片側かたがわラプラス変換へんかん

1定義ていぎと収束半平面しゅうそくはんへいめん

この講義こうぎでは、片側かたがわラプラス変換へんかんによって線形微分方程式せんけいびぶんほうていしきの初期値しょきちを保持ほじしたまま、微分びぶんを $s$s による代数演算だいすうえんざんへ変換へんかんする方法ほうほうを説明せつめいする。

$s=\sigma +i\omega \in \mathbb{C}$s=\sigma+i\omega\in\mathbb C とする。$f:[0,\mathrm{\infty })\to \mathbb{C}$f:[0,\infty)\to\mathbb C の片側かたがわラプラス変換へんかんは、積分せきぶんが収束しゅうそくする $s$s に対たいして

で定義ていぎされる。$f$f が各有限区間かくゆうげんくかんで区分的連続くぶんてきれんぞくであり、ある $M>0$M>0、$a\in \mathbb{R}$a\in\mathbb R、$T\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}0$T\ge0 に対たいして

を満みたすとき、$f$f は指数位数しすういすう $a$a であるという。この場合ばあい、$\mathrm{Re}s>a$\operatorname{Re}s>a で積分せきぶんは絶対収束ぜったいしゅうそくする。変換へんかんを式しきだけでなく、収束しゅうそくする $s$s の集合しゅうごうである収束領域しゅうそくりょういきregion of convergence（ROC）と組くみ合あわせて扱あつかう。片側変換かたがわへんかんの ROC は通常つうじょう右半平面みぎはんへいめんであるが、$\mathrm{Re}s>a$\operatorname{Re}s>a は上記じょうきの仮定かていが保証ほしょうする範囲はんいであり、実際じっさいの ROC はさらに広ひろい場合ばあいがある。

2微分則びぶんそくと初期値しょきち

$f$f が各有限区間かくゆうげんくかんで絶対連続ぜったいれんぞくであり、$f$f と $f^{\prime }$f' が共通きょうつうの右半平面みぎはんへいめんでラプラス変換へんかんをもつとする。部分積分ぶぶんせきぶんと無限遠むげんえんの境界項きょうかいこうの消失しょうしつにより

が成立せいりつする。ここで $f(0+)$f(0+) は右極限みぎきょくげんである。さらに必要ひつような導関数どうかんすうが同おなじ条件じょうけんを満みたすなら

となる。したがって、微分則びぶんそくは微分びぶんを単たんに $s$s の乗算じょうざんへ置換ちかんする規則きそくではなく、初期値しょきちを境界項きょうかいこうとして保持ほじする規則きそくである。

初期値問題しょきちもんだい

を変換へんかんすると $(s+1)F\left(s\right)=1$(s+1)F(s)=1、したがって $F\left(s\right)=1/(s+1)$F(s)=1/(s+1) を得える。一方いっぽう、直接積分ちょくせつせきぶんにより

であるため、一意性定理いちいせいていりから $f\left(t\right)=e^{-t}$f(t)=e^{-t} である。

3一意性いちいせいと逆変換ぎゃくへんかん

区分的連続くぶんてきれんぞくかつ指数位数しすういすうの関数かんすうのラプラス変換へんかんが共通きょうつうの右半平面みぎはんへいめんで一致いっちすれば、元もとの関数かんすうはすべての連続点れんぞくてんで一致いっちする。この意味いみで逆ラプラス変換へんかんinverse Laplace transform $\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("mathcal")")]}{L}^{-1}$\mathcal L^{-1} は一意いちいに定さだまる。実際じっさいの計算けいさんでは既知きちの変換対へんかんつい、部分分数分解ぶぶんぶんすうぶんかい、移動則いどうそく、畳たたみ込こみを利用りようする。

一意性いちいせいはフーリエ変換へんかんへ帰着きちゃくできる。共通半平面きょうつうはんへいめんの $\sigma$\sigma を固定こていし、$e^{-\sigma t}\left(f\right(t)-g(t\left)\right)$e^{-\sigma t}(f(t)-g(t)) を $t<0$t<0 で 0 と定義ていぎすると、この $L^1$L^1 関数かんすうのフーリエ変換へんかんはすべての $\omega$\omega で 0 となる。フーリエ変換へんかんの一意性いちいせいから $f=g$f=g がほとんどいたるところで成立せいりつし、区分的連続性くぶんてきれんぞくせいにより連続点れんぞくてんで一致いっちする。

