局所線型近似きょくしょせんけいきんじlocal linear approximationと微分可能性びぶんかのうせいdifferentiability

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、微分びぶんdifferentiationを接線せっせんの傾かたむきとしてだけでなく、関数かんすうの増分ぞうぶんを基準点きじゅんてんの近傍きんぼうで線型写像せんけいしゃぞうlinear mapによって近似きんじする方法ほうほうとして説明せつめいする。

2直感的ちょっかんてきな説明せつめい

微分可能びぶんかのうな関数かんすうのグラフは、基準点きじゅんてんの近傍きんぼうでは接線せっせんによって近似きんじできる。この接線せっせんによる近似きんじを局所線型近似きょくしょせんけいきんじlocal linear approximationという。

基準点きじゅんてんを $$a$$a とすると、近似式きんじしきは

である。$$h=x-a$$h=x-a とすれば、増分ぞうぶん $$h$$h に作用さようする $$L\left(h\right)=f^{\prime }\left(a\right)h$$L(h)=f'(a)h は $$\mathbb{R}$$\mathbb{R} から $$\mathbb{R}$$\mathbb{R} への線型写像せんけいしゃぞうである。一方いっぽう、$$f\left(a\right)+L\left(h\right)$$f(a)+L(h) は定数項ていすうこうを含ふくむためアフィン写像しゃぞうaffine mapである。「局所線型近似きょくしょせんけいきんじ」の線型せんけいとは、増分ぞうぶんに対たいする $$L$$L の線型性せんけいせいを意味いみする。

3厳密げんみつな説明せつめい

$$D\subseteq \mathbb{R}$$D\subseteq\mathbb{R}、$$f:D\to \mathbb{R}$$f:D\to\mathbb{R}、$$a\in \mathrm{int}D$$a\in\operatorname{int}D とする。$$f$$f が $$a$$a で微分可能びぶんかのうdifferentiableであることは、ある実数じっすう $$c$$c と剰余じょうよ $$r\left(h\right)$$r(h) が存在そんざいして

と書かけ、さらに

が成立せいりつすることと同値どうちである。この条件じょうけんを $$r\left(h\right)=o\left(h\right)$$r(h)=o(h) とも表記ひょうきする。これは $$\left|r\right(h\left)\right|/\left|h\right|\to 0$$|r(h)|/|h|\to0、すなわち誤差ごさの絶対値ぜったいちが $$\left|h\right|$$|h| に比ひして無視むしできることを意味いみする。実際じっさい、$$h\ne 0$$h\ne0 に対たいして上式じょうしきを $$h$$h で割わると

となるため、差商さしょうの極限きょくげんは $$c$$c であり、$$c=f^{\prime }\left(a\right)$$c=f'(a) である。逆ぎゃくに、$$f^{\prime }\left(a\right)$$f'(a) が存在そんざいするならば、$$r\left(h\right)=f(a+h)-f\left(a\right)-f^{\prime }\left(a\right)h$$r(h)=f(a+h)-f(a)-f'(a)h と定義ていぎすることで $$r\left(h\right)/h\to 0$$r(h)/h\to0 を得える。

4具体例ぐたいれい

例れいとして $$\sqrt{4.1}$$\sqrt{4.1} を近似きんじする。$$f:(0,\mathrm{\infty })\to \mathbb{R}$$f:(0,\infty)\to\mathbb{R}、$$f\left(x\right)=\sqrt{x}$$f(x)=\sqrt{x}、$$a=4$$a=4 とする。差商さしょうを有理化ゆうりかすると

であるため、$$f^{\prime }\left(4\right)=1/4$$f'(4)=1/4 である。したがって

であり、$$x=4.1$$x=4.1 を代入だいにゅうして

を得える。実際じっさいの値あたいは $$\sqrt{4.1}\approx 2.02485$$\sqrt{4.1}\approx2.02485 であり、基準点きじゅんてんに近ちかい範囲はんいでは一次近似いちじきんじの誤差ごさが小ちいさいことを確認かくにんできる。

5関連かんれんリンク

6演習えんしゅうリンク