円運動えんうんどうと単振動たんしんどう

導入どうにゅう

この講義こうぎの核心かくしんは、速はやさが一定いっていでも速度そくどベクトルの向むきが変かわれば加速度かそくどが生しょうじること、そして単振動たんしんどうは円運動えんうんどうの 1 方向ほうこうへの射影しゃえいとして統一的とういつてきに理解りかいできることである。円運動えんうんどうと単振動たんしんどうは教科書きょうかしょでは別単元べつたんげんに見みえやすいが、本質ほんしつは同おなじである。円運動えんうんどうでは「中心ちゅうしんへ曲まげ続つづける」、単振動たんしんどうでは「原点げんてんへ戻もどそうとする」。どちらも変位へんいと加速度かそくどの関係かんけいを正ただしく読よめば整理せいりできる。

このページで解とけるようになること

• 向心加速度こうしんかそくど $a_n[\mathrm{m}/s^2;\mathsf{L}{T}^{-2}]=\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("dfrac")")]}{v}^{2}r[\mathrm{m}/s^2;\mathsf{L}{T}^{-2}]=r{\omega }^2[\mathrm{m}/s^2;\mathsf{L}{T}^{-2}]$a_n\ [\mathrm{m/s^2};\ \mathsf{LT^{-2}}]=\dfrac{v^2}{r}\ [\mathrm{m/s^2};\ \mathsf{LT^{-2}}]=r\omega^2\ [\mathrm{m/s^2};\ \mathsf{LT^{-2}}] を導出どうしゅつする
• 等速円運動とうそくえんうんどうと非等速円運動ひとうそくえんうんどうを区別くべつする
• 単振動たんしんどうを射影しゃえい・復元力ふくげんりょく・微分方程式びぶんほうていしきの 3 視点してんで読よむ
• 振幅しんぷく、角周波数かくしゅうはすう、周期しゅうき、位相いそうの意味いみを整理せいりする

方針ほうしん

円運動えんうんどうでは、まず位置いち・速度そくど・加速度かそくどの向むきを図ずで固定こていする。つぎに速度そくどベクトルの変化へんかから向心加速度こうしんかそくどを導みちびく。単振動たんしんどうでは、円えんの射影しゃえいから $x=A\cos (\omega t+\varphi )$x=A\cos(\omega t+\phi) を出だし、さらに $a=-{\omega }^{2}x$a=-\omega^2x と復元力ふくげんりょくの視点してんで同おなじ内容ないようを確認かくにんする。

適用条件てきようじょうけん

• 向心加速度こうしんかそくど $a_n=\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("dfrac")")]}{v}^{2}r$a_n=\dfrac{v^2}{r} は円運動えんうんどう、または曲率半径きょくりつはんけい $r$r をもつ曲線運動きょくせんうんどうの法線成分ほうせんせいぶんとして成なり立たつ
• $a_t=r\alpha$a_t=r\alpha は接線方向せっせんほうこうの成分せいぶんであり、全加速度ぜんかそくどそのものではない
• 単振動たんしんどうの式しき $a=-{\omega }^{2}x$a=-\omega^2x は復元力ふくげんりょくが変位へんいに比例ひれいする範囲はんいで使つかう

用語ようごと定義ていぎ

等速円運動とうそくえんうんどうと非等速円運動ひとうそくえんうんどう

直感的ちょっかんてきな説明せつめい

糸いとの先さきの物体ぶったいを回まわすには、常つねに中心ちゅうしんへ向むかう力ちからが必要ひつようである。その力ちからがなくなれば物体ぶったいはその瞬間しゅんかんの接線方向せっせんほうこうへ飛とび出だす。したがって円運動えんうんどうは、接線方向せっせんほうこうへ進すすもうとする運動うんどうを中心向ちゅうしんむきの加速度かそくどで曲まげ続つづける運動うんどうである。単振動たんしんどうは、その円運動えんうんどうを 1 本ほんの直線ちょくせんへ映うつした影かげである。端はしでは止とまって戻もどろうとし、中心ちゅうしんでは最もっとも速はやく通とおり抜ぬける。この振舞ふるまいは、ばねの運動うんどうや小ちいさい振ふれの振子ふりこにも共通きょうつうする。

