仕事しごとと力学的りきがくてきエネルギー

導入どうにゅう

このページの核心かくしんは、時間じかんを細こまかく追おいたくないとき、力ちからを仕事しごとの形かたちに変換へんかんすると、始点してんと終点しゅうてんだけで速はやさを読よめるという点てんにある。運動方程式うんどうほうていしきは強力きょうりょくであるが、途中とちゅうの時刻じこくごとの運動うんどうを全部ぜんぶ追おう構造こうぞうをもつ。これに対たいし、仕事しごととエネルギーの見方みかたは、経路けいろの各点かくてんでの時間情報じかんじょうほうではなく、どの力ちからがどれだけ移動方向いどうほうこうへ寄与きよしたかに注目ちゅうもくする。したがって、落下らっか、斜面しゃめん、ばね、摩擦まさつを含ふくむ問題もんだいで、始点してんと終点しゅうてんの関係かんけいだけを知しりたいときに特とくに有効ゆうこうである。

このページで解とけるようになること

• 仕事しごと $W={\int }_C\overrightarrow{F}·d\overrightarrow{r}$W=\int_C \vec{F}\cdot d\vec{r} の意味いみと符号ふごう
• 運動うんどうエネルギーの変化へんか $\mathrm{\Delta }K=W_{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{t}}$\Delta K=W_{\mathrm{net}} の導出どうしゅつ
• 保存力ほぞんりょくから位置いちエネルギーを定義ていぎする意味いみ
• 力学的りきがくてきエネルギー保存則ほぞんそくを使つかって速度そくどや高たかさを求もとめる判断はんだん
• 摩擦まさつがある場合ばあいに、なぜ単純たんじゅんな保存則ほぞんそくが壊こわれるかの理解りかい

何なにを解とくページか

このページの本線ほんせんは、次つぎの二段階にだんかいである。

1. 合力ごうりょくの仕事しごとから運動うんどうエネルギーの変化へんかを求もとめる
2. 保存力ほぞんりょくの仕事しごとを位置いちエネルギーへ置おき換かえて、始点してんと終点しゅうてんの関係式かんけいしきを作つくる

したがって、求もとめたいものが「ある時刻じこくの加速度かそくど」ではなく、「ある位置いちでの速はやさ」「何なにメートル上あがるか」「ばねがどれだけ縮ちぢむか」であるときに、このページの方針ほうしんが自然しぜんになる。

方針ほうしん

このページで最初さいしょに採とる方針ほうしんは、力ちからをそのまま追おうことではなく、力ちからと変位へんいの内積ないせきを取とって仕事しごとへ変換へんかんすることである。理由りゆうは、運動方程式うんどうほうていしき

$m\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}=\overrightarrow{F}$m\frac{d\vec{v}}{dt}=\vec{F}

の両辺りょうへんに $d\overrightarrow{r}$d\vec{r} を内積ないせきすると、右辺うへんがそのまま仕事しごとの微小量びしょうりょう $dW=\overrightarrow{F}·d\overrightarrow{r}$dW=\vec{F}\cdot d\vec{r} になるからである。さらに、扱あつかう力ちからが保存力ほぞんりょくなら、その仕事しごとを位置いちエネルギーの減少げんしょう $-dU$-dU と読よみ替かえられる。すると途中とちゅうの時刻じこくを消けして

$K+U=\text{const}$K+U=\text{const}

という始点してんと終点しゅうてんの式しきへ進すすめる。

適用条件てきようじょうけん

• $\mathrm{\Delta }K=W_{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{t}}$\Delta K=W_{\mathrm{net}} は慣性系かんせいけいでの Newton の法則ほうそくを前提ぜんていに導みちびく
• $K+U=\text{const}$K+U=\text{const} は、非ひ保存ほぞん力ちからのする仕事しごとが $0$0 のときに限かぎって使つかう
• 摩擦まさつや空気抵抗くうきていこうがあるなら、まず全ぜん仕事しごとの式しきへ戻もどる
• 位置いちエネルギーは、保存ほぞん力ちからに対たいしてのみ導入どうにゅうする

