フーリエ変換へんかんの基礎きそ

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、時間領域じかんりょういきの関数かんすうを周波数成分しゅうはすうせいぶんの複素振幅ふくそしんぷくとして表現ひょうげんするフーリエ変換へんかんを説明せつめいする。反転定理はんてんていりによる復元ふくげんと微分則びぶんそくを通つうじて、時間領域じかんりょういきと周波数領域しゅうはすうりょういきの対応たいおうを明確めいかくにする。

2Schwartz 関数かんすうと変換規約へんかんきやく

この講義こうぎでは、収束しゅうそくの問題もんだいを曖昧あいまいにしないため、まず Schwartz 関数かんすうSchwartz functionを扱あつかう。これは無限回微分可能むげんかいびぶんかのうであり、どの非負整数ひふせいすう $$m,n$$m,n に対たいしても

となる関数かんすうである。関数かんすうとすべての導関数どうかんすうが、任意にんいの多項式たこうしきの逆数ぎゃくすうよりも急速きゅうそくに 0 へ収束しゅうそくすることを意味いみする。この関数かんすうの集合しゅうごうを $$\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("mathcal")")]}S\left(\mathbb{R}\right)$$\mathcal S(\mathbb R) と表あらわす。

$$f,g\in \text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("mathcal")")]}S\left(\mathbb{R}\right)$$f,g\in\mathcal S(\mathbb R) に対たいする フーリエ変換へんかんFourier transform $$\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("mathcal")")]}F$$\mathcal F と逆ぎゃくフーリエ変換へんかん $$\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("mathcal")")]}{F}^{-1}$$\mathcal F^{-1} を

と定義ていぎする。$$\omega$$\omega は角周波数かくしゅうはすうangular frequencyであり、通常つうじょうの周波数しゅうはすう $$\nu$$\nu とは $$\omega =2\pi \nu$$\omega=2\pi\nu の関係かんけいにある。時間じかんを秒びょうで測定そくていするとき、$$\nu$$\nu の単位たんいは Hz、$$\omega$$\omega の単位たんいは rad/s である。通信工学つうしんこうがくの Hz 規約きやくでは

と定義ていぎし、$X\left(\nu \right)=X_{\omega }\left(2\pi \nu \right)$X(\nu)=X_\omega(2\pi\nu) が成立せいりつする。指数しすうの符号ふごうや $$2\pi$$2\pi の配置はいちには別べつの規約きやくもあるため、正変換せいへんかんと逆変換ぎゃくへんかんを一組ひとくみで明示めいじする。

3フーリエ反転はんてん

フーリエ反転定理はんてんていり $$f\in \text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("mathcal")")]}S\left(\mathbb{R}\right)$$f\in\mathcal S(\mathbb R) なら $$\hat{f}\in \text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("mathcal")")]}S\left(\mathbb{R}\right)$$\hat f\in\mathcal S(\mathbb R) であり、

が成立せいりつする。標準的ひょうじゅんてきな証明しょうめいでは、逆変換積分ぎゃくへんかんせきぶんへガウス因子いんしを導入どうにゅうして正則化せいそくかする。絶対収束ぜったいしゅうそくにより積分順序せきぶんじゅんじょを交換こうかんすると、$f$f とガウス近似恒等族きんじこうとうぞくの畳たたみ込こみを得える。ガウス関数かんすうの幅はばを 0 へ収束しゅうそくさせると、この畳たたみ込こみは $f$f へ収束しゅうそくする。Schwartz 関数かんすうの急減少性きゅうげんしょうせいが極限きょくげんと積分せきぶんの交換こうかんを正当化せいとうかする。

4音響的おんきょうてきな解釈かいしゃく

音響信号おんきょうしんごうの波形はけいは、時間じかんに対たいする空気圧くうきあつの変動へんどうを表あらわす。フーリエ変換へんかんは、この信号しんごうを各周波数成分かくしゅうはすうせいぶんの複素振幅ふくそしんぷくと位相いそうの分布ぶんぷとして表現ひょうげんする。

