回転運動かいてんうんどうの基本きほん

導入どうにゅう

この講義こうぎの核心かくしんは、固定軸こていじくまわりの回転運動かいてんうんどうでは、$\theta ,\omega ,\alpha$\theta,\omega,\alpha が $x,v,a$x,v,a に対応たいおうし、直線運動ちょくせんうんどうの考かんがえ方かたをそのまま移うつせるという点てんにある。円えんの上うえを動うごく点てんの位置いちは弧長こちょう $s$s でも角度かくど $\theta$\theta でも記述きじゅつできる。$\theta$\theta を選えらぶと回転かいてんが一様いちように書かけ、最後さいごに $s=r\theta$s=r\theta で長ながさへ戻もどせる。この変換へんかんの要かなめが半径はんけい $r$r である。

このページで解とけるようになること

• $\theta ,\omega ,\alpha$\theta,\omega,\alpha を用もちいて固定軸回転こていじくかいてんを記述きじゅつする
• $v=r\omega$v=r\omega、$a_t=r\alpha$a_t=r\alpha、$a_n=r{\omega }^2$a_n=r\omega^2 の意味いみと向むきを区別くべつする
• 等角加速度とうかくかそくど回転かいてんの 3 公式こうしきを立たてる
• 質点しつてんの円運動えんうんどうと剛体ごうたいの回転かいてんの役割分担やくわりぶんたんを整理せいりする

方針ほうしん

まず弧長こちょう $s=r\theta$s=r\theta から $v=r\omega$v=r\omega と $a_t=r\alpha$a_t=r\alpha を導みちびく。そのあと速度そくどベクトルの向むきの変化へんかから向心加速度こうしんかそくど $a_n=r{\omega }^2$a_n=r\omega^2 を得える。最後さいごに直線運動ちょくせんうんどうとの対応表たいおうひょうを用もちいて等角加速度とうかくかそくど回転かいてんの公式こうしきを整理せいりする。

適用条件てきようじょうけん

• このページの本線ほんせんは固定軸こていじくまわりの回転かいてんである
• $v=r\omega$v=r\omega は軸じくからの距離きょり $r$r が一定いっていの点てんに対たいして使つかう
• $a_t=r\alpha$a_t=r\alpha は接線方向せっせんほうこう、$a_n=r{\omega }^2$a_n=r\omega^2 は法線方向ほうせんほうこうの成分せいぶんである

用語ようごと定義ていぎ

見方みかたの整理せいり

まず弧長こちょう $s=r\theta$s = r\theta を出発点しゅっぱつてんとし、微分びぶんで $v=r\omega$v = r\omega、さらに微分びぶんで $a_t=r\alpha$a_t = r\alpha を導出どうしゅつする。等速とうそく円運動えんうんどうでは速度そくどベクトルの向むきの変化へんかから向心加速度こうしんかそくど $a_n=v^2/r$a_n = v^2/r を別途べっと導出どうしゅつする。

直感的ちょっかんてきな説明せつめい

回転かいてんしている物体ぶったいでは、1 秒びょうでどれだけ角度かくどが進すすむかを見みるほうが自然しぜんである。実際じっさいに空間くうかんで動うごいているのは円周えんしゅうに沿そった位置いちなので、最後さいごに長ながさへ戻もどす橋はしが必要ひつようである。それが $v=r\omega$v = r\omega である。等速とうそく円運動えんうんどうでは速はやさは変かわらないが向むきは変かわり続つづける。向むきが変かわるということは加速度かそくどが存在そんざいするということである。その加速度かそくどが向心加速度こうしんかそくどである。

厳密げんみつな説明せつめい

具体例ぐたいれい 1: 円盤えんばん周辺しゅうへんの点てん

半径はんけい $0.20[\mathrm{m};\mathsf{L}]$0.20\ [\mathrm{m};\ \mathsf{L}] の円盤えんばんが $\omega =10[\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}/\mathrm{s};T^{-1}]$\omega=10\ [\mathrm{rad/s};\ \mathsf{T^{-1}}] で回転かいてんしているとする。このとき周辺しゅうへんの点てんの線速度せんそくどは

