常微分方程式じょうびぶんほうていしきへの橋渡はしわたし

1微積分びせきぶんから未知関数みちかんすうの決定けっていへ

この講義こうぎでは、導関数どうかんすうを含ふくむ関係式かんけいしきから未知関数みちかんすうを決定けっていする常微分方程式じょうびぶんほうていしきの基本概念きほんがいねんを説明せつめいする。独立変数どくりつへんすうが 1 個こである微分方程式びぶんほうていしきを常微分方程式じょうびぶんほうていしき（ODE）という。最高階さいこうかいの導関数どうかんすうの階数かいすうを方程式ほうていしきの階数かいすうという。

たとえば $y^{\prime }=2x$y'=2x の一般解いっぱんかいは

である。任意定数にんいていすう $C$C は、微分びぶんによって失うしなわれた情報じょうほうを表あらわす。$y\left(x_0\right)=y_0$y(x_0)=y_0 のように 1 点てんで値あたいを指定していする条件じょうけんを初期条件しょきじょうけんといい、方程式ほうていしきと初期条件しょきじょうけんを組くみ合あわせた問題もんだいを初期値問題しょきちもんだいという。この例れいでは $C=y_0-x_{0^2}$C=y_0-x_0^2 と一意いちいに決きまる。

2方程式ほうていしきの形かたちと解法かいほう

$y^{\prime }=xy$y'=xy は $y\ne 0$y\ne0 の区間くかんで

と分離ぶんりできるため、変数分離形へんすうぶんりけいである。積分せきぶんにより $y=C{e}^{x^2/2}$y=Ce^{x^2/2} を得える。$C=0$C=0 も元もとの方程式ほうていしきを満みたすため、除算じょざんで失うしなわれた零解れいかいを別途べっと確認かくにんする必要ひつようがある。

$y^{\prime }\text{'}+y=0$y''+y=0 は二階線形同次方程式にかいせんけいどうじほうていしきであり、一般解いっぱんかいは

である。二階方程式にかいほうていしきの特定とくていの解かいを決定けっていするには、通常つうじょう $y\left(x_0\right)$y(x_0) と $y^{\prime }\left(x_0\right)$y'(x_0) の 2 個この初期値しょきちが必要ひつようである。方程式ほうていしきの階数かいすう、線形性せんけいせい、同次性どうじせい、係数けいすうの性質せいしつを識別しきべつしてから解法かいほうを選択せんたくする。

3解かいの存在そんざいと一意性いちいせい

初期値問題しょきちもんだい

では、式しきを記述きじゅつできることだけでは解かいの存在そんざいも一意性いちいせいも保証ほしょうされない。Peano の存在定理そんざいていりPeano existence theoremによれば、$(x_0,y_0)$(x_0,y_0) の近傍きんぼうで $f$f が連続れんぞくなら、少すくなくとも 1 個この局所解きょくしょかいが存在そんざいする。さらにPicard--Lindelöf の一意性定理いちいせいていりPicard--Lindelöf uniqueness theoremによれば、$f$f が $y$y について局所きょくしょリプシッツ連続れんぞくなら、その局所解きょくしょかいは一意いちいである。これらは局所的きょくしょてきな結論けつろんであり、有限時間ゆうげんじかんでの発散はっさんを排除はいじょしない。

たとえば $y^{\prime }=\sqrt{\left|y\right|}$y'=\sqrt{|y|}、$y\left(0\right)=0$y(0)=0 では右辺うへんは連続れんぞくだが $y=0$y=0 の近傍きんぼうで $y$y に関かんして局所きょくしょリプシッツ連続れんぞくではない。零解れいかい $y\equiv 0$y\equiv0 に加くわえ、任意にんいの $c\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}0$c\ge0 に対たいして

も初期値問題しょきちもんだいを満みたす。接続点せつぞくてん $x=c$x=c では左右さゆうの関数値かんすうちと導関数どうかんすうがともに 0 であるため、$y_c$y_c は $C^1$C^1 級きゅうであり、方程式ほうていしきも成立せいりつする。したがって解かいは一意いちいではない。計算けいさんした候補こうほを方程式ほうていしきと初期条件しょきじょうけんへ代入だいにゅうするだけでなく、適用てきようした定理ていりの仮定かていも確認かくにんする。

4次つぎの学習がくしゅう