斜面しゃめん・摩擦まさつ・ばねの力学りきがく

導入どうにゅう

このページの核心かくしんは、斜面しゃめん・摩擦まさつ・ばねが同時どうじに現あらわれても、最初さいしょに確認かくにんすべきことは四よつしかないという点てんにある。

1. どの物体ぶったいを取とり出だすか
2. 自由体図じゆうたいずをどう描えがくか
3. 軸じくをどちらに取とるか
4. 摩擦まさつの種類しゅるいと、ばねの変位へんいをどう定義ていぎするか

問題もんだいが複雑ふくざつに見みえるのは、力ちからが増ふえるからではなく、座標ざひょうの取とり方かたと未知みち量りょうの定義ていぎが曖昧あいまいなまま式しきを書かき始はじめるからである。したがって、このページでは個別こべつ公式こうしきを増ふやすのではなく、立りつ式しきの順序じゅんじょを固定こていする。

このページで解とけるようになること

• 斜面しゃめん上うえでの重力じゅうりょくの分解ぶんかいと垂直抗力すいちょくこうりょくの決定けってい
• 静止摩擦せいしまさつと動摩擦どうまさつの判定はんていと使つかい分わけ
• ばねの自然長しぜんちょうからの変位へんいを未知みち量りょうとして立りつ式しきする手順てじゅん
• 運動方程式うんどうほうていしきで処理しょりすべき場面ばめんと、エネルギーに切きり替かえるべき場面ばめんの見分みわけ

何なにを解とくページか

このページの本線ほんせんは、次つぎのような標準形ひょうじゅんけいである。

• 斜面しゃめんに沿そって動うごく質点しつてん
• 摩擦まさつのある面上めんじょうの質点しつてん
• ばねに接続せつぞくされた質点しつてん
• 斜面しゃめん・摩擦まさつ・ばねの要素ようそが組くみ合あわさった質点しつてん

いずれも、本質ほんしつは

$\sum \overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}$\sum \vec{F} = m\vec{a}

である。ただし、その前まえにどの成分せいぶんを未知みち量りょうとするかを決きめなければならない。

方針ほうしん

このページで最初さいしょに採とる方針ほうしんは、公式こうしきを探さがすことではなく、次つぎのテンプレートに従したがうことである。

1. 物体ぶったいを 1 つ選えらび、その物体ぶったいだけに働はたらく力ちからを図示ずしする
2. 斜面しゃめんがあるなら、原則げんそくとして斜面しゃめんに平行へいこう・垂直すいちょくの軸じくを取とる
3. 摩擦まさつがあるなら、静止せいしか滑すべりかを先さきに判定はんていする
4. ばねがあるなら、自然長しぜんちょうからの変位へんいを未知みち量りょうにする
5. そのうえで成分せいぶんごとに運動方程式うんどうほうていしきまたはつり合あいの式しきを立たてる

この順番じゅんばんを崩くずすと、摩擦力まさつりょくの誤用ごよう、ばねの符号ふごうミス、重力じゅうりょく成分せいぶんの取とり違ちがえが起おきやすい。

適用条件てきようじょうけん

• このページの基本式きほんしきは慣性系かんせいけいで用もちいる
• フックの法則ほうそく $F=-kx$F=-kx は弾性限界だんせいげんかいの範囲はんいでのみ用もちいる
• 動摩擦力どうまさつりょく $f_k={\mu }_{k}N$f_k=\mu_k N は、実際じっさいに滑すべっている場面ばめんでのみ用もちいる
• 静止摩擦力せいしまさつりょくは一般いっぱんに $f_s={\mu }_{s}N$f_s=\mu_s N ではなく、$\left|f_s\right|\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}{\mu }_{s}N$|f_s|\le \mu_s N を満みたす未知みち量りょうとして扱あつかう

用語ようごと定義ていぎ

何なにを最初さいしょに見分みわけるか

直感的ちょっかんてきな説明せつめい

導出どうしゅつまたは基本式きほんしき

具体例ぐたいてきれい 1: 斜面しゃめん上うえの静止せいし条件じょうけん

傾斜角けいしゃかく $\theta$\theta の斜面上しゃめんじょうに質量しつりょう $m$m の物体ぶったいが静止せいししている。静止せいししうる条件じょうけんを求もとめる。方針ほうしんは、最初さいしょから $f={\mu }_{s}N$f=\mu_sN と置おかず、まずつり合あいの式しきを書かくことである。斜面しゃめん方向ほうこうのつり合あいより

