慣性かんせいモーメントの基本きほん

導入どうにゅう

この講義こうぎの核心かくしんは、慣性かんせいモーメントは物体ぶったいだけで決きまる量りょうではなく、どの軸じくまわりに回まわすかまで含ふくめて決きまる量りょうであるという点てんにある。直線運動ちょくせんうんどうでは動うごきにくさを質量しつりょう $m$m が表あらわす（$F=ma$F = ma）。回転運動かいてんうんどうでは対応たいおうする量りょうが慣性かんせいモーメント $I$I であり、$\tau =I\alpha$\tau = I\alpha が成立せいりつする。$I$I は質量しつりょうの総量そうりょうだけでなく、軸じくからの距離きょりの 2 乗じょうで重おもみ付つけられる。

このページで解とけるようになること

• 代表的だいひょうてきな物体ぶったいの慣性かんせいモーメントを軸じくつきで使つかう
• 平行軸へいこうじくの定理ていりで軸じくを移うつした値あたいを求もとめる
• $\tau =I\alpha$\tau = I\alpha、$K_{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}=\frac{1}{2}I{\omega }^2$K_{\mathrm{rot}} = \frac{1}{2} I\omega^2 に接続せつぞくする
• 慣性かんせいモーメントが軸依存じくいぞんであることを明確めいかくに扱あつかう

方針ほうしん

まず質点しつてん 1 個こで $I=m{r}^2$I = mr^2 を導みちびき、$r^2$r^2 が現あらわれる理由りゆうを回転かいてんエネルギーから確認かくにんする。つぎに連続体れんぞくたいへ一般化いっぱんかし、代表形状だいひょうけいじょうを軸じくつきの表ひょうで整理せいりする。最後さいごに平行軸へいこうじくの定理ていりで軸じくを移うつす。

適用条件てきようじょうけん

• 各式かくしきは、どの軸じくまわりかを必かならず明記めいきして使つかう
• $\tau =I\alpha$\tau = I\alpha や $L=I\omega$L = I\omega は固定軸こていじくまわりの回転かいてんを前提ぜんていとする
• 連続体れんぞくたいの積分せきぶんでは密度みつどの仮定かていを確認かくにんする

用語ようごと定義ていぎ

見方みかたの整理せいり

まず質点しつてん 1 個こで $I=m{r}^2$I = mr^2 を導出どうしゅつし、$r^2$r^2 が現あらわれる理由りゆうを理解りかいする。次つぎに代表的だいひょうてきな形状けいじょうの $I$I を積分せきぶんで求もとめ、平行軸へいこうじくの定理ていりを導出どうしゅつする。

直感的ちょっかんてきな説明せつめい

扉とびらを蝶番ちょうつがいの近ちかくで押おしても回まわしにくく、端はしで押おすと回まわしやすい。これは力ちからのモーメント（腕うでの長ながさ × 力ちから）が大おおきいからである。逆ぎゃくの見方みかたをすれば、端はしに質量しつりょうを集あつめると回まわしにくくなる—これが慣性かんせいモーメントの直観ちょっかんである。フィギュアスケーターが腕うでを縮ちぢめると速はやく回転かいてんする。腕うでを縮ちぢめることで $I$I が小ちいさくなり、角運動量かくうんどうりょう $L=I\omega$L = I\omega が保存ほぞんされるため $\omega$\omega が増大ぞうだいする。

厳密げんみつな説明せつめい

連続体れんぞくたいでの計算けいさんの型かた

連続体れんぞくたいでは、質点しつてんの和わ

$I=\sum _i{m}_i{r}_{i^2}$I=\sum_i m_i r_i^2

を積分せきぶんへ置おき換かえる。

$I=\int r^{2}dm$I=\int r^2dm

一様いちような棒ぼうなら $dm=\lambda dx$dm=\lambda\,dx、一様いちような板いたなら $dm=\sigma dS$dm=\sigma\,dS、一様いちような立体りったいなら $dm=\rho dV$dm=\rho\,dV と置おく。重要じゅうようなのは、$r$r が「回転軸かいてんじくからの垂直距離すいちょくきょり」であり、座標ざひょうそのものではない場合ばあいがあることだ。

回転半径かいてんはんけいという見方みかた

慣性かんせいモーメントは

$I=M{k}^2$I=Mk^2

と書かけることがある。この $k$k を回転半径かいてんはんけいという。全質量ぜんしつりょう $M$M が回転軸かいてんじくから距離きょり $k$k の位置いちに集あつまっていると考かんがえたとき、同おなじ慣性かんせいモーメントになる、という意味いみである。