5離散直交性りさんちょっこうせいと連続変換れんぞくへんかん

ここからは $$e^{i\omega x}$$e^{i\omega x} と複素共役ふくそきょうやくを使用しようする。複素数ふくそすうの極形式きょくけいしきとオイラーの公式こうしきを前提ぜんていとする。

$$e^{i\omega x}$$e^{i\omega x} は角周波数かくしゅうはすう $$\omega$$\omega の複素指数関数ふくそしすうかんすうである。整数せいすう $m,n\in \mathbb{Z}$m,n\in\mathbb Z に対たいし、有限区間ゆうげんくかんのフーリエ級数きゅうすうでは

を計算けいさんすると、

となる。フーリエ級数きゅうすうでは、この直交性ちょっこうせいによって離散的りさんてきな周波数しゅうはすうの係数けいすうを取とり出だす。フーリエ変換へんかんは、その考かんがえを連続れんぞくな角周波数かくしゅうはすうへ移うつし、$$\hat{f}\left(\omega \right)$$\hat f(\omega) を位相いそうも含ふくむ複素振幅ふくそしんぷくの密度みつどとして記述きじゅつする。

その連続版れんぞくばんとして

を定義ていぎする。フーリエ反転定理はんてんていりにより $$\hat{f}$$\hat f から $$f$$f を復元ふくげんできる。したがって「周波数しゅうはすうへ分解ぶんかいする」は一方向いちほうこうの比喩ひゆではなく、$$f$$f と $$\hat{f}$$\hat f の間あいだを往復おうふくできる対応たいおうである。

6微分則びぶんそく

微分びぶんは周波数領域しゅうはすうりょういきで乗算じょうざんに変換へんかんされる。これを部分積分ぶぶんせきぶんによって導出どうしゅつすると、

である。部分積分ぶぶんせきぶんを使つかうと

である。Schwartz 関数かんすうなら $$f,f^{\prime }$$f,f' の積分せきぶんは絶対収束ぜったいしゅうそくし、端はしの項こうも 0 になるので、

を得える。つまり、微分びぶんは周波数領域しゅうはすうりょういきでは $$i\omega$$i\omega を掛かける操作そうさに変かわる。

7Gaussian の例れい

Schwartz 関数かんすうである Gaussian

のフーリエ変換へんかんは

である。したがって、$$x$$x の側がわで局在きょくざいした滑なめらかな山やまは、$$\omega$$\omega の側がわでも Gaussian になる。

この式しきは、$$I\left(\omega \right)={\int }_{\mathbb{R}}{e}^{-x^2}{e}^{-i\omega x}dx$$I(\omega)=\int_{\mathbb R}e^{-x^2}e^{-i\omega x}\,dx と置おけば確たしかめられる。積分せきぶんの中なかを $$\omega$$\omega で微分びぶんし、$$x{e}^{-x^2}=-\frac{1}{2}\frac{d}{dx}{e}^{-x^2}$$xe^{-x^2}=-\frac12\frac{d}{dx}e^{-x^2} を使つかって部分積分ぶぶんせきぶんすると

を得える。ガウス積分せきぶん $$I\left(0\right)={\int }_{\mathbb{R}}{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }$$I(0)=\int_{\mathbb R}e^{-x^2}\,dx=\sqrt\pi と合あわせると、$$I\left(\omega \right)=\sqrt{\pi }{e}^{-{\omega }^2/4}$$I(\omega)=\sqrt\pi e^{-\omega^2/4} となる。