厳密げんみつな説明せつめい

見分みわけ方かた

• 円えんを回まわる・曲まがる・糸いとで引ひかれる → 向心加速度こうしんかそくど $a_n=v^2/r=r{\omega }^2$a_n = v^2/r = r\omega^2 を立式りっしきする
• 戻もどす力ちからが変位へんいに比例ひれいして逆向ぎゃくむき → 単振動たんしんどう。${\omega }^2$\omega^2 を読よみ取とって $T=2\pi /\omega$T = 2\pi/\omega
• 時刻じこくごとの式しきが必要ひつよう → ルート 2 または 3（$x=A\cos (\omega t+\varphi )$x = A\cos(\omega t + \phi)）
• 特定とくてい位置いちでの速度そくどだけが必要ひつよう → ルート 5（エネルギー保存ほぞん）
• $\omega$\omega や $T$T を求もとめるだけ → ルート 4（力学りきがく的てきルート、最速さいそく）

追加例ついかれい: 鉛直円運動えんちょくえんうんどうの最高点さいこうてん

糸いとにつながれた小球しょうきゅうが鉛直面えんちょくめんで円運動えんうんどうするとき、最高点さいこうてんでは中心ちゅうしんが下向したむきにある。最高点さいこうてんで中心向ちゅうしんむきに働はたらく力ちからは、重力じゅうりょく $mg$mg と張力ちょうりょく $T$T である。

$mg+T=\frac{m{v}^2}{R}$mg+T=\frac{mv^2}{R}

糸いとがたるまない最小条件さいしょうじょうけんは $T=0$T=0 であるから

$mg=\frac{m{v}^2}{R}$mg=\frac{mv^2}{R}

より

を得える。ここで重要じゅうようなのは、最高点さいこうてんで力ちからがつり合あっているのではなく、合力ごうりょくが向心加速度こうしんかそくどを作つくっているという点てんである。

追加例ついかれい: 小ちいさい振ふれの振子ふりこ

長ながさ $\ell$\ell の振子ふりこで、鉛直えんちょくからの角度かくどを $\theta$\theta とする。接線方向せっせんほうこうの運動方程式うんどうほうていしきは

$m\ell \ddot{\theta }=-mg\sin \theta$m\ell\ddot{\theta}=-mg\sin\theta

である。振幅しんぷくが小ちいさいときは

$\sin \theta \approx \theta$\sin\theta\approx\theta

と近似きんじできるので

$\ddot{\theta }+\frac{g}{\ell }\theta =0$\ddot{\theta}+\frac{g}{\ell}\theta=0

となる。したがって角周波数かくしゅうはすうと周期しゅうきは

$\omega =\sqrt{\frac{g}{\ell }},T=2\pi \sqrt{\frac{\ell }{g}}$\omega=\sqrt{\frac{g}{\ell}},\qquad T=2\pi\sqrt{\frac{\ell}{g}}

である。振子ふりこは常つねに単振動たんしんどうなのではなく、小振幅近似しょうしんぷくきんじが成なり立たつ範囲はんいで単振動たんしんどうとして扱あつかえる。

どこまで成なり立たつか

向心加速度こうしんかそくど $a=v^2/r=r{\omega }^2$a = v^2/r = r\omega^2 は半径はんけいが一定いっていで円えんを回まわる場合ばあいの式しきである。速はやさまで変化へんかするならば接線せっせん方向ほうこうの加速度かそくどを別途べっと考察こうさつする。単振動たんしんどうの式しき $a=-{\omega }^{2}x$a = -\omega^2 x は復元力ふくげんりょくが変位へんいに比例ひれいする範囲はんいで成立せいりつする。振子ふりこでは小振幅近似しょうしんぷくきんじ（$\sin \theta \approx \theta$\sin\theta \approx \theta）が必要ひつようであり、振幅しんぷくが大おおきくなると近似きんじが崩くずれて周期しゅうきが変化へんかする。

よくある誤あやまり

• 向心加速度こうしんかそくどを接線方向せっせんほうこうに描えがく
• 向心力こうしんりょくを独立どくりつした新あたらしい力ちからだと思おもい込こむ
• $a_t=r\alpha$a_t=r\alpha を全加速度ぜんかそくどと混同こんどうする
• 単振動たんしんどうで $a=-{\omega }^{2}x$a=-\omega^2x の負号ふごうを落おとす

最終形さいしゅうけい

等速円運動とうそくえんうんどうでは、加速度かそくどは中心方向ちゅうしんほうこうを向むく。

単振動たんしんどうの運動方程式うんどうほうていしき：

周期しゅうき（ばね）：

一言ひとことでいうと

円運動えんうんどうは「向むきを曲まげ続つづける運動うんどう」であり、単振動たんしんどうはその影かげ・微分方程式びぶんほうていしきの解かい・復元力ふくげんりょくの結果けっか・エネルギー交換こうかんの四よっつの視点してんから統一的とういつてきに理解りかいできる。