たとえば薄うすい輪わでは $I=M{R}^2$I=MR^2 なので $k=R$k=R、一様いちような円板えんばんでは $I=\frac{1}{2}M{R}^2$I=\frac{1}{2}MR^2 なので $k=R/\sqrt{2}$k=R/\sqrt{2} である。質量しつりょうが外側そとがわに集あつまるほど $k$k は大おおきくなり、回転かいてんしにくくなる。

具体例ぐたいれい 1: 棒ぼうの端はしまわり

棒ぼうの重心じゅうしんまわりの値あたいを知しっていれば、端はしまわりの値あたいは平行軸へいこうじくの定理ていりで直ただちに出だせる。ここでは「重心軸じゅうしんじくから軸じくを平行移動へいこういどうした」と読よむことが重要じゅうようである。

具体例ぐたいれい 2: 転ころがる円板えんばん

半径はんけい $R$R、質量しつりょう $M$M の円板えんばんが滑すべらずに転ころがるとき、

$K=\frac{1}{2}M{v}_{G^2}+\frac{1}{2}{I}_G{\omega }^2$K=\frac{1}{2} Mv_G^2+\frac{1}{2} I_G\omega^2

である。$I_G=\frac{1}{2}M{R}^2$I_G=\frac{1}{2} MR^2、$v_G=R\omega$v_G=R\omega を代入だいにゅうすると

$K=\frac{1}{2}M{v}_{G^2}+\frac{1}{4}M{v}_{G^2}=\frac{3}{4}M{v}_{G^2}$K=\frac{1}{2} Mv_G^2+\frac14 Mv_G^2=\frac34 Mv_G^2

となる。回転かいてんエネルギーを落おとすと誤答ごとうになる。

回転かいてんの運動方程式うんどうほうていしき

固定こていした軸じくまわりの回転かいてんでは

$\tau =I\alpha$\tau = I\alpha

直線ちょくせんの $F=ma$F = ma と完全かんぜんに対応たいおうする。$I$I が大おおきいほど同おなじ $\tau$\tau に対たいして $\alpha$\alpha が小ちいさい（回まわりにくい）。回転かいてんの運動うんどうエネルギーは

$K_{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}=\frac{1}{2}I{\omega }^2$K_{\mathrm{rot}} = \frac{1}{2}I\omega^2

転ころがり運動うんどうでは並進へいしんと回転かいてんの両方りょうほうのエネルギーを合計ごうけいする：

$K=\frac{1}{2}m{v}_{G^2}+\frac{1}{2}{I}_G{\omega }^2$K = \frac{1}{2}mv_G^2 + \frac{1}{2}I_G\omega^2

ここで $v_G$v_G は重心じゅうしんの速度そくど。

追加例ついかれい: 高たかさ $h$h から転ころがり落おちる速はやさ

物体ぶったいが高たかさ $h$h だけ下さがりながらすべらずに転ころがるとする。静止摩擦せいしまさつは接触点せっしょくてんで仕事しごとをしないので、力学的りきがくてきエネルギー保存ほぞんを使つかえる。

$mgh=\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}{I}_G{\omega }^2$mgh=\frac{1}{2} mv^2+\frac{1}{2} I_G\omega^2

すべりなしより $v=R\omega$v=R\omega だから

$mgh=\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}{I}_G\frac{v^2}{R^2}$mgh=\frac{1}{2} mv^2+\frac{1}{2} I_G\frac{v^2}{R^2}

したがって

となる。同おなじ高たかさを落おちても、慣性かんせいモーメントが大おおきいほど回転かいてんに多おおくのエネルギーが分配ぶんぱいされ、重心じゅうしんの速はやさは小ちいさくなる。

見分みわけ方かた

• 回転軸かいてんじくが決きまり質量しつりょうの広ひろがりが問題もんだいになるとき → 慣性かんせいモーメントを計算けいさんする
• 軸じくが重心じゅうしんを通とおらないとき → 平行軸へいこうじくの定理ていりで $I=I_G+M{d}^2$I = I_G + Md^2
• 転ころがり運動うんどう（すべりなし） → $v=r\omega$v = r\omega の拘束こうそく条件じょうけんと $K_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}}=\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}I{\omega }^2$K_{\mathrm{tot}} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2

どこまで成なり立たつか

$\tau =I\alpha$\tau = I\alpha は固定こてい軸じくまわりの回転かいてんに厳密げんみつに成立せいりつする。軸じくが動うごく場合ばあい（自由じゆうな剛体ごうたい）にはオイラーの運動方程式うんどうほうていしきが必要ひつようであり、$I$I はテンソルになる。高校こうこう物理ぶつりでは固定こてい軸じくまわりの回転かいてんのみを扱あつかうことが多おおい。