$f_s=mg\sin \theta$f_s=mg\sin\theta

垂直方向すいちょくほうこうより

$N=mg\cos \theta$N=mg\cos\theta

したがって

$mg\sin \theta \text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}{\mu }_{s}mg\cos \theta$mg\sin\theta\le \mu_smg\cos\theta

ゆえに

を得える。ここで初はじめて ${\mu }_s$\mu_s が登場とうじょうする。

具体例ぐたいてきれい 2: 摩擦まさつあり水平面すいへいめん

質量しつりょう $m$m の物体ぶったいを水平面上すいへいめんじょうで右向みぎむきに押おし、すでに右向みぎむきに滑すべっているとする。押おす力ちからを $F$F、動摩擦係数どうまさつけいすうを ${\mu }_k$\mu_k とすると

$N=mg,f_k={\mu }_{k}mg$N=mg,\qquad f_k=\mu_kmg

であり、右向みぎむきを正せいとして

$ma=F-{\mu }_{k}mg$ma=F-\mu_kmg

となる。ここで摩擦まさつの向むきは「右向みぎむきに動うごいているから左向ひだりむき」であり、押おす力ちからの向むきそのものとは独立どくりつである。

具体例ぐたいてきれい 3: ばね単独たんどく

水平面上すいへいめんじょうで摩擦まさつを無視むし、ばねの自然長しぜんちょうから右みぎへ $x$x だけ引ひいた質点しつてんを考かんがえる。ばねの力ちからは左向ひだりむきに

$F=-kx$F=-kx

であり、運動方程式うんどうほうていしきは

$m\ddot{x}=-kx$m\ddot{x}=-kx

となる。右みぎへ引ひくほど左向ひだりむきに強つよく戻もどそうとするという内容ないようが、この式しきにそのまま入いっている。

具体例ぐたいてきれい 4: 斜面しゃめんとばね

傾斜角けいしゃかく ${30}^{\circ }$30^\circ、摩擦まさつなし、ばね定数ていすう $k=100[\mathrm{N}/\mathrm{m};\mathsf{M}{T}^{-2}]$k=100\ [\mathrm{N/m};\ \mathsf{MT^{-2}}]、質量しつりょう $m=1[\mathrm{k}\mathrm{g};\mathsf{M}]$m=1\ [\mathrm{kg};\ \mathsf{M}] の物体ぶったいが斜面しゃめんに沿そってばねにつながれ、静止せいししている。自然長しぜんちょうからの縮ちぢみ $x[\mathrm{m};\mathsf{L}]$x\ [\mathrm{m};\ \mathsf{L}] を求もとめる。静止せいしなので斜面しゃめん方向ほうこうはつり合あいである。

$kx=mg\sin {30}^{\circ }=1\times 9.8\times 0.5=4.9$kx=mg\sin30^\circ=1\times 9.8\times 0.5=4.9

$x=\frac{4.9}{100}=0.049=4.9$x=\frac{4.9}{100}=0.049=4.9

単位たんい確認かくにん:

$\times =$\times=

であり、整合せいごうしている。

どこまで成なり立たつか

• 摩擦係数まさつけいすうを一定いっていとみなすのは近似きんじであり、高速こうそく・高温こうおん・特殊とくしゅ材料ざいりょうでは破やぶれる
• フックの法則ほうそくは大変形だいへんけいでは破やぶれる
• 斜面しゃめん方向ほうこう・垂直方向すいちょくほうこうの軸じく選択せんたくは便利べんりなだけで、絶対ぜったいにそうしなければならないわけではない
• ばねの変位へんいは自然長しぜんちょう基準きじゅんであり、位置いちの原点げんてんを別べつに取とってもよいが、その場合ばあいは変位へんいとの関係かんけいを書かき分わける必要ひつようがある

よくある誤あやまり

• 静止摩擦力せいしまさつりょくを無条件むじょうけんで $f={\mu }_{s}N$f=\mu_sN と置おく
• 重力じゅうりょくの平行へいこう成分せいぶんと垂直すいちょく成分せいぶんで $\sin$\sin と $\cos$\cos を取とり違ちがえる
• ばねの変位へんいを自然長しぜんちょうからではなく座標ざひょうそのものとして扱あつかい、負号ふごうを壊こわす
• 「摩擦まさつは運動方向うんどうほうこうに逆さからう」を機械的きかいてきに使つかい、相対そうたい運動うんどうの向むきを考かんがえない