関連かんれんリンク

半径方向はんけいほうこうと接線方向せっせんほうこうを分わける

円運動えんうんどうでは、加速度かそくどを半径方向はんけいほうこうと接線方向せっせんほうこうに分わける。半径方向はんけいほうこうの加速度かそくどは速度そくどの向むきを変かえる成分せいぶんであり、接線方向せっせんほうこうの加速度かそくどは速はやさを変かえる成分せいぶんである。

$a_r=\frac{v^2}{r}=r{\omega }^2$a_r = \frac{v^2}{r} = r\omega^2

ここで、$a_r[\mathrm{m}/s^2;\mathsf{L}{T}^{-2}]$a_r\ [\mathrm{m/s^2};\ \mathsf{LT^{-2}}] は半径方向はんけいほうこうの加速度かそくど、$v[\mathrm{m}/\mathrm{s};\mathsf{L}{T}^{-1}]$v\ [\mathrm{m/s};\ \mathsf{LT^{-1}}] は速はやさ、$r[\mathrm{m};\mathsf{L}]$r\ [\mathrm{m};\ \mathsf{L}] は半径はんけい、$\omega [\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}/\mathrm{s};T^{-1}]$\omega\ [\mathrm{rad/s};\ \mathsf{T^{-1}}] は角速度かくそくどである。

$a_t=\frac{dv}{dt}=r\alpha$a_t = \frac{dv}{dt} = r\alpha

ここで、$a_t[\mathrm{m}/s^2;\mathsf{L}{T}^{-2}]$a_t\ [\mathrm{m/s^2};\ \mathsf{LT^{-2}}] は接線方向せっせんほうこうの加速度かそくど、$\alpha [\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}/s^2;T^{-2}]$\alpha\ [\mathrm{rad/s^2};\ \mathsf{T^{-2}}] は角加速度かくかそくどである。等速円運動とうそくえんうんどうでは $a_t=0[\mathrm{m}/s^2;\mathsf{L}{T}^{-2}]$a_t=0\ [\mathrm{m/s^2};\ \mathsf{LT^{-2}}] であり、加速度かそくどがないのではなく、速はやさを変かえる成分せいぶんがないだけである。

単振動たんしんどうで復元力ふくげんりょくを見抜みぬく

単振動たんしんどうを判定はんていするときは、力ちからの式しきを変位へんいで書かき、平衡位置へいこういちからのずれに比例ひれいして反対向はんたいむきの力ちからが出でるかを見みる。つまり

$F=-kx$F=-kx

または

$a=-{\omega }^{2}x$a = -\omega^2x

の形かたちに直なおせれば単振動たんしんどうである。比例定数ひれいていすうを読よめば角振動数かくしんどうすうが決きまり、周期しゅうきが決きまる。

注意ちゅういすべきなのは、座標ざひょうの原点げんてんを自然長しぜんちょうではなく平衡位置へいこういちに置おくことが多おおい点てんである。重力じゅうりょくがある鉛直えんちょくばねでも、平衡位置へいこういちから測はかれば重力じゅうりょくの定数項ていすうこうが消きえ、単振動たんしんどうの形かたちが現あらわれる。

文字式もじしきの単位たんい

円運動えんうんどうでは、半径はんけい $r[\mathrm{m};\mathsf{L}]$r\ [\mathrm{m};\ \mathsf{L}]、速はやさ $v[\mathrm{m}/\mathrm{s};\mathsf{L}{T}^{-1}]$v\ [\mathrm{m/s};\ \mathsf{LT^{-1}}]、角速度かくそくど $\omega [\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}/\mathrm{s};T^{-1}]$\omega\ [\mathrm{rad/s};\ \mathsf{T^{-1}}]、周期しゅうき $T[\mathrm{s};\mathsf{T}]$T\ [\mathrm{s};\ \mathsf{T}] を使つかう。$v=r\omega [\mathrm{m}/\mathrm{s};\mathsf{L}{T}^{-1}]$v=r\omega\ [\mathrm{m/s};\ \mathsf{LT^{-1}}] では、$r[\mathrm{m};\mathsf{L}]$r\ [\mathrm{m};\ \mathsf{L}] と $\omega [\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}/\mathrm{s};T^{-1}]$\omega\ [\mathrm{rad/s};\ \mathsf{T^{-1}}] から $v[\mathrm{m}/\mathrm{s};\mathsf{L}{T}^{-1}]$v\ [\mathrm{m/s};\ \mathsf{LT^{-1}}] が出でる。rad は無次元むじげんとして扱あつかう。