よくある誤あやまり

• 軸じくを書かかずに数値すうちだけ暗記あんきする
• 半径はんけい・直径ちょっけい・重心じゅうしんからの距離きょりを混同こんどうする
• 平行軸へいこうじくの定理ていりを重心軸じゅうしんじくでない軸じくへ機械的きかいてきに使つかう
• $\tau =I\alpha$\tau=I\alpha を固定軸こていじくでない回転かいてんへそのまま使つかう

最終形さいしゅうけい

平行軸へいこうじくの定理ていりは、重心軸じゅうしんじくから距離きょり $d$d だけ離はなれた平行へいこうな軸じくへ移うつすときに使つかう。

一言ひとことでいうと

慣性かんせいモーメントは質量しつりょうの分布ぶんぷを $r^2$r^2 で重おもみ付つけた量りょうであり、回転かいてんにおける質量しつりょうの役割やくわりを担になう。遠とおければ遠とおいほど回まわしにくい。

関連かんれんリンク

回転軸かいてんじくを指定していしてから考かんがえる

慣性かんせいモーメントは物体ぶったいだけで決きまる量りょうではなく、回転軸かいてんじくまで指定していして初はじめて決きまる。同おなじ棒ぼうでも、中心ちゅうしんまわりなら $I_G[\mathrm{k}\mathrm{g}{m}^2;\mathsf{M}{L}^2]$I_G\ [\mathrm{kg\,m^2};\ \mathsf{ML^2}]、端はしまわりなら

となる。回転かいてんエネルギー $\frac{1}{2}I{\omega }^2[\mathrm{J};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$\frac{1}{2}I\omega^2\ [\mathrm{J};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}] や運動方程式うんどうほうていしき $\tau =I\alpha [\mathrm{N}\mathrm{m};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$\tau=I\alpha\ [\mathrm{N\,m};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}] に入いれる $I$I は、必かならずその軸じくに対たいする値あたいでなければならない。

慣性かんせいモーメント $I$I は、物体ぶったいだけで決きまる量りょうではない。同おなじ物体ぶったいでも、どの軸じくのまわりに回まわすかで $I$I は変かわる。これは

$I=\sum _i{m}_i{r}_{i^2}$I=\sum_i m_i r_i^2

において、$r_i$r_i が回転軸かいてんじくからの距離きょりだからである。軸じくを言いわずに「この物体ぶったいの慣性かんせいモーメント」とだけ言いうと、物理的ぶつりてきには情報じょうほうが足たりない。

質量しつりょうが回転軸かいてんじくから遠とおいほど、$r^2$r^2 で効きくため回まわしにくくなる。同おなじ質量しつりょうでも、中心ちゅうしんに集あつまっている物体ぶったいと外側そとがわに広ひろがっている物体ぶったいでは、回転運動かいてんうんどうへの抵抗ていこうが大おおきく異ことなる。

平行軸へいこうじくの定理ていりの使つかいどころ

重心じゅうしんを通とおる軸じくまわりの慣性かんせいモーメントを $I_G$I_G とする。その軸じくに平行へいこうで、距離きょり $d$d だけ離はなれた軸じくまわりでは

$I=I_G+M{d}^2$I=I_G+Md^2

となる。これを平行軸へいこうじくの定理ていりという。支点してんが端はしにある棒ぼうや、接点せってんまわりに瞬間的しゅんかんてきに回まわる転ころがり運動うんどうでは、この定理ていりで軸じくを移うつすと計算けいさんが短みじかくなる。

文字式もじしきの単位たんい

慣性かんせいモーメント $I[\mathrm{k}\mathrm{g}{m}^2;\mathsf{M}{L}^2]$I\ [\mathrm{kg\,m^2};\ \mathsf{ML^2}] は、

$I=\sum _i{m}_i{r}_{i^2}$I=\sum_i m_i r_i^2

で定義ていぎされる。$m_i[\mathrm{k}\mathrm{g};\mathsf{M}]$m_i\ [\mathrm{kg};\ \mathsf{M}]、$r_i[\mathrm{m};\mathsf{L}]$r_i\ [\mathrm{m};\ \mathsf{L}] なので、$m_i{r}_{i^2}[\mathrm{k}\mathrm{g}{m}^2;\mathsf{M}{L}^2]$m_ir_i^2\ [\mathrm{kg\,m^2};\ \mathsf{ML^2}] となる。質量しつりょうだけでなく、回転軸かいてんじくからの距離きょりが二乗にじょうで効きく。

