ステップ関数かんすう・デルタ分布ぶんぷ・因果的畳いんがてきたたみ込こみ

date2026-07-14document_iddoc_558ffbf3ac19f376465050fa67950e62description有限な入力切替と瞬間入力を区別し、分布としてのデルタ、跳躍条件、因果的畳み込み、初期値応答を一つの契約で扱う。prerequisites一階線型と積分因子 / ラプラス変換の入口type講義content_typelecturestatusactive

mathdifferential-equationslaplaceconvolutionlecture

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、有限ゆうげんな大おおきさの入力にゅうりょくが切きり替かわるステップ入力にゅうりょくと、有限ゆうげんの総量そうりょうを瞬間しゅんかんに与あたえるデルタ入力にゅうりょくの相違そういを説明せつめいする。前者ぜんしゃは一階方程式いっかいほうていしきの解かいを連続れんぞくに接続せつぞくし、後者こうしゃは解かいに跳躍ちょうやくを生しょうじさせる。因果的いんがてきな線型時不変系せんけいじふへんけいでは、その零状態応答れいじょうたいおうとうをインパルス応答おうとうとの畳たたみ込こみで表あらわせる。

2ステップとデルタの定義ていぎ

$a > 0$ とする。Heaviside 階段関数かいだんかんすう $H (t - a)$ は

H(t-a)= \begin{cases} 0,&t<a,\\ 1,&t>a \end{cases}H(t-a)= \begin{cases} 0,&t<a,\\ 1,&t>a \end{cases}

である。 $t = a$ での値あたいは、通常つうじょうの積分せきぶんや以下いかの連続解れんぞくかいに影響えいきょうしない。

Dirac のデルタ $δ (t - a)$ は通常関数つうじょうかんすうではなく分布ぶんぷdistributionである。滑なめらかで、ある有限区間ゆうげんくかんの外そとでは 0 となる試験関数しけんかんすう $φ$ に

⟨ δ (t - a), φ (t) ⟩ = φ (a)

と作用さようすることで定義ていぎする。積分記号せきぶんきごうでは

\int δ (t - a) φ (t) d t = φ (a)

と略記りゃっきする。とくに $φ = 1$ を $a$ の近ちかくで満みたす試験関数しけんかんすうを選えらべば、デルタの全質量ぜんしつりょうは 1 である。また、分布ぶんぷの意味いみで

\frac{d}{d t} H (t - a) = δ (t - a)

が成立せいりつする。

3有限ゆうげんステップ入力にゅうりょくに対たいする解かいの連続性れんぞくせい

$λ > 0$ 、 $a > 0$ とし、

y^{'} + λ y = F H (t - a), y (0) = 0

を考かんがえる。 $0 [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] t < a$ では $y = 0$ である。 $a - ε$ から $a + ε$ まで方程式ほうていしきを積分せきぶんすると

y (a + ε) - y (a - ε) + λ \int_{a - ε}^{a + ε} y (t) d t = F \int_{a - ε}^{a + ε} H (t - a) d t .

$y$ が局所的きょくしょてきに有界ゆうかいであるとして $ε \to 0$ とすれば、積分項せきぶんこうは 0 へ近ちかづき、

y (a +) - y (a -) = 0

となる。したがって $y (a) = 0$ を接続条件せつぞくじょうけんとして $t > a$ の方程式ほうていしきを解とけば

y (t) = \frac{F}{λ} H (t - a) (1 - e^{- λ (t - a)})

を得える。

4デルタ入力にゅうりょくは跳躍ちょうやくを生しょうじさせる

つぎに

y^{'} + λ y = A δ (t - a), y (0) = 0

を分布ぶんぷの意味いみで考かんがえる。 $a$ の前後ぜんごで積分せきぶんし、 $ε \to 0$ とすれば

y (a +) - y (a -) = A

を得える。 $a$ より前まえでは $y = 0$ なので、

y (t) = A H (t - a) e^{- λ (t - a)}

である。一階方程式いっかいほうていしきでは状態じょうたい $y$ が $A$ だけ跳躍ちょうやくする。二階方程式にかいほうていしき

p (t) y^{'}' + q (t) y^{'} + r (t) y = A δ (t - a)

については、 $p \in C^{1}$ 、 $q, r$ が $a$ の近傍きんぼうで連続れんぞく、 $p (a) \neq 0$ とし、 $y$ は $a$ の両側りょうがわで $C^{2}$ 級きゅうかつ $y, y^{'}$ が有限ゆうげんな片側極限かたがわきょくげんをもつ区分的古典解くぶんてきこてんかいとする。 $[y]_{a} = y (a +) - y (a -)$ と記しるすと、分布微分ぶんぷびぶんの特異部分とくいぶぶんは

y^{'}' = \dots + [y^{'}]_{a} δ (t - a) + [y]_{a} δ^{'} (t - a)

である。 $p (t) δ^{'} (t - a) = p (a) δ^{'} (t - a) - p^{'} (a) δ (t - a)$ に注意ちゅういすると、方程式ほうていしきの $δ^{'}$ の係数けいすうは $p (a) [y]_{a}$ 、 $δ$ の係数けいすうは $p (a) [y^{'}]_{a} + (q (a) - p^{'} (a)) [y]_{a}$ である。まず $δ^{'}$ の係数比較けいすうひかくから $[y]_{a} = 0$ を得えて、つぎに $δ$ の係数比較けいすうひかくから $p (a) [y^{'}]_{a} = A$ を得える。したがって $y$ は連続れんぞくであり、 $y^{'} (a +) - y^{'} (a -) = A / p (a)$ となる。この結論けつろんは、ここで明示めいじした区分的正則性くぶんてきせいそくせいと係数けいすうの仮定かていに依存いぞんする。