8Schwartz 空間外くうかんがいの対象たいしょう

Dirac のデルタ $\delta$\delta は、試験関数しけんかんすう $\phi \in \text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("mathcal")")]}S\left(\mathbb{R}\right)$\varphi\in\mathcal S(\mathbb R) に対たいして $⟨\delta (\omega -a),\phi ⟩=\phi \left(a\right)$\langle\delta(\omega-a),\varphi\rangle=\varphi(a) と作用さようする超関数ちょうかんすうである。緩増加超関数かんぞうかちょうかんすうとは Schwartz 関数かんすう上じょうの連続線形汎関数れんぞくせんけいはんかんすうであり、フーリエ変換へんかんはこの空間くうかんへ拡張かくちょうできる。

$$\cos \left(ax\right)$$\cos(ax) は無限遠むげんえんで減衰げんすいしないため、通常つうじょうのフーリエ積分せきぶんは収束しゅうそくしない。しかし、上記じょうきの抽出特性ちゅうしゅつとくせいをもつデルタを用もちいると、現在げんざいの規約きやくでは緩増加超関数かんぞうかちょうかんすうの等式とうしき

が成立せいりつする。この等式とうしきは、両辺りょうへんを任意にんいの Schwartz 試験関数しけんかんすうへ作用さようさせた結果けっかが一致いっちすることを意味いみし、通常つうじょうの収束積分しゅうそくせきぶんの等式とうしきではない。

$f\in L^1\left(\mathbb{R}\right)$f\in L^1(\mathbb R) なら正変換せいへんかんの積分せきぶんは各かく $\omega$\omega で存在そんざいするが、反転はんてんには追加条件ついかじょうけんが必要ひつようである。一般いっぱんの $L^2\left(\mathbb{R}\right)$L^2(\mathbb R) 関数かんすうでは積分せきぶんが点てんごとに存在そんざいするとは限かぎらず、Plancherel 定理ていりによる一意いちいな $L^2$L^2 拡張かくちょうとして定義ていぎする。

9Plancherel 定理ていり

Plancherel 定理ていりPlancherel theorem Schwartz 関数かんすうでは

が成立せいりつする。これは時間領域じかんりょういきで測はかった二乗積分にじょうせきぶんと、周波数領域しゅうはすうりょういきで測はかった二乗積分にじょうせきぶんが規約きやくの係数けいすうを除のぞいて一致いっちすることを表あらわす。Schwartz 関数かんすうに対たいする証明しょうめいは、反転公式はんてんこうしきを代入だいにゅうして積分順序せきぶんじゅんじょを交換こうかんし、複素共役ふくそきょうやくを含ふくむ内積ないせきを保たもつことから得えられる。さらに Schwartz 関数かんすうが $$L^2\left(\mathbb{R}\right)$$L^2(\mathbb R) で稠密ちゅうみつであることを使つかうと、フーリエ変換へんかんを $$L^2$$L^2 極限きょくげんとして一意いちいに拡張かくちょうできる。

10数学的すうがくてきな解釈かいしゃく

10.1解析学的かいせきがくてきな解釈かいしゃく

微積分びせきぶんが関数かんすうの各点かくてんにおける値あたいと局所変化きょくしょへんかを記述きじゅつするのに対たいし、フーリエ変換へんかんは関数かんすうを周波数成分しゅうはすうせいぶんの重かさね合あわせとして表現ひょうげんする。この表現ひょうげんは波動はどうと信号しんごうの解析かいせきに適てきする。

10.2線形代数せんけいだいすう・行列ぎょうれつによる解釈かいしゃく

有限個ゆうげんこの点てんだけを扱あつかう離散版りさんばんでは、フーリエ変換へんかんは行列ぎょうれつを掛かけることと同おなじである。連続版れんぞくばんでも、反転公式はんてんこうしきと Plancherel 等式とうしきにより「時間領域じかんりょういきの記述きじゅつを連続れんぞくな周波数座標しゅうはすうざひょうの記述きじゅつへ移うつす変換へんかん」と見みられる。ただし $$e^{i\omega x}$$e^{i\omega x} 自体じたいは $$L^2\left(\mathbb{R}\right)$$L^2(\mathbb R) に入はいらないので、通常つうじょうの有限次元基底ゆうげんじげんきていとまったく同おなじではない。