解法かいほうの選択せんたく

• 力ちからが少すくなく、加速度かそくどや張力ちょうりょくを途中とちゅうまで知しりたい → 運動方程式うんどうほうていしき
• 高たかさや速はやさの前後関係ぜんごかんけいだけを知しりたい → 仕事しごととエネルギー
• 滑すべり始はじめる条件じょうけんを知しりたい → まず静止摩擦せいしまさつの上限じょうげん判定はんてい

摩擦まさつがあるときのエネルギー式しき

摩擦まさつがある問題もんだいでも、エネルギーの方法ほうほうを使つかえないわけではない。使つかえないのは $K+U=\text{const}$K+U=\text{const} であって、非保存力ひほぞんりょくの仕事しごとを入いれればよい。

$\mathrm{\Delta }(K+U)=W_{\mathrm{f}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{c}}$\Delta(K+U)=W_{\mathrm{fric}}

斜面しゃめんを距離きょり $s$s だけ滑すべるなら、動摩擦力どうまさつりょくの仕事しごとは

$W_{\mathrm{f}\mathrm{r}\mathrm{i}\mathrm{c}}=-{\mu }_{k}Ns$W_{\mathrm{fric}}=-\mu_kNs

である。摩擦まさつの仕事しごとは移動距離いどうきょりに比例ひれいするので、高たかさだけでなく、実際じっさいに滑すべった道みちの長ながさを確認かくにんする必要ひつようがある。

斜面しゃめんで滑すべり出だす臨界角りんかいかく

斜面しゃめん上じょうの物体ぶったいが静止せいししていられるかは、静止摩擦力せいしまさつりょくの上限じょうげんで決きまる。斜面しゃめんの角度かくどを $\theta$\theta とすると

$f_s=mg\sin \theta ,N=mg\cos \theta$f_s=mg\sin\theta,\qquad N=mg\cos\theta

であり、静止せいしできる条件じょうけんは

$mg\sin \theta \text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}{\mu }_{s}mg\cos \theta$mg\sin\theta\le \mu_s mg\cos\theta

したがって

$\tan \theta \text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}{\mu }_s$\tan\theta\le \mu_s

である。滑すべり出だす境界きょうかいでは

となる。この ${\theta }_c$\theta_c を臨界角りんかいかくとして読よめば、角度かくどを大おおきくしていく問題もんだいを一気いっきに判断はんだんできる。

ばねの平衡位置へいこういちから測はかる方法ほうほう

鉛直えんちょくばねや斜面上しゃめんじょうのばねでは、自然長しぜんちょうからの変位へんい $x$x で書かくと重力じゅうりょくの項こうが残のこることがある。平衡位置へいこういち $x_0$x_0 を先さきに求もとめ、

$u=x-x_0$u=x-x_0

と置おくと、重力じゅうりょくとばねの定常的ていじょうてきなつり合あいが消きえて

$m\ddot{u}=-ku$m\ddot{u}=-ku

の形かたちになる。振動しんどうを調しらべるときは、自然長しぜんちょうではなく平衡位置へいこういちからのずれ $u$u を使つかうと見通みとおしがよい。

まとめ

斜面しゃめん・摩擦まさつ・ばねの問題もんだいは、別々べつべつの特殊とくしゅ公式こうしきで解とくのではない。自由体図じゆうたいず、軸じく設定せってい、摩擦まさつの判定はんてい、自然長しぜんちょうからの変位へんいという四よつを先さきに固定こていすれば、すべて通常つうじょうの運動方程式うんどうほうていしきへ戻もどる。

次つぎに読よむべきページ

文字式もじしきの単位たんい

静止摩擦せいしまさつは、いつも ${\mu }_{s}N[\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$\mu_s N\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}] になるわけではない。まず運動方程式うんどうほうていしきやつり合あいから必要ひつような摩擦力まさつりょく $f_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{q}}[\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$f_{\mathrm{req}}\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}] を求もとめ、そのあとで

$\left|f_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{q}}\right|\le {\mu }_s\left[1\right]N$|f_{\mathrm{req}}|\leq \mu_s\ [1]N

を確認かくにんする。等号とうごうは「限界げんかいぎりぎり」を表あらわし、不等号ふとうごうが成なり立たつ範囲はんいでは物体ぶったいはまだ静止せいしできる。動摩擦どうまさつに切きり替かえるのは、この条件じょうけんが破やぶれたあとである。

斜面しゃめんでは、重力じゅうりょくそのもの $mg[\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$mg\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}] と、斜面方向しゃめんほうこう・垂直方向すいちょくほうこうの成分せいぶんを分わけて読よむ。角度かくど $\theta [\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d};1]$\theta\ [\mathrm{rad};\ \mathsf{1}] に対たいして