向心加速度こうしんかそくど $a_r[\mathrm{m}/s^2;\mathsf{L}{T}^{-2}]$a_r\ [\mathrm{m/s^2};\ \mathsf{LT^{-2}}] は $v^2/r[\mathrm{m}/s^2;\mathsf{L}{T}^{-2}]$v^2/r\ [\mathrm{m/s^2};\ \mathsf{LT^{-2}}] または $r{\omega }^2[\mathrm{m}/s^2;\mathsf{L}{T}^{-2}]$r\omega^2\ [\mathrm{m/s^2};\ \mathsf{LT^{-2}}] である。向心力こうしんりょく $F_r[\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$F_r\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}] は $m{a}_r[\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$ma_r\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}] であり、$m[\mathrm{k}\mathrm{g};\mathsf{M}]$m\ [\mathrm{kg};\ \mathsf{M}] と $a_r[\mathrm{m}/s^2;\mathsf{L}{T}^{-2}]$a_r\ [\mathrm{m/s^2};\ \mathsf{LT^{-2}}] の積せきとして現あらわれる。

単振動たんしんどうでは、変位へんい $x[\mathrm{m};\mathsf{L}]$x\ [\mathrm{m};\ \mathsf{L}]、角振動数かくしんどうすう $\omega [\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}/\mathrm{s};T^{-1}]$\omega\ [\mathrm{rad/s};\ \mathsf{T^{-1}}]、加速度かそくど $a[\mathrm{m}/s^2;\mathsf{L}{T}^{-2}]$a\ [\mathrm{m/s^2};\ \mathsf{LT^{-2}}] を使つかう。$a=-{\omega }^{2}x[\mathrm{m}/s^2;\mathsf{L}{T}^{-2}]$a=-\omega^2x\ [\mathrm{m/s^2};\ \mathsf{LT^{-2}}] では、${\omega }^2[1/s^2;T^{-2}]$\omega^2\ [\mathrm{1/s^2};\ \mathsf{T^{-2}}] と $x[\mathrm{m};\mathsf{L}]$x\ [\mathrm{m};\ \mathsf{L}] から $a[\mathrm{m}/s^2;\mathsf{L}{T}^{-2}]$a\ [\mathrm{m/s^2};\ \mathsf{LT^{-2}}] が出でる。

周期しゅうきと角速度かくそくどの検算けんざん

円運動えんうんどうでは、1 周しゅうで角度かくどが $2\pi [\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d};1]$2\pi\ [\mathrm{rad};\ \mathsf{1}] だけ進すすむ。したがって角速度かくそくど $\omega [\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}/\mathrm{s};T^{-1}]$\omega\ [\mathrm{rad/s};\ \mathsf{T^{-1}}] と周期しゅうき $T[\mathrm{s};\mathsf{T}]$T\ [\mathrm{s};\ \mathsf{T}] には

$\omega T=2\pi$\omega T=2\pi

の関係かんけいがある。計算けいさんした $T[\mathrm{s};\mathsf{T}]$T\ [\mathrm{s};\ \mathsf{T}] が大おおきくなれば、$\omega [\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}/\mathrm{s};T^{-1}]$\omega\ [\mathrm{rad/s};\ \mathsf{T^{-1}}] は小ちいさくなるはずである。速はやく回まわるほど周期しゅうきが短みじかくなる、という直感ちょっかんに反はんする答こたえは見直みなおす。

単振動たんしんどうの振幅しんぷくと周期しゅうき

理想的りそうてきな単振動たんしんどうでは、周期しゅうき $T[\mathrm{s};\mathsf{T}]$T\ [\mathrm{s};\ \mathsf{T}] は振幅しんぷく $A[\mathrm{m};\mathsf{L}]$A\ [\mathrm{m};\ \mathsf{L}] に依存いぞんしない。振幅しんぷくが大おおきくなると動うごく距離きょりは長ながくなるが、復元力ふくげんりょくも大おおきくなり、速はやさも大おおきくなるためである。

ただし、これは復元力ふくげんりょくが変位へんいに比例ひれいする範囲はんいでの性質せいしつである。振ふれ角かくが大おおきい振子ふりこや、ばねが線形せんけいでなくなる場合ばあいには、周期しゅうきが振幅しんぷくに依存いぞんすることがある。近似きんじの条件じょうけんを常つねに確認かくにんする。