$v=r\omega =0.20\times 10=2.0$v=r\omega=0.20\times 10=2.0

であり、向心加速度こうしんかそくどは

$a_n=r{\omega }^2=0.20\times {10}^2=20$a_n=r\omega^2=0.20\times 10^2=20

である。

具体例ぐたいれい 2: 等角加速度とうかくかそくど回転かいてん

${\omega }_0=2.0[\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}/\mathrm{s};T^{-1}]$\omega_0=2.0\ [\mathrm{rad/s};\ \mathsf{T^{-1}}]、$\alpha =3.0[\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}/s^2;T^{-2}]$\alpha=3.0\ [\mathrm{rad/s^2};\ \mathsf{T^{-2}}]、$t=4.0[\mathrm{s};\mathsf{T}]$t=4.0\ [\mathrm{s};\ \mathsf{T}] とすると

$\omega ={\omega }_0+\alpha t=2.0+3.0\times 4.0=14$\omega=\omega_0+\alpha t=2.0+3.0\times 4.0=14

となる。さらに

$\theta -{\theta }_0={\omega }_{0}t+\frac{1}{2}\alpha t^2$\theta-\theta_0=\omega_0 t+\frac{1}{2}\alpha t^2

で回転角かいてんかくも求もとめられる。

見分みわけ方かた

• 円運動えんうんどう・回転かいてんが出でたら、まず $\theta ,\omega ,\alpha$\theta, \omega, \alpha で書かけないか考かんがえる
• 速はやさが変かわらなくても向むきが変かわるなら加速度かそくどが存在そんざいする → 向心加速度こうしんかそくど
• 回転かいてんの速はやさも変かわるなら $a_t=r\alpha$a_t = r\alpha も必要ひつよう
• 遠心力えんしんりょくは回転系かいてんけいでのみ使用しようする（慣性系かんせいけいでは使つかわない）

並進へいしんと回転かいてんを同時どうじに扱あつかう場面ばめん

円板えんばんや球きゅうが転ころがる問題もんだいでは、重心じゅうしんの並進運動へいしんうんどうと、重心じゅうしんまわりの回転運動かいてんうんどうを同時どうじに扱あつかう。

$\sum F=ma,\sum {\tau }_G=I_G\alpha$\sum F = ma,\qquad \sum \tau_G=I_G\alpha

さらに、すべりなしなら

$a=R\alpha ,v=R\omega$a=R\alpha,\qquad v=R\omega

を束縛条件そくばくじょうけんとして加くわえる。摩擦力まさつりょくは仕事しごとをしない場合ばあいもあるが、回転かいてんを生うむモーメントとしては重要じゅうようである。したがって、転ころがり問題もんだいでは摩擦まさつを単純たんじゅんに「邪魔じゃまな力ちから」として消けさない。

追加例ついかれい: 斜面しゃめんを転ころがる剛体ごうたい

半径はんけい $R$R、質量しつりょう $m$m、重心じゅうしんまわりの慣性かんせいモーメント $I_G$I_G の剛体ごうたいが、角度かくど $\theta$\theta の斜面しゃめんをすべらずに転ころがる。斜面しゃめんに沿そう下向したむきを正せいにすると、並進へいしんの式しきは

$ma=mg\sin \theta -f$ma=mg\sin\theta-f

重心じゅうしんまわりの回転かいてんの式しきは

$I_G\alpha =fR$I_G\alpha=fR

すべりなしより $a=R\alpha$a=R\alpha なので

$f=\frac{I_G}{R^2}a$f=\frac{I_G}{R^2}a

これを並進へいしんの式しきへ代入だいにゅうして

を得える。慣性かんせいモーメントが大おおきいほど、同おなじ重力じゅうりょくでも回転かいてんに使つかわれる分ぶんが増ふえ、重心じゅうしんの加速度かそくどは小ちいさくなる。

回転かいてんの仕事しごとと仕事率しごとりつ

力ちからのモーメント $\tau$\tau が角度かくど $\theta$\theta だけ回転かいてんさせるとき、回転かいてんの仕事しごとは

$W=\int \text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("taud")")]}\theta$W=\int \taud\theta

である。$\tau$\tau が一定いっていなら

$W=\tau \mathrm{\Delta }\theta$W=\tau\Delta\theta

となる。仕事率しごとりつは

$P=\tau \omega$P=\tau\omega

である。これは直線運動ちょくせんうんどうの $W=\int Fdx$W=\int F\,dx、$P=Fv$P=Fv に対応たいおうする。回転かいてんでは、力ちからそのものではなく力ちからのモーメントが仕事しごとを決きめる。

