処理べつしょりにしなくてよい点てんにある。

具体例ぐたいれい：ラプラス変換へんかんが自然しぜんな問題もんだい

では、右辺うへんが時刻じこく $$\pi$$\pi で切替きりかわる。未定係数法みていけいすうほうでも区間くかんを分割ぶんかつすれば処理しょりできるが、接続条件せつぞくじょうけんを追跡ついせきする必要ひつようがある。ラプラス変換へんかんでは遅延因子ちえんいんし $$e^{-\pi s}$$e^{-\pi s} により、切替時刻きりかえじこくが式しきの中なかで保持ほじされる。このため、不連続入力ふれんぞくにゅうりょくや衝撃入力しょうげきにゅうりょくを含ふくむ線型初期値問題せんけいしょきちもんだいではラプラス変換へんかんが自然しぜんな候補こうほになる。

級数解法きゅうすうかいほうの位置いちづけ

のような変数係数へんすうけいすうでは、特性方程式とくせいほうていしきが成立せいりつしない。この場合ばあい、$$y=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$$y=\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n と仮定かていし、係数比較けいすうひかくで $$a_n$$a_n を決定けっていする。これは閉とじた初等解しょとうかいが期待きたいしにくい場合ばあいの標準手段ひょうじゅんしゅだんである。

ただし級数解法きゅうすうかいほうは、形式的けいしきてきに級数きゅうすうを代入だいにゅうして終了しゅうりょうする方法ほうほうではない。漸化式ぜんかしきで係数けいすうを決定けっていした後あと、収束半径しゅうそくはんけいや特異点とくいてんを確認かくにんする必要ひつようがある。特異点とくいてんが通常点つうじょうてんか確定特異点かくていとくいてんかにより、通常つうじょうのべき級数きゅうすうか Frobenius 法ほうかを選択せんたくする。

方法選択ほうほうせんたくの基準きじゅん

PDE とモデル化かへの出口でぐち

熱ねつや波なみのように量りょうが空間くうかんに分布ぶんぷする場合ばあい、未知関数みちかんすうは $$u(x,t)$$u(x,t) となり、PDE へ進行しんこうする。常微分方程式じょうびぶんほうていしきで学習がくしゅうした初期条件しょきじょうけん、境界条件きょうかいじょうけん、固有値こゆうち、Fourier 展開てんかいは PDE でも中心的ちゅうしんてきに作用さようする。

どこまで成なり立たつか

ラプラス変換へんかんは収束条件しゅうそくじょうけんを必要ひつようとする。級数解法きゅうすうかいほうは収束半径しゅうそくはんけいと特異点とくいてんの位置いちに依存いぞんする。モデル化かでは仮定かていが外はずれると、方程式ほうていしきそのものの意味いみが変化へんかする。

Fourier 法ほうは周期性しゅうきせいや境界条件きょうかいじょうけんと相性あいしょうが良よいが、非線型ひせんけいや不規則領域ふきそくりょういきでは別べつの解析かいせきが必要ひつようになる。変換へんかんは万能ばんのうな解法かいほうではなく、微分作用びぶんさようや境界条件きょうかいじょうけんを簡単かんたんにする座標ざひょう・基底きていを選択せんたくする方法ほうほうである。

演習えんしゅうリンク

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