回転かいてんエネルギー $K_{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}=\frac{1}{2}I{\omega }^2[\mathrm{J};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$K_{\mathrm{rot}}=\frac{1}{2}I\omega^2\ [\mathrm{J};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}] では、$I[\mathrm{k}\mathrm{g}{m}^2;\mathsf{M}{L}^2]$I\ [\mathrm{kg\,m^2};\ \mathsf{ML^2}]、$\omega [\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}/\mathrm{s};T^{-1}]$\omega\ [\mathrm{rad/s};\ \mathsf{T^{-1}}] であり、rad を無次元むじげんとすると $\left[\mathrm{k}\mathrm{g}{m}^2/s^2\right]=\left[\mathrm{J}\right]$[\mathrm{kg\,m^2/s^2}]=[\mathrm{J}] になる。角運動量かくうんどうりょう $L=I\omega [\mathrm{k}\mathrm{g}{m}^2/\mathrm{s};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-1}]$L=I\omega\ [\mathrm{kg\,m^2/s};\ \mathsf{ML^2T^{-1}}] も同おなじ単位確認たんいかくにんで読よめる。

慣性かんせいモーメントの大小だいしょうを見積みつもる

慣性かんせいモーメント $I[\mathrm{k}\mathrm{g}{m}^2;\mathsf{M}{L}^2]$I\ [\mathrm{kg\,m^2};\ \mathsf{ML^2}] は、質量しつりょうが回転軸かいてんじくからどれだけ遠とおいかを測はかる量りょうである。同おなじ質量しつりょう $M[\mathrm{k}\mathrm{g};\mathsf{M}]$M\ [\mathrm{kg};\ \mathsf{M}] と同おなじ半径はんけい $R[\mathrm{m};\mathsf{L}]$R\ [\mathrm{m};\ \mathsf{L}] をもつなら、質量しつりょうが外周がいしゅうに集あつまる輪わのほうが、円板えんばんより $I[\mathrm{k}\mathrm{g}{m}^2;\mathsf{M}{L}^2]$I\ [\mathrm{kg\,m^2};\ \mathsf{ML^2}] は大おおきい。

見積みつもりとしては、物体ぶったいの大部分だいぶぶんの質量しつりょうが軸じくから距離きょり $R[\mathrm{m};\mathsf{L}]$R\ [\mathrm{m};\ \mathsf{L}] の近ちかくにあるなら、$I[\mathrm{k}\mathrm{g}{m}^2;\mathsf{M}{L}^2]$I\ [\mathrm{kg\,m^2};\ \mathsf{ML^2}] は $M{R}^2[\mathrm{k}\mathrm{g}{m}^2;\mathsf{M}{L}^2]$MR^2\ [\mathrm{kg\,m^2};\ \mathsf{ML^2}] に近ちかい。中心ちゅうしんにも質量しつりょうが広ひろく分布ぶんぷしているなら、それより小ちいさくなる。

転ころがり運動うんどうの極限きょくげん

高たかさ $h[\mathrm{m};\mathsf{L}]$h\ [\mathrm{m};\ \mathsf{L}] から転ころがり落おちる物体ぶったいでは、位置いちエネルギー $mgh[\mathrm{J};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$mgh\ [\mathrm{J};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}] が並進へいしんの運動うんどうエネルギーと回転かいてんの運動うんどうエネルギーに分わかれる。慣性かんせいモーメント $I[\mathrm{k}\mathrm{g}{m}^2;\mathsf{M}{L}^2]$I\ [\mathrm{kg\,m^2};\ \mathsf{ML^2}] が大おおきいほど、回転かいてんへ多おおくのエネルギーが使つかわれ、重心じゅうしんの速はやさ $v[\mathrm{m}/\mathrm{s};\mathsf{L}{T}^{-1}]$v\ [\mathrm{m/s};\ \mathsf{LT^{-1}}] は小ちいさくなる。

もし $I[\mathrm{k}\mathrm{g}{m}^2;\mathsf{M}{L}^2]$I\ [\mathrm{kg\,m^2};\ \mathsf{ML^2}] を 0 に近ちかづけると、回転かいてんにエネルギーをほとんど使つかわないので、滑すべらずに落おちる場合ばあいの速はやさは質点しつてんが滑すべり落おちる場合ばあいに近ちかづく。このような極限きょくげんを考かんがえると、答こたえの大小関係だいしょうかんけいを確認かくにんできる。