角量かくりょうと線量せんりょうの対応たいおう

固定軸こていじくまわりの回転かいてんでは、直線運動ちょくせんうんどうの量りょうと回転運動かいてんうんどうの量りょうが対応たいおうする。

この対応たいおうは便利べんりだが、一般いっぱんの剛体運動ごうたいうんどうでは軸じくが固定こていされているとは限かぎらない。対応表たいおうひょうを使つかう前まえに、固定軸こていじくまたは重心軸じゅうしんじくとして扱あつかえるかを確認かくにんする。

軸じくの選えらび方かた

回転かいてんの式しきを立たてるときは、どの軸じくまわりに見みるかを先さきに決きめる。

固定軸こていじくでは $\sum \tau =I\alpha$\sum\tau=I\alpha をそのまま使つかいやすい。重心軸じゅうしんじくでは $\sum F=ma$\sum F=ma と $\sum {\tau }_G=I_G\alpha$\sum\tau_G=I_G\alpha を連立れんりつする。接触点せっしょくてんまわりの方法ほうほうは便利べんりだが、慣性かんせいモーメントの軸じくがどこかを必かならず確認かくにんする。

どこまで成なり立たつか

$v=r\omega$v = r\omega と $a_t=r\alpha$a_t = r\alpha は半径はんけい $r$r が一定いっていの円運動えんうんどうを前提ぜんていとする。$a_n=v^2/r$a_n = v^2/r は曲率半径きょくりつはんけい $r$r の任意にんいの曲線運動きょくせんうんどうに一般化いっぱんかできる（$r$r が時間じかんで変かわる場合ばあいは別途べっと考察こうさつが必要ひつよう）。回転運動かいてんうんどうの動力学どうりきがく（慣性かんせいモーメント・角運動量かくうんどうりょう）については別途べっとの講義こうぎで扱あつかう。

よくある誤あやまり

• $a=r\alpha$a=r\alpha を全加速度ぜんかそくどと思おもい込こむ
• 向心加速度こうしんかそくどを接線方向せっせんほうこうへ描えがく
• $v=r\omega$v=r\omega を固定軸こていじくでない一般運動いっぱんうんどうへ濫用らんようする
• 遠心力えんしんりょくを慣性系かんせいけいの式しきへ加くわえる

最終形さいしゅうけい

向心加速度こうしんかそくどは中心向ちゅうしんむきである。

一言ひとことでいうと

$\theta \to \omega \to \alpha$\theta \to \omega \to \alpha は $x\to v\to a$x \to v \to a の完全かんぜんな対応たいおう物ものであり、半径はんけい $r$r を掛かけると線速度せんそくど・接線加速度せっせんかそくどに変換へんかんできる。向心加速度こうしんかそくどは速はやさでなく向むきの変化へんかから生うまれる。

関連かんれんリンク

文字式もじしきの単位たんい

回転かいてんでは、角変位かくへんい $\theta [\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d};1]$\theta\ [\mathrm{rad};\ \mathsf{1}]、角速度かくそくど $\omega [\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}/\mathrm{s};T^{-1}]$\omega\ [\mathrm{rad/s};\ \mathsf{T^{-1}}]、角加速度かくかそくど $\alpha [\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}/s^2;T^{-2}]$\alpha\ [\mathrm{rad/s^2};\ \mathsf{T^{-2}}] を使つかう。rad は無次元むじげんとして扱あつかうため、$v=r\omega [\mathrm{m}/\mathrm{s};\mathsf{L}{T}^{-1}]$v=r\omega\ [\mathrm{m/s};\ \mathsf{LT^{-1}}] では $r[\mathrm{m};\mathsf{L}]$r\ [\mathrm{m};\ \mathsf{L}] と $\omega [\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}/\mathrm{s};T^{-1}]$\omega\ [\mathrm{rad/s};\ \mathsf{T^{-1}}] から $v[\mathrm{m}/\mathrm{s};\mathsf{L}{T}^{-1}]$v\ [\mathrm{m/s};\ \mathsf{LT^{-1}}] が出でる。