主要文字式しゅようもじしきの単位たんい確認かくにん

円運動えんうんどうでは、半径はんけい $r[\mathrm{m};\mathsf{L}]$r\ [\mathrm{m};\ \mathsf{L}]、速はやさ $v[\mathrm{m}/\mathrm{s};\mathsf{L}{T}^{-1}]$v\ [\mathrm{m/s};\ \mathsf{LT^{-1}}]、角速度かくそくど $\omega [\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}/\mathrm{s};T^{-1}]$\omega\ [\mathrm{rad/s};\ \mathsf{T^{-1}}]、周期しゅうき $T[\mathrm{s};\mathsf{T}]$T\ [\mathrm{s};\ \mathsf{T}] を使つかう。rad を無次元むじげんとして扱あつかえば、$r\omega [\mathrm{m}/\mathrm{s};\mathsf{L}{T}^{-1}]$r\omega\ [\mathrm{m/s};\ \mathsf{LT^{-1}}] は速はやさの単位たんいになる。

向心加速度こうしんかそくど $a_r[\mathrm{m}/s^2;\mathsf{L}{T}^{-2}]$a_r\ [\mathrm{m/s^2};\ \mathsf{LT^{-2}}] は、$v^2/r[\mathrm{m}/s^2;\mathsf{L}{T}^{-2}]$v^2/r\ [\mathrm{m/s^2};\ \mathsf{LT^{-2}}] または $r{\omega }^2[\mathrm{m}/s^2;\mathsf{L}{T}^{-2}]$r\omega^2\ [\mathrm{m/s^2};\ \mathsf{LT^{-2}}] と読よめる。単振動たんしんどうでは、変位へんい $x[\mathrm{m};\mathsf{L}]$x\ [\mathrm{m};\ \mathsf{L}]、角振動数かくしんどうすう $\omega [\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}/\mathrm{s};T^{-1}]$\omega\ [\mathrm{rad/s};\ \mathsf{T^{-1}}]、加速度かそくど $a[\mathrm{m}/s^2;\mathsf{L}{T}^{-2}]$a\ [\mathrm{m/s^2};\ \mathsf{LT^{-2}}] を使つかい、${\omega }^{2}x[\mathrm{m}/s^2;\mathsf{L}{T}^{-2}]$\omega^2x\ [\mathrm{m/s^2};\ \mathsf{LT^{-2}}] が加速度かそくどの単位たんいになる。

数式内すうしきないでの単位たんい明示めいじ

円運動えんうんどうでは
$v=r\omega$v = r\omega
である。向心加速度こうしんかそくどと単振動たんしんどうの加速度かそくども、単位たんいを式しきの中なかに含ふくめて確認かくにんする。

$a_r=\frac{v^2}{r},a=-{\omega }^{2}x$a_r = \frac{v^2}{r}, \qquad a = -\omega^2x

向心力こうしんりょくを力ちからの名前なまえと混同こんどうしない

向心力こうしんりょくは、円えんの中心ちゅうしんへ向むく合力ごうりょくの役割やくわりを表あらわす言葉ことばである。重力じゅうりょく、張力ちょうりょく、垂直抗力すいちょくこうりょく、摩擦力まさつりょくのような具体的ぐたいてきな力ちからとは別べつの新あたらしい力ちからではない。

円運動えんうんどうの問題もんだいでは、まず実際じっさいに働はたらく力ちからを自由体図じゆうたいずに描えがく。そのうえで、半径方向はんけいほうこうの合力ごうりょくが $m{v}^2/r[\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$mv^2/r\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}] になるように式しきを立たてる。ここで、$m[\mathrm{k}\mathrm{g};\mathsf{M}]$m\ [\mathrm{kg};\ \mathsf{M}]、$v[\mathrm{m}/\mathrm{s};\mathsf{L}{T}^{-1}]$v\ [\mathrm{m/s};\ \mathsf{LT^{-1}}]、$r[\mathrm{m};\mathsf{L}]$r\ [\mathrm{m};\ \mathsf{L}] である。

向心力こうしんりょくという矢印やじるしを自由体図じゆうたいずへ追加ついかすると、実際じっさいの力ちからと合力ごうりょくを二重にじゅうに数かぞえる誤あやまりが起おこる。向心力こうしんりょくは「結果けっかとして中心向ちゅうしんむきに必要ひつような合力ごうりょく」と読よむ。