用語ようごと定義ていぎ

何なにを最初さいしょに見分みわけるか

• 途中とちゅうの時間変化じかんへんかまで必要ひつようか、それとも始点してんと終点しゅうてんだけでよいか
• 摩擦まさつや空気抵抗くうきていこうなどの非ひ保存ほぞん力ちからが仕事しごとをするか
• 求もとめたいものが速はやさ・高たかさ・ばねの変位へんいのような「前後ぜんご比較ひかく」かどうか

これらを確認かくにんすると、運動方程式うんどうほうていしきで進すすむか、エネルギーへ切きり替かえるかを判断はんだんしやすい。

導出どうしゅつまたは基本式きほんしき

具体例ぐたいてきれい 1: 自由落下じゆうらっか

高たかさ $h$h から静しずかに落おとした質量しつりょう $m$m の物体ぶったいの地面じめん直前ちょくぜんの速はやさを求もとめる。方針ほうしんは、時間じかんを追おわず、始点してんと終点しゅうてんだけで整理せいりすることである。非ひ保存ほぞん力ちからを無視むしするなら

$K_i+U_i=K_f+U_f$K_i+U_i=K_f+U_f

である。初期状態しょきじょうたいと終状態しゅうじょうたいを代入だいにゅうすると

$0+mgh=\frac{1}{2}m{v}^2+0$0+mgh=\frac{1}{2} mv^2+0

したがって

$v=\sqrt{2gh}$v=\sqrt{2gh}

を得える。ここでは加速度かそくど $g$g を時間じかんで積分せきぶんしていない点てんが重要じゅうようである。

具体例ぐたいてきれい 2: ばねに衝突しょうとつする物体ぶったい

水平面上すいへいめんじょうを速はやさ $v_0$v_0 で進すすむ質量しつりょう $m$m の物体ぶったいが、摩擦まさつなしでばね定数ていすう $k$k のばねに衝突しょうとつし、最大さいだい圧縮あっしゅく $x_{\max }$x_{\max} に達たっする。最大さいだい圧縮あっしゅく点てんでは速はやさが $0$0 であるから

$\frac{1}{2}m{v}_{0^2}=\frac{1}{2}k{x}_{{\max }^2}$\frac{1}{2} mv_0^2=\frac{1}{2} kx_{\max}^2

よって

$x_{\max }=v_0\sqrt{\frac{m}{k}}$x_{\max}=v_0\sqrt{\frac{m}{k}}

となる。

比較例ひかくれい: 摩擦まさつがある斜面しゃめん

摩擦まさつがあるとき、単純たんじゅんな

$K+U=\text{const}$K+U=\text{const}

は使つかえない。たとえば動摩擦どうまさつ力ちから $f_k$f_k が一定いっていなら

$\mathrm{\Delta }K+\mathrm{\Delta }U=W_{\mathrm{f}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{c}}$\Delta K+\Delta U=W_{\mathrm{fric}}

と書かく。ここで

$W_{\mathrm{f}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{c}}=-f_k\ell$W_{\mathrm{fric}}=-f_k\ell

であり、右辺うへんが負ふになることが力学的りきがくてきエネルギーの減少げんしょうを表あらわす。

どこまで成なり立たつか

• $\mathrm{\Delta }K=W_{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{t}}$\Delta K=W_{\mathrm{net}} は慣性系かんせいけいで常つねに成なり立たつ
• $K+U=\text{const}$K+U=\text{const} は非ひ保存ほぞん力ちからの仕事しごとが 0 のときに限かぎる
• 位置いちエネルギーの基準値きじゅんちそのものは任意にんいだが、差さは任意にんいではない
• 空気抵抗くうきていこうや摩擦まさつが無視むしできない問題もんだいでは、保存則ほぞんそくだけで押おし切きってはならない

よくある誤あやまり

• 合力ごうりょくの仕事しごとと、重力じゅうりょくや摩擦力まさつりょくの個別こべつの仕事しごとを混同こんどうする
• 摩擦まさつがあるのに $K+U=\text{const}$K+U=\text{const} を使つかう
• 位置いちエネルギーの基準点きじゅんてんを途中とちゅうで変更へんこうして式しきを壊こわす
• 仕事しごとの符号ふごうを、力ちからの向むきだけで決きめ、変位へんいの向むきを確認かくにんしない