主要文字式しゅようもじしきの単位たんい確認かくにん

慣性かんせいモーメント $I[\mathrm{k}\mathrm{g}{m}^2;\mathsf{M}{L}^2]$I\ [\mathrm{kg\,m^2};\ \mathsf{ML^2}] は、質量しつりょう $m_i[\mathrm{k}\mathrm{g};\mathsf{M}]$m_i\ [\mathrm{kg};\ \mathsf{M}] と回転軸かいてんじくからの距離きょり $r_i[\mathrm{m};\mathsf{L}]$r_i\ [\mathrm{m};\ \mathsf{L}] の二乗にじょうから作つくる。$m_i{r}_{i^2}[\mathrm{k}\mathrm{g}{m}^2;\mathsf{M}{L}^2]$m_i r_i^2\ [\mathrm{kg\,m^2};\ \mathsf{ML^2}] なので、足たし合あわせた $I$I も $\left[\mathrm{k}\mathrm{g}{m}^2\right]$[\mathrm{kg\,m^2}] である。

回転かいてんエネルギー $K_{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}[\mathrm{J};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$K_{\mathrm{rot}}\ [\mathrm{J};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}] は $\frac{1}{2}I{\omega }^2[\mathrm{J};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$\frac{1}{2}I\omega^2\ [\mathrm{J};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}]、角運動量かくうんどうりょう $L[\mathrm{k}\mathrm{g}{m}^2/\mathrm{s};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-1}]$L\ [\mathrm{kg\,m^2/s};\ \mathsf{ML^2T^{-1}}] は $I\omega [\mathrm{k}\mathrm{g}{m}^2/\mathrm{s};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-1}]$I\omega\ [\mathrm{kg\,m^2/s};\ \mathsf{ML^2T^{-1}}] である。平行軸へいこうじくの定理ていりの $M{d}^2[\mathrm{k}\mathrm{g}{m}^2;\mathsf{M}{L}^2]$Md^2\ [\mathrm{kg\,m^2};\ \mathsf{ML^2}] も $I[\mathrm{k}\mathrm{g}{m}^2;\mathsf{M}{L}^2]$I\ [\mathrm{kg\,m^2};\ \mathsf{ML^2}] と同おなじ単位たんいなので足たせる。

数式内すうしきないでの単位たんい明示めいじ

慣性かんせいモーメントは
$I=\sum _i{m}_i{r}_{i^2}$I = \sum_i m_i r_i^2
である。平行軸へいこうじくの定理ていりでも、足たし合あわせる項こうはどちらも慣性かんせいモーメントの単位たんいになる。

$I=I_G+M{d}^2$I = I_G + Md^2

慣性かんせいモーメントを選えらぶ手順てじゅん

慣性かんせいモーメントは、回転軸かいてんじくからの距離きょりを二乗にじょうして質量しつりょうに重おもみづけした量りょうである。連続体れんぞくたいでは

と書かく。平行軸へいこうじくの定理ていりでは、

となり、足たしている 2 項こうはどちらも $\left[\mathrm{k}\mathrm{g}{m}^2\right]$[\mathrm{kg\,m^2}] でそろう。公式こうしきを選えらぶ前まえに、軸じくが重心軸じゅうしんじくか、端はしの軸じくかを必かならず確認かくにんする。

慣性かんせいモーメント $I[\mathrm{k}\mathrm{g}{m}^2;\mathsf{M}{L}^2]$I\ [\mathrm{kg\,m^2};\ \mathsf{ML^2}] を使つかうときは、最初さいしょに回転軸かいてんじくを決きめる。物体ぶったいの形かたちだけで $I[\mathrm{k}\mathrm{g}{m}^2;\mathsf{M}{L}^2]$I\ [\mathrm{kg\,m^2};\ \mathsf{ML^2}] が決きまるのではなく、軸じくから各部分かくぶぶんまでの距離きょりで決きまるからである。

重心じゅうしんを通とおる軸じくまわりの値あたいが既知きちなら、別べつの平行軸へいこうじくへ移うつすときに平行軸へいこうじくの定理ていりを使つかう。$M{d}^2[\mathrm{k}\mathrm{g}{m}^2;\mathsf{M}{L}^2]$Md^2\ [\mathrm{kg\,m^2};\ \mathsf{ML^2}] は、全質量ぜんしつりょう $M[\mathrm{k}\mathrm{g};\mathsf{M}]$M\ [\mathrm{kg};\ \mathsf{M}] と軸間距離じくかんきょり $d[\mathrm{m};\mathsf{L}]$d\ [\mathrm{m};\ \mathsf{L}] から作つくる補正項ほせいこうである。

転ころがり運動うんどうでは、並進へいしんの運動うんどうエネルギーと回転かいてんの運動うんどうエネルギーを足たす。単位たんいはどちらも $\left[\mathrm{J}\right]$[\mathrm{J}] でそろえる。