回転かいてんの運動方程式うんどうほうていしき $\sum \tau =I\alpha$\sum\tau=I\alpha では、$\sum \tau [\mathrm{N}\mathrm{m};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$\sum\tau\ [\mathrm{N\,m};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}]、$I[\mathrm{k}\mathrm{g}{m}^2;\mathsf{M}{L}^2]$I\ [\mathrm{kg\,m^2};\ \mathsf{ML^2}]、$\alpha [\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}/s^2;T^{-2}]$\alpha\ [\mathrm{rad/s^2};\ \mathsf{T^{-2}}] である。rad を無次元むじげんとすると、$I\alpha [\mathrm{k}\mathrm{g}{m}^2/s^2;\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]=\left[\mathrm{N}\mathrm{m}\right]$I\alpha\ [\mathrm{kg\,m^2/s^2};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}]=[\mathrm{N\,m}] になる。回転かいてんエネルギー $\frac{1}{2}I{\omega }^2[\mathrm{J};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$\frac{1}{2}I\omega^2\ [\mathrm{J};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}] も、同おなじく $\left[\mathrm{k}\mathrm{g}{m}^2/s^2\right]$[\mathrm{kg\,m^2/s^2}] になる。

並進へいしんと回転かいてんを同時どうじに立たてる手順てじゅん

転ころがり運動うんどうでは、並進へいしんの式しき、回転かいてんの式しき、すべりなしの束縛条件そくばくじょうけんを別々べつべつに立たてる。

$\sum F=Ma$\sum F=Ma

$\sum \tau =I\alpha$\sum \tau=I\alpha

$a=R\alpha$a=R\alpha

この 3 種類しゅるいの式しきを混まぜないことが重要じゅうようである。摩擦力まさつりょくは並進へいしんでは力ちから、回転かいてんではモーメントを作つくる同おなじ未知量みちりょうとして現あらわれる。

転ころがる物体ぶったいや糸いとで引ひかれる滑車かっしゃでは、並進へいしんの式しきと回転かいてんの式しきを同時どうじに使つかう。重心じゅうしんの運動うんどうには $ma[\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$ma\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}]、重心じゅうしんまわりの回転かいてんには $I\alpha [\mathrm{N}\mathrm{m};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$I\alpha\ [\mathrm{N\,m};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}] が対応たいおうする。

手順てじゅんは次つぎのように整理せいりできる。

ここで $a[\mathrm{m}/s^2;\mathsf{L}{T}^{-2}]$a\ [\mathrm{m/s^2};\ \mathsf{LT^{-2}}] は重心じゅうしんの加速度かそくど、$R[\mathrm{m};\mathsf{L}]$R\ [\mathrm{m};\ \mathsf{L}] は半径はんけい、$\alpha [\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}/s^2;T^{-2}]$\alpha\ [\mathrm{rad/s^2};\ \mathsf{T^{-2}}] は角加速度かくかそくどである。すべりなしの条件じょうけんは力ちからの法則ほうそくではなく、接触点せっしょくてんの相対速度そうたいそくどが 0 であるという幾何条件きかじょうけんである。

摩擦まさつがあっても力学的りきがくてきエネルギーが保たもたれる場合ばあい

すべりなしで転ころがる場合ばあい、静止摩擦力せいしまさつりょくが存在そんざいしても、接触点せっしょくてんが瞬間的しゅんかんてきに静止せいししていれば仕事しごとをしない。このとき摩擦まさつは並進へいしんと回転かいてんの間あいだでエネルギーを配分はいぶんする役割やくわりをもつが、全体ぜんたいの力学的りきがくてきエネルギーを失うしなわせない。

一方いっぽう、すべりがある場合ばあいは動摩擦力どうまさつりょくが相対移動そうたいいどうに逆さからって仕事しごとをし、力学的りきがくてきエネルギーは熱ねつなどへ移うつる。摩擦まさつがあるかどうかではなく、接触点せっしょくてんに相対移動そうたいいどうがあるかどうかで判断はんだんする。

ただし、すべりなしを仮定かていしたあとで静止摩擦力せいしまさつりょく $f_s[\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$f_s\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}] を求もとめたら、必かならず

を確認かくにんする。この不等式ふとうしきを満みたさないなら、静止摩擦せいしまさつでは転ころがり条件じょうけんを保たもてず、すべりを含ふくむ運動うんどうとして立たて直なおす。

回転かいてんの誤答ごとうパターン

回転運動かいてんうんどうで多おおい誤あやまりは、力ちから $F[\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$F\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}] と力ちからのモーメント $\tau [\mathrm{N}\mathrm{m};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$\tau\ [\mathrm{N\,m};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}] を混同こんどうすることである。並進へいしんを変かえるのは合力ごうりょくであり、回転かいてんを変かえるのはモーメントである。力ちからが大おおきくても、作用線さようせんが回転軸かいてんじくを通とおればモーメントは $0[\mathrm{N}\mathrm{m};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$0\ [\mathrm{N\,m};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}] になる。