解法かいほうの選択せんたく

• 時間じかんや加速度かそくどの途中経過とちゅうけいかが必要ひつよう → 運動方程式うんどうほうていしき
• 始点してんと終点しゅうてんの速度そくど・高たかさ・ばねの変位へんいだけ知しりたい → エネルギー
• 短時間たんじかん衝突しょうとつの前後ぜんごを比較ひかくしたい → 運動量うんどうりょうと力積りきせき

仕事率しごとりつとエネルギーの時間変化じかんへんか

仕事しごとは力ちからの累積るいせき効果こうかであり、仕事率しごとりつはその時間変化じかんへんかである。

$P=\frac{dW}{dt}$P=\frac{dW}{dt}

力ちから $\overrightarrow{F}$\vec{F} が速度そくど $\overrightarrow{v}$\vec{v} の物体ぶったいに働はたらくとき、

$P=\overrightarrow{F}·\overrightarrow{v}$P=\vec{F}\cdot\vec{v}

である。力ちからが速度そくどと同おなじ向むきなら運動うんどうエネルギーを増ふやし、逆向ぎゃくむきなら減へらす。速度そくどに垂直すいちょくな力ちからは、その瞬間しゅんかんには仕事しごとをしない。たとえば等速円運動とうそくえんうんどうの向心力こうしんりょくは速度そくどに垂直すいちょくなので、速はやさを変かえず、向むきだけを変かえる。

経路けいろに依存いぞんする仕事しごとと依存いぞんしない仕事しごと

保存力ほぞんりょくの仕事しごとは始点してんと終点しゅうてんだけで決きまり、途中とちゅうの道筋みちすじには依存いぞんしない。重力じゅうりょくや理想的りそうてきなばねの力ちからがその例れいである。このとき位置いちエネルギー $U$U を導入どうにゅうできる。

一方いっぽう、摩擦力まさつりょくの仕事しごとは移動距離いどうきょりに依存いぞんする。同おなじ高たかさから同おなじ高たかさへ移動いどうしても、長ながい経路けいろを通とおれば摩擦まさつの仕事しごとは大おおきくなる。したがって、摩擦まさつがある問題もんだいでは高低差こうていさだけでなく、実際じっさいに動うごいた距離きょりを確認かくにんする。

位置いちエネルギー曲線きょくせんの読よみ方かた

1 次元じげんで位置いちエネルギー $U\left(x\right)$U(x) が分わかっているとき、保存力ほぞんりょくは

$F\left(x\right)=-\frac{dU}{dx}$F(x)=-\frac{dU}{dx}

で与あたえられる。位置いちエネルギーが右みぎへ増ふえるなら、力ちからは左向ひだりむきに働はたらく。これは物体ぶったいが位置いちエネルギーを下さげる向むきへ動うごこうとする、という意味いみである。

平衡位置へいこういちでは

$\frac{dU}{dx}=0$\frac{dU}{dx}=0

である。その点てんが $U$U の最小さいしょうなら安定平衡あんていへいこう、最大さいだいなら不安定平衡ふあんていへいこうである。ばねの $U=\frac{1}{2}k{x}^2$U=\frac{1}{2}kx^2 は $x=0$x=0 で最小さいしょうをもつので、そこが安定あんていな平衡位置へいこういちになる。

エネルギー式しきの選択表せんたくひょう

追加例ついかれい: 摩擦まさつで止とまる距離きょり

水平面すいへいめんで速はやさ $v_0$v_0 の物体ぶったいが動摩擦力どうまさつりょくだけで止とまる距離きょりを求もとめる。力ちからの向むきは運動うんどうと逆向ぎゃくむきなので、摩擦まさつの仕事しごとは

$W_{\mathrm{f}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{c}}=-{\mu }_{k}mgd$W_{\mathrm{fric}}=-\mu_k mgd