5因果的畳いんがてきたたみ込こみとラプラス変換へんかん

$t [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"ge\")")] 0$ で定義ていぎされた $f, g$ を $t < 0$ では 0 とみなす。片側かたがわの因果的畳いんがてきたたみ込こみcausal convolutionを

(f * g) (t) = \int_{0}^{t} f (t - τ) g (τ) d τ

と定義ていぎする。 $f, g$ が各有限区間かくゆうげんくかんで区分的連続くぶんてきれんぞくかつ指数位数しすういすうで、積分せきぶんが絶対収束ぜったいしゅうそくして積分順序せきぶんじゅんじょを交換こうかんできる共通収束半平面きょうつうしゅうそくはんへいめんでは、

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"mathcal\")")] L {f * g} (s) = [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"mathcal\")")] L {f} (s) [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"mathcal\")")] L {g} (s)

が成立せいりつする。 $a > 0$ に対たいする基本的きほんてきな変換対へんかんついは

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"mathcal\")")] L {H (t - a)} = \frac{e^{- a s}}{s}, [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"mathcal\")")] L {δ (t - a)} = e^{- a s}

である。前者ぜんしゃの収束域しゅうそくいきは $Re s > 0$ である。後者こうしゃはラプラス変換へんかんを分布ぶんぷへ拡張かくちょうした式しきであり、固定こていした $a > 0$ に対たいして $s$ の全複素平面ぜんふくそへいめんで定義ていぎされる。デルタは畳たたみ込こみの平行移動へいこういどうも表あらわし、因果的いんがてきな $f$ について

(δ (\cdot - a) * f) (t) = H (t - a) f (t - a)

となる。

6零入力応答れいにゅうりょくおうとうと零状態応答れいじょうたいおうとうへの分解ぶんかい

線型時不変系せんけいじふへんけいlinear time-invariant system（LTI 系けい）とは、入力にゅうりょくの線型結合せんけいけつごうが出力しゅつりょくの同おなじ線型結合せんけいけつごうへ対応たいおうし、入出力写像にゅうしゅつりょくしゃぞうが時間推移じかんすいいと可換かかんである系けいをいう。さらに時刻じこく $t$ の出力しゅつりょくが未来みらいの入力にゅうりょくに依存いぞんしないとき因果的いんがてきcausalという。

$y^{'} + λ y = f (t)$ の因果的いんがてきなインパルス応答おうとうは

h (t) = H (t) e^{- λ t}

であり、分布ぶんぷの意味いみで $h^{'} + λ h = δ (t)$ を満みたす。初期値しょきちが 0 の零状態応答れいじょうたいおうとうzero-state responseは

y_{z s} (t) = (h * f) (t) = \int_{0}^{t} e^{- λ (t - τ)} f (τ) d τ

である。非零初期値ひれいしょきち $y (0) = y_{0}$ では、入力にゅうりょくを 0 とした零入力応答れいにゅうりょくおうとうzero-input responseを加くわえて

y (t) = y_{0} e^{- λ t} + (h * f) (t)

となる。したがって「一般入力いっぱんにゅうりょくへの応答おうとうは $h * f$ 」という主張しゅちょうは、因果的いんがてき LTI 系けいの零状態応答れいじょうたいおうとうに限かぎる。

7単位たんいの契約けいやく

$[t] = s$ 、 $[y] = Y$ と記しるす。 $y^{'} + λ y = f (t)$ の各項かくこうを加算かさんするには

[λ] = s^{- 1}, [f] = Y / s

でなければならない。 $[δ (t - a)] = s^{- 1}$ なので、 $A δ (t - a)$ を右辺うへんへ置おくとき $[A] = Y$ である。すなわち $A$ は

\int_{a - ε}^{a + ε} A δ (t - a) d t = A

という時間積分じかんせきぶんされた入力強度にゅうりょくきょうどであり、 $y$ の跳躍量ちょうやくりょうと同おなじ単位たんいを持もつ。

8成立範囲せいりつはんい

デルタを含ふくむ等式とうしきと微分びぶんは分布ぶんぷの意味いみで解釈かいしゃくする。畳たたみ込こみによる 1 個このインパルス応答おうとうの表示ひょうじは、線型性せんけいせい・時不変性じふへんせい・因果性いんがせいと零状態れいじょうたいの契約けいやくに依存いぞんする。非線型系ひせんけいけいや時変系じへんけいでは、この表示ひょうじは一般いっぱんに成立せいりつしない。

9演習えんしゅうと総合講義そうごうこうぎ

data/exercise/math/differential-equations/step-delta-and-convolution.exercise.n.md

ラプラス変換へんかん・級数法きゅうすうほう・定性解析ていせいかいせき・数値解法すうちかいほうを含ふくむ ODE 全体ぜんたいの方法選択ほうほうせんたくは、次つぎの総合講義そうごうこうぎで確認かくにんする。

data/lecture/math/differential-equations/laplace-transforms-series-and-modeling.lecture.n.md