もう 1 つの誤あやまりは、角速度かくそくど $\omega [\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}/\mathrm{s};T^{-1}]$\omega\ [\mathrm{rad/s};\ \mathsf{T^{-1}}] と速はやさ $v[\mathrm{m}/\mathrm{s};\mathsf{L}{T}^{-1}]$v\ [\mathrm{m/s};\ \mathsf{LT^{-1}}] を同おなじものとして扱あつかうことである。両者りょうしゃは $v=R\omega [\mathrm{m}/\mathrm{s};\mathsf{L}{T}^{-1}]$v=R\omega\ [\mathrm{m/s};\ \mathsf{LT^{-1}}] で結むすばれるが、半径はんけい $R[\mathrm{m};\mathsf{L}]$R\ [\mathrm{m};\ \mathsf{L}] が変かわれば、同おなじ $\omega [\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}/\mathrm{s};T^{-1}]$\omega\ [\mathrm{rad/s};\ \mathsf{T^{-1}}] でも速はやさ $v[\mathrm{m}/\mathrm{s};\mathsf{L}{T}^{-1}]$v\ [\mathrm{m/s};\ \mathsf{LT^{-1}}] は変かわる。

回転かいてんでの単位確認たんいかくにん

回転かいてんの式しきでは、rad を無次元むじげんとして扱あつかうことが多おおい。そのため、$R\omega [\mathrm{m}/\mathrm{s};\mathsf{L}{T}^{-1}]$R\omega\ [\mathrm{m/s};\ \mathsf{LT^{-1}}] は $\left[\mathrm{m}\right]$[\mathrm{m}] と $\left[1/\mathrm{s}\right]$[\mathrm{1/s}] の積せきとして $\left[\mathrm{m}/\mathrm{s}\right]$[\mathrm{m/s}] になる。$I\alpha [\mathrm{N}\mathrm{m};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$I\alpha\ [\mathrm{N\,m};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}] は $\left[\mathrm{k}\mathrm{g}{m}^2\right]$[\mathrm{kg\,m^2}] と $\left[1/s^2\right]$[\mathrm{1/s^2}] の積せきとして $\left[\mathrm{k}\mathrm{g}{m}^2/s^2\right]$[\mathrm{kg\,m^2/s^2}]、すなわち $\left[\mathrm{N}\mathrm{m}\right]$[\mathrm{N\,m}] になる。

単位たんいを追おうと、並進へいしんの式しきと回転かいてんの式しきを混まぜていないか確認かくにんできる。力ちからの単位たんい $\left[\mathrm{N}\right]$[\mathrm{N}] と、モーメントの単位たんい $\left[\mathrm{N}\mathrm{m}\right]$[\mathrm{N\,m}] は違ちがうので、同おなじ式しきの中なかで足たしてはいけない。

主要文字式しゅようもじしきの単位たんい確認かくにん

角変位かくへんい $\theta [\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d};1]$\theta\ [\mathrm{rad};\ \mathsf{1}]、角速度かくそくど $\omega [\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}/\mathrm{s};T^{-1}]$\omega\ [\mathrm{rad/s};\ \mathsf{T^{-1}}]、角加速度かくかそくど $\alpha [\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}/s^2;T^{-2}]$\alpha\ [\mathrm{rad/s^2};\ \mathsf{T^{-2}}] を使つかう。rad を無次元むじげんとして扱あつかうと、$R\omega [\mathrm{m}/\mathrm{s};\mathsf{L}{T}^{-1}]$R\omega\ [\mathrm{m/s};\ \mathsf{LT^{-1}}]、$R\alpha [\mathrm{m}/s^2;\mathsf{L}{T}^{-2}]$R\alpha\ [\mathrm{m/s^2};\ \mathsf{LT^{-2}}] となり、並進へいしんの量りょうと接続せつぞくできる。

慣性かんせいモーメント $I[\mathrm{k}\mathrm{g}{m}^2;\mathsf{M}{L}^2]$I\ [\mathrm{kg\,m^2};\ \mathsf{ML^2}]、力ちからのモーメント $\tau [\mathrm{N}\mathrm{m};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$\tau\ [\mathrm{N\,m};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}]、回転かいてんエネルギー $\frac{1}{2}I{\omega }^2[\mathrm{J};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$\frac{1}{2}I\omega^2\ [\mathrm{J};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}]、角運動量かくうんどうりょう $I\omega [\mathrm{k}\mathrm{g}{m}^2/\mathrm{s};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-1}]$I\omega\ [\mathrm{kg\,m^2/s};\ \mathsf{ML^2T^{-1}}] を区別くべつする。$I\alpha [\mathrm{N}\mathrm{m};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$I\alpha\ [\mathrm{N\,m};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}] は回転かいてんの運動方程式うんどうほうていしきに現あらわれる量りょうである。