である。仕事しごとと運動うんどうエネルギーの関係かんけいより

$0-\frac{1}{2}m{v}_{0^2}=-{\mu }_{k}mgd$0-\frac{1}{2} mv_0^2=-\mu_k mgd

したがって

を得える。この問題もんだいでは $K+U=\text{const}$K+U=\text{const} ではなく、非保存力ひほぞんりょくの仕事しごとを右辺うへんに入いれる。

まとめ

仕事しごととエネルギーの方法ほうほうは、力ちからを忘わすれる方法ほうほうではなく、力ちからを変位へんいと結むすびつけて別べつの形かたちで読よむ方法ほうほうである。常つねに成立せいりつする基本式きほんしきは

$\mathrm{\Delta }K=W_{\mathrm{n}\mathrm{e}\mathrm{t}}$\Delta K=W_{\mathrm{net}}

であり、保存力ほぞんりょくだけが仕事しごとをするなら

$K+U=\text{const}$K+U=\text{const}

へ簡約かんやくされる。非保存力ひほぞんりょくが仕事しごとをするなら

$\mathrm{\Delta }(K+U)=W_{\mathrm{n}\mathrm{c}}$\Delta(K+U)=W_{\mathrm{nc}}

として扱あつかう。

次つぎに読よむべきページ

エネルギー式しきを立たてる前まえの確認かくにん

エネルギーで解とく問題もんだいでは、始点してんと終点しゅうてんを先さきに決きめる。その間あいだで速はやさ、高たかさ、ばねの伸のび、摩擦まさつの移動距離いどうきょりがどのように変かわるかを表ひょうにすると、入いれるべき項こうが抜ぬけにくい。

保存力ほぞんりょくだけなら $K+U$K+U は一定いっていである。摩擦まさつや外力がいりょくが仕事しごとをするなら、変化へんかした力学的りきがくてきエネルギーはその仕事しごとに等ひとしい。力ちからを全部ぜんぶエネルギーに入いれるのではなく、保存力ほぞんりょくとして位置いちエネルギーに入いれるものと、仕事しごととして右辺うへんに置おくものを分わけることが重要じゅうようである。

標準的ひょうじゅんてきには、始点してんを i、終点しゅうてんを f として

$K_i+U_i+W_{\mathrm{n}\mathrm{c}}=K_f+U_f$K_i + U_i + W_{\mathrm{nc}} = K_f + U_f

と置おく。この式しきでは、非保存力ひほぞんりょくの仕事しごと $W_{\mathrm{n}\mathrm{c}}[\mathrm{J};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$W_{\mathrm{nc}}\ [\mathrm{J};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}] を左辺さへんへ入いれている。右辺うへんへ移うつす書かき方かたもできるが、符号ふごうが逆ぎゃくになるので、同おなじ問題もんだいの中なかでは形かたちを統一とういつする。

文字式もじしきの単位たんい

仕事しごと $W[\mathrm{J};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$W\ [\mathrm{J};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}] は、力ちから $F[\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$F\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}] と変位へんい $d[\mathrm{m};\mathsf{L}]$d\ [\mathrm{m};\ \mathsf{L}] の積せきとして現あらわれる。$Fd\cos \theta [\mathrm{J};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$Fd\cos\theta\ [\mathrm{J};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}] では、$\theta [\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d};1]$\theta\ [\mathrm{rad};\ \mathsf{1}] は向むきだけを表あらわし、単位たんいを変かえない。