この解釈かいしゃくにより、フーリエ変換へんかんを特殊とくしゅな積分公式せきぶんこうしきではなく、座標変換ざひょうへんかんとして理解りかいできる。

10.3作用素さようそによる解釈かいしゃく

微分びぶんという作用素さようそは、形式的けいしきてきには $$e^{i\omega x}$$e^{i\omega x} に対たいして

となる。この意味いみで $$e^{i\omega x}$$e^{i\omega x} を微分作用素びぶんさようその一般化固有関数いっぱんかこゆうかんすうgeneralized eigenfunctionとみなせる。通常つうじょうの $$L^2$$L^2 固有関数こゆうかんすうではないことに注意ちゅういする。フーリエ変換へんかんをすると微分方程式びぶんほうていしきが周波数しゅうはすうごとの代数方程式だいすうほうていしきへ変かわるのは、この関係かんけいによる。

この解釈かいしゃくにより、フーリエ変換へんかんと微分方程式びぶんほうていしきの関係かんけいを固有値問題こゆうちもんだいとして整理せいりできる。

10.4適用対象てきようたいしょう

• 波動はどう、振動しんどう、周期性しゅうきせいを周波数成分しゅうはすうせいぶんによって解析かいせきする場合ばあい
• 微分方程式びぶんほうていしきを周波数しゅうはすうごとの代数方程式だいすうほうていしきへ変換へんかんする場合ばあい
• 局所情報きょくしょじょうほうではなく全体的ぜんたいてきな振動構造しんどうこうぞうを分析ぶんせきする場合ばあい

11成立範囲せいりつはんいと変換契約へんかんけいやく

周期構造しゅうきこうぞうにはフーリエ級数きゅうすう、実数直線全体じっすうちょくせんぜんたいの非周期的ひしゅうきてきな信号しんごうにはフーリエ変換へんかんが基本的きほんてきなモデルになる。ただし、対象たいしょうとする関数空間かんすうくうかんや超関数ちょうかんすうへの拡張かくちょうによって両者りょうしゃの境界きょうかいは変かわる。

この講義こうぎの正変換せいへんかん・逆変換ぎゃくへんかん・微分公式びぶんこうしき・Plancherel 等式とうしきは、すべて $f\in \text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("mathcal")")]}S\left(\mathbb{R}\right)$f\in\mathcal S(\mathbb R) という共通条件きょうつうじょうけんの下もとで述のべた。$L^1$L^1、$L^2$L^2、緩増加超関数かんぞうかちょうかんすうへの拡張かくちょうでは、前節ぜんせつで述のべた各空間かくくうかんの定義ていぎと成立条件せいりつじょうけんを使用しようする。

この講義こうぎの変換契約へんかんけいやく
$$f\in \text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("mathcal")")]}S\left(\mathbb{R}\right)$$f\in\mathcal S(\mathbb R) なら

$$\hat{f}\left(\omega \right)={\int }_{\mathbb{R}}f\left(x\right)e^{-i\omega x}dx,f\left(x\right)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{\mathbb{R}}\hat{f}\left(\omega \right)e^{i\omega x}d\omega ,$$\hat f(\omega)=\int_{\mathbb R}f(x)e^{-i\omega x}\,dx, \qquad f(x)=\frac1{2\pi}\int_{\mathbb R}\hat f(\omega)e^{i\omega x}\,d\omega,

$$\widehat{f^{\prime }}\left(\omega \right)=i\omega \hat{f}\left(\omega \right),{\int }_{\mathbb{R}}|f{|}^2=\frac{1}{2\pi }{\int }_{\mathbb{R}}|\hat{f}{|}^{2.}$$\widehat{f'}(\omega)=i\omega\hat f(\omega), \qquad \int_{\mathbb R}|f|^2=\frac1{2\pi}\int_{\mathbb R}|\hat f|^2.

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