数式内すうしきないでの単位たんい明示めいじ

回転かいてんの運動方程式うんどうほうていしきは
$\tau =I\times \alpha =I\alpha$\tau = I \times \alpha = I\alpha
である。回転かいてんエネルギーと角運動量かくうんどうりょうも、単位たんいを数式内すうしきないに置おく。

$K_{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}=\frac{1}{2}I{\omega }^2,L=I\omega$K_{\mathrm{rot}} = \frac{1}{2}I\omega^2, \qquad L = I\omega

接点せってんまわりの瞬間回転しゅんかんかいてんという見方みかた

すべりなしで転ころがる物体ぶったいは、接点せってんが瞬間的しゅんかんてきに静止せいししている。このため、一瞬いっしゅんだけを見みれば、物体ぶったいは接点せってんまわりに回転かいてんしているように扱あつかえる。

この見方みかたを使つかうと、速はやさの分布ぶんぷを理解りかいしやすい。中心ちゅうしんの速はやさを $v[\mathrm{m}/\mathrm{s};\mathsf{L}{T}^{-1}]$v\ [\mathrm{m/s};\ \mathsf{LT^{-1}}] とすると、接点せってんの速はやさは $0[\mathrm{m}/\mathrm{s};\mathsf{L}{T}^{-1}]$0\ [\mathrm{m/s};\ \mathsf{LT^{-1}}]、上端じょうたんの速はやさは地面じめんに対たいして $2v[\mathrm{m}/\mathrm{s};\mathsf{L}{T}^{-1}]$2v\ [\mathrm{m/s};\ \mathsf{LT^{-1}}] になる。これは並進へいしんの速度そくどと回転かいてんによる速度そくどを足たし合あわせた結果けっかである。

ただし、接点せってんまわりの瞬間回転しゅんかんかいてんは運動うんどうの見方みかたであって、固定軸こていじくがそこにあるという意味いみではない。力ちからのモーメントや慣性かんせいモーメントを使つかうときは、どの軸じくまわりに計算けいさんしているかを明確めいかくにする。

滑車かっしゃに慣性かんせいモーメントがある場合ばあい

軽かるい滑車かっしゃでは、糸いとの両側りょうがわの張力ちょうりょくを同おなじとみなす。しかし滑車かっしゃに慣性かんせいモーメント $I[\mathrm{k}\mathrm{g}{m}^2;\mathsf{M}{L}^2]$I\ [\mathrm{kg\,m^2};\ \mathsf{ML^2}] がある場合ばあい、両側りょうがわの張力ちょうりょくは一般いっぱんに異ことなる。その差さが滑車かっしゃにモーメントを与あたえ、角加速度かくかそくど $\alpha [\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}/s^2;T^{-2}]$\alpha\ [\mathrm{rad/s^2};\ \mathsf{T^{-2}}] を生しょうじる。

半径はんけい $R[\mathrm{m};\mathsf{L}]$R\ [\mathrm{m};\ \mathsf{L}] の滑車かっしゃに、左右さゆうの張力ちょうりょく $T_1[\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$T_1\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}]、$T_2[\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$T_2\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}] が働はたらくなら、回転かいてんを変かえるのは張力差ちょうりょくさである。並進へいしんする物体ぶったいには力ちからの式しきを、回転かいてんする滑車かっしゃにはモーメントの式しきを立たてる。

すべりなしで糸いとが滑車かっしゃに巻まきついているなら、糸いとの加速度かそくど $a[\mathrm{m}/s^2;\mathsf{L}{T}^{-2}]$a\ [\mathrm{m/s^2};\ \mathsf{LT^{-2}}] と滑車かっしゃの角加速度かくかそくど $\alpha [\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}/s^2;T^{-2}]$\alpha\ [\mathrm{rad/s^2};\ \mathsf{T^{-2}}] は $a=R\alpha [\mathrm{m}/s^2;\mathsf{L}{T}^{-2}]$a=R\alpha\ [\mathrm{m/s^2};\ \mathsf{LT^{-2}}] で結むすばれる。この束縛条件そくばくじょうけんを追加ついかして、並進へいしんと回転かいてんを同時どうじに解とく。