運動うんどうエネルギー $K[\mathrm{J};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$K\ [\mathrm{J};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}] は $\frac{1}{2}m{v}^2[\mathrm{J};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$\frac{1}{2}mv^2\ [\mathrm{J};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}] であり、$m[\mathrm{k}\mathrm{g};\mathsf{M}]$m\ [\mathrm{kg};\ \mathsf{M}]、$v[\mathrm{m}/\mathrm{s};\mathsf{L}{T}^{-1}]$v\ [\mathrm{m/s};\ \mathsf{LT^{-1}}] から $\left[\mathrm{k}\mathrm{g}{m}^2/s^2\right]=\left[\mathrm{J}\right]$[\mathrm{kg\,m^2/s^2}]=[\mathrm{J}] になる。重力じゅうりょくによる位置いちエネルギー $U=mgh[\mathrm{J};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$U=mgh\ [\mathrm{J};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}] では、$m[\mathrm{k}\mathrm{g};\mathsf{M}]$m\ [\mathrm{kg};\ \mathsf{M}]、$g[\mathrm{m}/s^2;\mathsf{L}{T}^{-2}]$g\ [\mathrm{m/s^2};\ \mathsf{LT^{-2}}]、$h[\mathrm{m};\mathsf{L}]$h\ [\mathrm{m};\ \mathsf{L}] である。仕事率しごとりつ $P[\mathrm{W};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-3}]$P\ [\mathrm{W};\ \mathsf{ML^2T^{-3}}] は $\frac{dW}{dt}[\mathrm{J}/\mathrm{s};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-3}]$\frac{dW}{dt}\ [\mathrm{J/s};\ \mathsf{ML^2T^{-3}}] であり、単位たんいは $\left[\mathrm{W}\right]$[\mathrm{W}] である。

エネルギーで解とくときの落おとし穴あな

エネルギーの式しきでは、途中とちゅうの時間じかんや加速度かそくどを消けせる。その代かわり、どの力ちからが仕事しごとをしたかを正確せいかくに数かぞえる必要ひつようがある。重力じゅうりょくやばね力りょくを位置いちエネルギーに入いれたなら、同おなじ仕事しごとを右辺うへんにもう一度いちど入いれてはいけない。

摩擦まさつの仕事しごとでは、変位へんいではなく接触面上せっしょくめんじょうを滑すべった距離きょりが必要ひつようになる。物体ぶったいの始点してんと終点しゅうてんの距離きょり $d[\mathrm{m};\mathsf{L}]$d\ [\mathrm{m};\ \mathsf{L}] と、摩擦まさつが作用さようした道みちのり $s[\mathrm{m};\mathsf{L}]$s\ [\mathrm{m};\ \mathsf{L}] は同おなじとは限かぎらない。摩擦まさつの仕事しごと $W_{\mathrm{f}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{c}}[\mathrm{J};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$W_{\mathrm{fric}}\ [\mathrm{J};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}] は、大おおきさが一定いっていなら $W_{\mathrm{f}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{c}}=-fs[\mathrm{J};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$W_{\mathrm{fric}}=-fs\ [\mathrm{J};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}] と読よむ。

エネルギーだけで足たりない場合ばあい

エネルギーの式しきは速はやさの大おおきさを決きめるのに強つよいが、向むきや時間じかんを直接ちょくせつは決きめにくい。たとえば

$\frac{1}{2}m{v}^2+U\left(x\right)=E$\frac{1}{2}mv^2+U(x)=E

から分わかるのは $v^2[m^2/s^2;L^2{T}^{-2}]$v^2\ [\mathrm{m^2/s^2};\ \mathsf{L^2T^{-2}}] であり、$v[\mathrm{m}/\mathrm{s};\mathsf{L}{T}^{-1}]$v\ [\mathrm{m/s};\ \mathsf{LT^{-1}}] の符号ふごうは運動うんどうの向むきを別べつに判断はんだんする必要ひつようがある。時間じかんを求もとめるなら、さらに $v=dx/dt[\mathrm{m}/\mathrm{s};\mathsf{L}{T}^{-1}]$v=dx/dt\ [\mathrm{m/s};\ \mathsf{LT^{-1}}] や運動方程式うんどうほうていしきを使つかう。

エネルギーは速はやさの大おおきさを求もとめるのに強つよいが、向むきの情報じょうほうを失うしないやすい。$K=\frac{1}{2}m{v}^2[\mathrm{J};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$K=\frac{1}{2}mv^2\ [\mathrm{J};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}] は $v[\mathrm{m}/\mathrm{s};\mathsf{L}{T}^{-1}]$v\ [\mathrm{m/s};\ \mathsf{LT^{-1}}] の二乗にじょうで決きまるため、右向みぎむきと左向ひだりむきを区別くべつしない。