$F$F が適切てきせつな解析性かいせきせいと増大条件ぞうだいじょうけんを満みたし、縦線たてせん $\mathrm{Re}s=\gamma$\operatorname{Re}s=\gamma がすべての特異点とくいてんより右側みぎがわかつ ROC 内ないにある場合ばあい、ブロムウィッチ積分せきぶん

によって連続点れんぞくてんで逆変換ぎゃくへんかんを表あらわせる。公式こうしきの適用てきようには積分せきぶんの収束条件しゅうそくじょうけんが必要ひつようであり、任意にんいの複素関数ふくそかんすうに形式的けいしきてきに適用てきようできるわけではない。

4フーリエ変換へんかんとの関係かんけい

$s=\sigma +i\omega$s=\sigma+i\omega とすると、$\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("mathcal")")]}L\left\{f\right\}(\sigma +i\omega )$\mathcal L\{f\}(\sigma+i\omega) は $t<0$t<0 で 0 とした減衰信号げんすいしんごう $e^{-\sigma t}f\left(t\right)$e^{-\sigma t}f(t) のフーリエ変換へんかんである。$\sigma$\sigma を十分大じゅうぶんおおきく選えらぶことで指数成長しすうせいちょうを抑制よくせいできる。$\sigma =0$\sigma=0 でフーリエ変換へんかんと同一視どういつしできるのは、虚軸きょじくが ROC に含ふくまれ、フーリエ積分せきぶんが収束しゅうそくする場合ばあいに限かぎる。

5極きょく、収束領域しゅうそくりょういき、制御せいぎょへの接続せつぞく

$1/(s+1)$1/(s+1) は $s=-1$s=-1 に極きょくをもち、$t\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}0$t\ge0 で定義ていぎした $e^{-t}$e^{-t} の ROC は $\mathrm{Re}s>-1$\operatorname{Re}s>-1 である。片側変換かたがわへんかんでは時間領域じかんりょういきを $t\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}0$t\ge0 に固定こていするため、前節ぜんせつの関数かんすうクラスでは変換へんかんから元もとの関数かんすうが一意いちいに定さだまる。ROC は収束域しゅうそくいきおよび解析域かいせきいきとして変換式へんかんしきに併記へいきするが、時間方向じかんほうこうを選別せんべつする独立どくりつの情報じょうほうではない。同おなじ有理式ゆうりしきに異ことなる ROC を指定していして因果信号いんがしんごうと反因果信号はんいんがしんごうを区別くべつする議論ぎろんは、$t<0$t<0 も扱あつかう両側りょうがわラプラス変換へんかんに属ぞくする。

零初期値れいしょきちの線形時不変系せんけいじふへんけいでは、入力にゅうりょく $U\left(s\right)$U(s) と出力しゅつりょく $Y\left(s\right)$Y(s) の比ひ $G\left(s\right)=Y\left(s\right)/U\left(s\right)$G(s)=Y(s)/U(s) を伝達関数でんたつかんすうという。微分方程式びぶんほうていしきを代数方程式だいすうほうていしきへ変換へんかんし、極きょくから応答おうとうと安定性あんていせいを分析ぶんせきする制御工学せいぎょこうがくの方法ほうほうは、このラプラス変換へんかんに基もとづく。非零初期値ひれいしょきちは微分則びぶんそくの境界項きょうかいこうとして別べつに現あらわれるため、伝達関数でんたつかんすうだけでは初期状態応答しょきじょうたいおうとうを表あらわさない。

変換契約へんかんけいやく

• 変換式へんかんしきを ROC と組くみ合あわせて扱あつかう。
• 微分則びぶんそくは関数かんすうと導関数どうかんすうの変換へんかんが存在そんざいする共通半平面きょうつうはんへいめんで適用てきようする。
• 逆変換ぎゃくへんかんには既知きちの変換対へんかんついと一意性定理いちいせいていり、または仮定かていを満みたす逆変換公式ぎゃくへんかんこうしきを使用しようする。