Euler 法ほうを超こえる数値解法すうちかいほう：Runge-Kutta 法ほうと陰的方法いんてきほうほう

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、Euler 法ほうの欠点けってんを精度せいどと安定性あんていせいに分解ぶんかいし、それぞれに対たいして Runge-Kutta 法ほうと陰的方法いんてきほうほうが対応たいおうすることを確認かくにんする。

2対象たいしょうとする初期値問題しょきちもんだい

対象たいしょうは初期値問題しょきちもんだい

である。Euler 法ほうは $$y_{n+1}=y_n+hf(t_n,y_n)$$y_{n+1}=y_n+h f(t_n,y_n) であるが、局所情報きょくしょじょうほうを 1 回かいしか利用りようしないため精度せいどが低ひくい。硬かたい（剛性ごうせい）問題もんだいstiff problemとは、精度せいどだけなら大おおきい刻きざみでもよいのに、陽的方法ようてきほうほうの安定性あんていせいが非常ひじょうに小ちいさい刻きざみを要求ようきゅうする問題もんだいである。

ここで精度せいどと安定性あんていせいを分離ぶんりすることが重要じゅうようである。精度せいどは「厳密解げんみつかいにどれだけ近ちかいか」を測はかる。安定性あんていせいは「本来ほんらい減衰げんすいすべき成分せいぶんを、数値計算すうちけいさんが人工的じんこうてきに増幅ぞうふくしないか」を測はかる。高次精度こうじせいどの方法ほうほうでも、刻きざみ幅はばが安定条件あんていじょうけんを破やぶれば破綻はたんする。

3Runge-Kutta 法ほうの発想はっそう

Runge-Kutta 法ほうは、区間内くかんないの複数ふくすうの傾かたむきを評価ひょうかし、それらを平均へいきんして次点じてんを構成こうせいする。代表だいひょうである 4 次じ Runge-Kutta 法ほうは

で与あたえられる。厳密値げんみつちから 1 歩ぽだけ進すすめた値あたいと厳密解げんみつかいの差さを、ここでは一歩欠損いっぽけっそんと呼よぶ。右辺うへんが解かいの近傍きんぼうで必要ひつような階数かいすうだけ滑なめらかで、数値解すうちかいがその領域りょういきに留とどまるなら、一歩欠損いっぽけっそんは $$O\left(h^5\right)$$O(h^5) である。この滑なめらかさから得えられる $$y$$y に関かんする局所きょくしょ Lipschitz 性せいで誤差伝播ごさでんぱを抑おさえると、固定有限区間こていゆうげんくかんの大域誤差たいいきごさは $$O\left(h^4\right)$$O(h^4) になる。この意味いみで「4 次じ」であり、漸近的ぜんきんてきな収束域しゅうそくいきでは $$h$$h を半分はんぶんにすると大域誤差たいいきごさは約やく $$1/16$$1/16 になる。

4陰的方法いんてきほうほうの発想はっそう

Backward Euler 法ほうは

である。右辺うへんに未知みちの $$y_{n+1}$$y_{n+1} が含ふくまれるため、各段階かくだんかいで方程式ほうていしきを解とく必要ひつようがある。その代かわり、$$y^{\prime }=ay,a<0$$y'=ay,\ a<0 のような減衰問題げんすいもんだいで安定性あんていせいが強つよい。

この方法ほうほうを選択せんたくする理由りゆうは、新あたらしい時刻じこくの傾かたむきを用もちいることで、減衰げんすいする解かいの向むきを数値的すうちてきに尊重そんちょうしやすくなるためである。代償だいしょうとして、各段階かくだんかいの代数方程式だいすうほうていしきに解かいが存在そんざいするか、一意いちいかを確認かくにんし、非線型ひせんけいなら近似値きんじちを反復更新はんぷくこうしんする必要ひつようがある。Newton 法ほうは、そのために導関数どうかんすうで局所線型化きょくしょせんけいかする代表的だいひょうてきな反復法はんぷくほうである。ただし、根ねの一意性いちいせいだけから Newton 反復はんぷくの収束しゅうそくは従したがわない。尺度化しゃくどかした残差ざんさ、更新量こうしんりょう、反復上限はんぷくじょうげんを問題もんだいに応おうじて監視かんしする。

5具体例ぐたいれい

$$y^{\prime }=-10y,y\left(0\right)=1$$y'=-10y,\ y(0)=1 に対たいして Forward Euler 法ほうは $$y_{n+1}=(1-10h)y_n$$y_{n+1}=(1-10h)y_n である。$$h=0.3$$h=0.3 では倍率ばいりつが $$-2$$-2 となり不安定ふあんていである。一方いっぽう、Backward Euler 法ほうは

より

となり、任意にんいの $$h>0$$h>0 で減衰げんすいする。

この例れいでは、厳密解げんみつかい $$e^{-10t}$$e^{-10t} は単調減衰たんちょうげんすいする。Forward Euler 法ほうで $$h=0.3$$h=0.3 を採用さいようすると、倍率ばいりつが $$-2$$-2 となるため、符号ふごうを反転はんてんしながら絶対値ぜったいちが増加ぞうかする。これは微分方程式びぶんほうていしきの性質せいしつではなく、数値法すうちほうが生成せいせいした人工的挙動じんこうてききょどうである。

6選択基準せんたくきじゅん

複素数ふくそすう $$\lambda \in \mathbb{C}$$\lambda\in\mathbb{C} をもつ試験方程式しけんほうていしき $$y^{\prime }=\lambda y$$y'=\lambda y に数値法すうちほうを適用てきようしたときの一歩いっぽの増幅率ぞうふくりつ（倍率ばいりつ）amplification factorを $$R\left(z\right)$$R(z)、$$z=h\lambda$$z=h\lambda と書かく。$$\mathrm{Re}z$$\operatorname{Re}z は $$z$$z の実部じつぶである。A 安定性あんていせいA-stabilityとは、左半平面ひだりはんへいめん $$\mathrm{Re}z<0$$\operatorname{Re}z<0 の全域ぜんいきで $$\left|R\right(z\left)\right|\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}1$$|R(z)|\le 1 となる性質せいしつである。A 安定あんていであり、さらに左半平面内ひだりはんへいめんないで $$\left|z\right|\to \mathrm{\infty }$$|z|\to\infty のとき $$R\left(z\right)\to 0$$R(z)\to0 となる強つよい減衰性げんすいせいを L 安定性あんていせいL-stability と呼よぶ。Backward Euler 法ほうはその両方りょうほうを満みたす。

7適用範囲てきようはんいと限界げんかい

Runge-Kutta 法ほうは精度せいどを改善かいぜんする標準手段ひょうじゅんしゅだんであるが、硬かたい問題もんだいでは刻きざみ幅はばを極端きょくたんに小ちいさく要求ようきゅうすることがある。すべての陰的方法いんてきほうほうが無条件むじょうけんに安定あんていなのではなく、安定領域あんていりょういきを方法ほうほうごとに確認かくにんする。刻きざみ半減比較はんげんひかくも単独たんどくの厳密誤差保証げんみつごさほしょうではない。

8演習えんしゅうリンク

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