衝突しょうとつや分裂ぶんれつのように向むきが重要じゅうような問題もんだいでは、運動量うんどうりょうの式しきを併用へいようする。円運動えんうんどうのように向むきが刻々こくこくと変かわる問題もんだいでは、半径方向はんけいほうこうの力ちからの式しきも必要ひつようになる。

グラフから仕事しごとを読よむ

力ちからが位置いちによって変かわるとき、仕事しごとは力ちからと変位へんいの積せきを足たし合あわせたものである。したがって、$F-x$F-x グラフでは、曲線きょくせんと横軸よこじくに囲かこまれた面積めんせきが仕事しごと $W[\mathrm{J};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$W\ [\mathrm{J};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}] を表あらわす。

力ちからが一定いっていなら、面積めんせきは長方形ちょうほうけいであり、$W=Fd[\mathrm{J};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$W=Fd\ [\mathrm{J};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}] になる。力ちからが 0 から直線的ちょくせんてきに増ふえるなら、面積めんせきは三角形さんかくけいであり、ばねの仕事しごとや位置いちエネルギーに現あらわれる $\frac{1}{2}k{x}^2[\mathrm{J};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$\frac{1}{2}kx^2\ [\mathrm{J};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}] とつながる。

グラフが横軸よこじくより下したにある部分ぶぶんは、負ふの仕事しごとを意味いみする。進行方向しんこうほうこうと逆向ぎゃくむきに力ちからが働はたらくと、運動うんどうエネルギーは減へる。この符号ふごうまで読よむことが、面積めんせきを使つかう目的もくてきである。

エネルギー図ずで運動範囲うんどうはんいを読よむ

位置いちエネルギー $U[\mathrm{J};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$U\ [\mathrm{J};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}] を縦軸たてじく、位置いち $x[\mathrm{m};\mathsf{L}]$x\ [\mathrm{m};\ \mathsf{L}] を横軸よこじくにした図ずでは、全ぜんエネルギー $E[\mathrm{J};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$E\ [\mathrm{J};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}] との差さが運動うんどうエネルギー $K[\mathrm{J};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$K\ [\mathrm{J};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}] である。つまり $K=E-U[\mathrm{J};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$K=E-U\ [\mathrm{J};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}] である。

$E[\mathrm{J};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$E\ [\mathrm{J};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}] より $U[\mathrm{J};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$U\ [\mathrm{J};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}] が大おおきい領域りょういきでは、$K[\mathrm{J};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$K\ [\mathrm{J};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}] が負ふになってしまうため、古典力学こてんりきがくでは到達とうたつできない。折おり返かえし点てんでは $K=0[\mathrm{J};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$K=0\ [\mathrm{J};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}]、したがって速はやさ $v=0[\mathrm{m}/\mathrm{s};\mathsf{L}{T}^{-1}]$v=0\ [\mathrm{m/s};\ \mathsf{LT^{-1}}] になる。力ちからの式しきを解とかなくても、運動うんどうできる範囲はんいを図ずから読よめる。

エネルギー式しきの誤答ごとうパターン

力学的りきがくてきエネルギーを使つかうときの典型的てんけいてきな誤あやまりは、保存力ほぞんりょくの仕事しごとを位置いちエネルギーにも入いれ、さらに外力がいりょくの仕事しごととしてもう一度いちど足たすことである。重力じゅうりょくを $mgh[\mathrm{J};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$mgh\ [\mathrm{J};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}] として位置いちエネルギーに入いれたなら、重力じゅうりょくの仕事しごとを別べつに右辺うへんへ入いれない。

摩擦まさつでは、仕事しごとの符号ふごうに注意ちゅういする。動摩擦力どうまさつりょくは相対運動そうたいうんどうに逆さからうので、通常つうじょうは負ふの仕事しごとをする。摩擦まさつの仕事しごとを正せいにしてしまうと、物体ぶったいが自然しぜんに加速かそくするような不自然ふしぜんな答こたえになる。