であり、$\sin \theta$\sin\theta、$\cos \theta$\cos\theta は無次元むじげんの係数けいすうである。摩擦力まさつりょくは $f[\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]=\mu \left[1\right]N[\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$f\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}]=\mu\ [1]N\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}]、ばねの弾性力だんせいりょくは $kx[\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$kx\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}] と読よみ、$k[\mathrm{N}/\mathrm{m};\mathsf{M}{T}^{-2}]$k\ [\mathrm{N/m};\ \mathsf{MT^{-2}}] と $x[\mathrm{m};\mathsf{L}]$x\ [\mathrm{m};\ \mathsf{L}] の積せきが力ちからの単位たんいになる。

斜面しゃめんでは、重力じゅうりょくの平行成分へいこうせいぶん $mg\sin \theta [\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$mg\sin\theta\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}]、垂直成分すいちょくせいぶん $mg\cos \theta [\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$mg\cos\theta\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}]、垂直抗力すいちょくこうりょく $N[\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$N\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}]、摩擦力まさつりょく $f[\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$f\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}] を同おなじ力ちからの単位たんいで扱あつかう。角度かくど $\theta [\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d};1]$\theta\ [\mathrm{rad};\ \mathsf{1}] は無次元むじげんとして三角関数さんかくかんすうの中なかに入はいる。

ばねでは、ばね定数ていすう $k[\mathrm{N}/\mathrm{m};\mathsf{M}{T}^{-2}]$k\ [\mathrm{N/m};\ \mathsf{MT^{-2}}]、変位へんい $x[\mathrm{m};\mathsf{L}]$x\ [\mathrm{m};\ \mathsf{L}]、弾性力だんせいりょく $kx[\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$kx\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}] である。ばねの位置いちエネルギー $\frac{1}{2}k{x}^2[\mathrm{J};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$\frac{1}{2}kx^2\ [\mathrm{J};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}] では、$k[\mathrm{N}/\mathrm{m};\mathsf{M}{T}^{-2}]$k\ [\mathrm{N/m};\ \mathsf{MT^{-2}}] と $x^2[m^2;L^2]$x^2\ [\mathrm{m^2};\ \mathsf{L^2}] から $\left[\mathrm{N}\mathrm{m}\right]=\left[\mathrm{J}\right]$[\mathrm{N\,m}]=[\mathrm{J}] が出でる。

斜面問題しゃめんもんだいの標準分解ひょうじゅんぶんかい

斜面しゃめんでは、重力じゅうりょく $mg[\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$mg\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}] を斜面しゃめんに平行へいこうな成分せいぶんと垂直すいちょくな成分せいぶんに分わける。角度かくどを $\theta [\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d};1]$\theta\ [\mathrm{rad};\ \mathsf{1}] とすると、平行成分へいこうせいぶんは $mg\sin \theta [\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$mg\sin\theta\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}]、垂直成分すいちょくせいぶんは $mg\cos \theta [\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$mg\cos\theta\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}] である。符号ふごうは、斜面しゃめんを下くだる向むきを正せいにするか、上のぼる向むきを正せいにするかで決きまる。

垂直方向すいちょくほうこうに飛とび出ださない間あいだは、垂直方向すいちょくほうこうの加速度かそくどは 0 である。したがって、ほかに垂直方向すいちょくほうこうの力ちからがなければ

$N=mg\cos \theta$N=mg\cos\theta

と置おける。ここで $N[\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$N\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}] は垂直抗力すいちょくこうりょくである。この式しきを先さきに出だすと、摩擦力まさつりょく $f[\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$f\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}] の上限じょうげん ${\mu }_{s}N[\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$\mu_s N\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}] や動摩擦力どうまさつりょく ${\mu }_{k}N[\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$\mu_k N\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}] を扱あつかいやすい。

摩擦まさつ・ばね・斜面しゃめんが同時どうじに出でる問題もんだい

斜面しゃめん、摩擦まさつ、ばねが同時どうじに出でるときは、力ちからで解とく部分ぶぶんとエネルギーで解とく部分ぶぶんを分わける。瞬間しゅんかんの加速度かそくど $a[\mathrm{m}/s^2;\mathsf{L}{T}^{-2}]$a\ [\mathrm{m/s^2};\ \mathsf{LT^{-2}}] を問とわれるなら運動方程式うんどうほうていしきを使つかう。速はやさ $v[\mathrm{m}/\mathrm{s};\mathsf{L}{T}^{-1}]$v\ [\mathrm{m/s};\ \mathsf{LT^{-1}}] や最大圧縮さいだいあっしゅく $x[\mathrm{m};\mathsf{L}]$x\ [\mathrm{m};\ \mathsf{L}] を問とわれるなら、仕事しごととエネルギーの式しきが有効ゆうこうである。

