置換積分ちかんせきぶんと部分積分ぶぶんせきぶん―基本演習きほんえんしゅう

1問題もんだい 1

を計算けいさんし、解答かいとうを微分びぶんして検算けんざんせよ。

1.1解答例かいとうれい

$f\left(u\right)=\sin u$f(u)=\sin u、$g\left(x\right)=x^2$g(x)=x^2 とすれば、被積分関数ひせきぶんかんすうは $f\left(g\right(x\left)\right)g^{\prime }\left(x\right)$f(g(x))g'(x) の形かたちであり、$g^{\prime }\left(x\right)=2x$g'(x)=2x である。$u=x^2$u=x^2 と置おくと $du=2xdx$du=2x\,dx であるから、

となる。また、

であるため、元もとの被積分関数ひせきぶんかんすうが回復かいふくする。

1.2解説かいせつ

置換積分ちかんせきぶんは連鎖律れんさりつの逆ぎゃくである。被積分関数ひせきぶんかんすうが合成関数ごうせいかんすう $f\left(g\right(x\left)\right)$f(g(x)) と内部関数ないぶかんすうの導関数どうかんすう $g^{\prime }\left(x\right)$g'(x) を因子いんしとして含ふくむことを確認かくにんする。

2問題もんだい 2

を計算けいさんし、解答かいとうを微分びぶんして検算けんざんせよ。

2.1解答例かいとうれい

$u=x$u=x、$v^{\prime }=\cos x$v'=\cos x と選択せんたくすると、$u^{\prime }=1$u'=1、$v=\sin x$v=\sin x である。部分積分ぶぶんせきぶんにより、

となる。また、

である。

2.2解説かいせつ

部分積分ぶぶんせきぶんは積せきの微分公式びぶんこうしきの逆ぎゃくである。多項式因子たこうしきいんし $x$x を微分びぶんすると 1 に単純化たんじゅんかし、$\cos x$\cos x の原始関数げんしかんすうは容易よういに計算けいさんできる。

3総合演習そうごうえんしゅう

4関連講義かんれんこうぎ