単位たんいで足たし算ざんを検査けんさする

エネルギーの式しきでは、足たしてよいのはすべて $\left[\mathrm{J}\right]$[\mathrm{J}] の項こうだけである。たとえば

では、運動うんどうエネルギー、重力じゅうりょくによる位置いちエネルギー、ばねの位置いちエネルギーがすべて $\left[\mathrm{J}\right]$[\mathrm{J}] でそろう。途中とちゅうで $\left[\mathrm{N}\right]$[\mathrm{N}] や $\left[\mathrm{m}/\mathrm{s}\right]$[\mathrm{m/s}] の項こうをそのまま足たしていたら、式しきの立たて方かたを見直みなおす。

エネルギーの式しきでは、足たしてよい項こうはすべて $\left[\mathrm{J}\right]$[\mathrm{J}] でなければならない。$K[\mathrm{J};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$K\ [\mathrm{J};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}]、$U[\mathrm{J};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$U\ [\mathrm{J};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}]、$W[\mathrm{J};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$W\ [\mathrm{J};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}] は足たせるが、力ちから $F[\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$F\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}] や距離きょり $x[\mathrm{m};\mathsf{L}]$x\ [\mathrm{m};\ \mathsf{L}] をそのまま足たしてはいけない。力ちからをエネルギーの式しきに入いれるには、距離きょりとの積せきとして仕事しごと $Fx[\mathrm{J};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$Fx\ [\mathrm{J};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}] にする必要ひつようがある。

式しきの途中とちゅうで単位たんいを添そえると、足たせない量りょうを混まぜた時点じてんで誤あやまりに気きづける。数値すうちの大小だいしょうより前まえに、単位たんいが同おなじかを見みる。

主要文字式しゅようもじしきの単位たんい確認かくにん

仕事しごと $W[\mathrm{J};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$W\ [\mathrm{J};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}]、運動うんどうエネルギー $K[\mathrm{J};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$K\ [\mathrm{J};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}]、位置いちエネルギー $U[\mathrm{J};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$U\ [\mathrm{J};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}]、全ぜんエネルギー $E[\mathrm{J};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$E\ [\mathrm{J};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}] は同おなじ単位たんいをもつ。力ちから $F[\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$F\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}] と変位へんい $d[\mathrm{m};\mathsf{L}]$d\ [\mathrm{m};\ \mathsf{L}] の積せき $Fd[\mathrm{J};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$Fd\ [\mathrm{J};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}] が仕事しごとである。

$K=\frac{1}{2}m{v}^2$K=\frac{1}{2}mv^2 では、$m[\mathrm{k}\mathrm{g};\mathsf{M}]$m\ [\mathrm{kg};\ \mathsf{M}]、$v[\mathrm{m}/\mathrm{s};\mathsf{L}{T}^{-1}]$v\ [\mathrm{m/s};\ \mathsf{LT^{-1}}]、$m{v}^2[\mathrm{k}\mathrm{g}{m}^2/s^2;\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]=\left[\mathrm{J}\right]$mv^2\ [\mathrm{kg\,m^2/s^2};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}]=[\mathrm{J}] である。$U=mgh$U=mgh では、$m[\mathrm{k}\mathrm{g};\mathsf{M}]$m\ [\mathrm{kg};\ \mathsf{M}]、$g[\mathrm{m}/s^2;\mathsf{L}{T}^{-2}]$g\ [\mathrm{m/s^2};\ \mathsf{LT^{-2}}]、$h[\mathrm{m};\mathsf{L}]$h\ [\mathrm{m};\ \mathsf{L}] から $mgh[\mathrm{J};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$mgh\ [\mathrm{J};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}] が出でる。仕事率しごとりつ $P[\mathrm{W};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-3}]$P\ [\mathrm{W};\ \mathsf{ML^2T^{-3}}] は $W[\mathrm{J};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$W\ [\mathrm{J};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}] を $t[\mathrm{s};\mathsf{T}]$t\ [\mathrm{s};\ \mathsf{T}] で割わった量りょうである。

数式内すうしきないでの単位たんい明示めいじ

仕事しごとの式しきは
$W=F\times d\times \cos \theta$W = F \times d \times \cos\theta
である。運動うんどうエネルギーと重力じゅうりょくによる位置いちエネルギーも、文字式もじしきの段階だんかいで単位たんいを持もたせる。