ばねの力ちから $kx[\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$kx\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}] は位置いちで変かわるので、力ちからの平均へいきんを安易あんいに使つかうより、ばねの位置いちエネルギー $\frac{1}{2}k{x}^2[\mathrm{J};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$\frac{1}{2}kx^2\ [\mathrm{J};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}] を使つかうほうが安全あんぜんである。一方いっぽう、動摩擦力どうまさつりょくの大おおきさが一定いっていなら、その仕事しごとは $-{\mu }_{k}Ns[\mathrm{J};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$-\mu_kNs\ [\mathrm{J};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}] と書かける。ここで $s[\mathrm{m};\mathsf{L}]$s\ [\mathrm{m};\ \mathsf{L}] は接触面せっしょくめんに沿そって滑すべった距離きょりである。

主要文字式しゅようもじしきの単位たんい確認かくにん

角度かくど $\theta [\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d};1]$\theta\ [\mathrm{rad};\ \mathsf{1}] は、三角関数さんかくかんすうの中なかでは無次元むじげんとして扱あつかう。重力じゅうりょくの成分せいぶん $mg\sin \theta [\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$mg\sin\theta\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}]、$mg\cos \theta [\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$mg\cos\theta\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}] は、どちらも力ちからである。垂直抗力すいちょくこうりょく $N[\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$N\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}]、摩擦力まさつりょく $f[\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$f\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}]、摩擦係数まさつけいすう $\mu [1;1]$\mu\ [\mathrm{1};\ \mathsf{1}] を分わけて読よむ。

ばねでは、ばね定数ていすう $k[\mathrm{N}/\mathrm{m};\mathsf{M}{T}^{-2}]$k\ [\mathrm{N/m};\ \mathsf{MT^{-2}}]、変位へんい $x[\mathrm{m};\mathsf{L}]$x\ [\mathrm{m};\ \mathsf{L}]、弾性力だんせいりょく $kx[\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$kx\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}]、ばねの位置いちエネルギー $\frac{1}{2}k{x}^2[\mathrm{J};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$\frac{1}{2}kx^2\ [\mathrm{J};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}] である。力ちからを扱あつかう式しきと、エネルギーを扱あつかう式しきを単位たんいで区別くべつする。

数式内すうしきないでの単位たんい明示めいじ

斜面しゃめんで重力じゅうりょくを分解ぶんかいすると、平行成分へいこうせいぶんと垂直成分すいちょくせいぶんはどちらも力ちからの単位たんいになる。

$mg\sin \theta =mg\sin \theta ,mg\cos \theta =mg\cos \theta$mg\sin\theta = mg\sin\theta, \qquad mg\cos\theta = mg\cos\theta

ばねでは、ばね定数ていすう、変位へんい、弾性力だんせいりょく、ばねの位置いちエネルギーを次つぎのように読よむ。

$F_s=kx,U_s=\frac{1}{2}k{x}^2$F_s = kx, \qquad U_s = \frac{1}{2}kx^2

静止せいしか滑すべり出だすかの分岐ぶんき

摩擦まさつのある斜面しゃめんでは、まず静止せいししていると仮定かていする。その仮定かていのもとで、斜面しゃめんに平行へいこうな方向ほうこうのつり合あいから必要ひつような静止摩擦力せいしまさつりょく $f_s[\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$f_s\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}] を求もとめる。

その結果けっかが $\left|f_s\right|\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}{\mu }_{s}N$|f_s|\le \mu_s N を満みたせば、静止せいしの仮定かていは正ただしい。ここで、${\mu }_s[1;1]$\mu_s\ [\mathrm{1};\ \mathsf{1}] は静止摩擦係数せいしまさつけいすう、$N[\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$N\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}] は垂直抗力すいちょくこうりょくである。もし必要ひつような $\left|f_s\right|[\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$|f_s|\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}] が最大静止摩擦力さいだいせいしまさつりょく ${\mu }_{s}N[\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$\mu_s N\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}] を超こえるなら、物体ぶったいは滑すべり出だす。

滑すべり出だした後あとは、摩擦力まさつりょくを動摩擦力どうまさつりょく $f_k={\mu }_{k}N[\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$f_k=\mu_k N\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}] として扱あつかう。静止摩擦せいしまさつと動摩擦どうまさつを同おなじ式しきで扱あつかわないことが重要じゅうようである。