$K=\frac{1}{2}m{v}^2,U=mgh$K = \frac{1}{2} m v^2, \qquad U = mgh

始点してん・終点しゅうてん・途中とちゅうを分わける

エネルギーの式しきでは、始点してんと終点しゅうてんの状態じょうたいだけで決きまる量りょうと、途中とちゅうの経路けいろに依存いぞんする量りょうを分わける。運動うんどうエネルギー $K[\mathrm{J};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$K\ [\mathrm{J};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}] と位置いちエネルギー $U[\mathrm{J};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$U\ [\mathrm{J};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}] は状態じょうたいの量りょうである。一方いっぽう、摩擦まさつの仕事しごと $W_{\mathrm{f}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{c}}[\mathrm{J};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$W_{\mathrm{fric}}\ [\mathrm{J};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}] は、途中とちゅうで滑すべった距離きょり $s[\mathrm{m};\mathsf{L}]$s\ [\mathrm{m};\ \mathsf{L}] に依存いぞんする。

問題もんだいを解とくときは、始点してんの $K[\mathrm{J};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$K\ [\mathrm{J};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}]、$U[\mathrm{J};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$U\ [\mathrm{J};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}]、終点しゅうてんの $K[\mathrm{J};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$K\ [\mathrm{J};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}]、$U[\mathrm{J};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$U\ [\mathrm{J};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}]、途中とちゅうで働はたらく非保存力ひほぞんりょくの仕事しごと $W_{\mathrm{n}\mathrm{c}}[\mathrm{J};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$W_{\mathrm{nc}}\ [\mathrm{J};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}] を表ひょうにする。この表ひょうを作つくると、入いれ忘わすれと二重計上にじゅうけいじょうを防ふせぎやすい。

答こたえが速はやさ $v[\mathrm{m}/\mathrm{s};\mathsf{L}{T}^{-1}]$v\ [\mathrm{m/s};\ \mathsf{LT^{-1}}] なら、最終的さいしゅうてきに平方根へいほうこんを取とることが多おおい。平方根へいほうこんの中なかが負ふになるなら、その状態じょうたいには到達とうたつできないか、エネルギー式しきの符号ふごうが誤あやまっている。

エネルギーの損失そんしつをどこへ置おくか

力学的りきがくてきエネルギーが保存ほぞんしない問題もんだいでは、失うしなわれた量りょうを式しきのどこに置おくかを決きめる。摩擦まさつで熱ねつに変かわるなら、非保存力ひほぞんりょくの仕事しごと $W_{\mathrm{n}\mathrm{c}}[\mathrm{J};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$W_{\mathrm{nc}}\ [\mathrm{J};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}] として右辺うへんに置おける。衝突しょうとつで変形へんけいや音おとに変かわるなら、失うしなわれたエネルギーを $Q[\mathrm{J};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$Q\ [\mathrm{J};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}] のように置おいて収支しゅうしを書かける。

重要じゅうようなのは、消きえたのではなく、力学的りきがくてきエネルギーとして追跡ついせきしていない形かたちへ移うつったと読よむことである。力学的りきがくてきエネルギーが減へるとき、熱ねつや変形へんけいまで含ふくめた広ひろい意味いみのエネルギーは保存ほぞんしている。

式しきを立たてるときは、左辺さへんと右辺うへんの全項ぜんこうが $\left[\mathrm{J}\right]$[\mathrm{J}] であることを確認かくにんする。$K[\mathrm{J};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$K\ [\mathrm{J};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}]、$U[\mathrm{J};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$U\ [\mathrm{J};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}]、$W_{\mathrm{n}\mathrm{c}}[\mathrm{J};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$W_{\mathrm{nc}}\ [\mathrm{J};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}]、$Q[\mathrm{J};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$Q\ [\mathrm{J};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}] は足たし引ひきできるが、力ちから $F[\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$F\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}] や距離きょり $x[\mathrm{m};\mathsf{L}]$x\ [\mathrm{m};\ \mathsf{L}] をそのまま混まぜてはいけない。