方向場ほうこうば・Euler 法ほう・誤差ごさと安定性あんていせいの入口いりぐち

date2026-07-16document_iddoc_b18e1753cd1f82c741b1d8c125d5f897description方向場と Euler 法を、解析解が得られない場合の挙動把握・誤差評価・数値安定性の入口として整理する。prerequisites微分方程式とは何か / 初期値問題の存在・一意性と最大存在区間type講義content_typelecturestatusactive

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1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、解析解かいせきかいが得えられない場合ばあいでも、方向場ほうこうばで解かいの傾向けいこうを把握はあくし、Euler 法ほうで近似解きんじかいを構成こうせいし、誤差ごさと安定性あんていせいを別概念べつがいねんとして確認かくにんする。

2何なにを解とくページか

標準形ひょうじゅんけいは

y^{'} = f (x, y), y (x_{0}) = y_{0}

である。方向場ほうこうばDirection field は、各点かくてん $(x, y)$ に傾かたむき $f (x, y)$ を配置はいちした図式ずしきである。Euler 法ほうEuler method は、現在点げんざいてんの傾かたむきで短みじかい直線近似ちょくせんきんじを行おこなう数値解法すうちかいほうである。

3なぜこの方針ほうしんを選えらぶのか

微分びぶんは局所的きょくしょてきな一次近似いちじきんじを与あたえる。したがって、現在点げんざいてんで $y^{'} = f (x, y)$ を評価ひょうかすれば、短みじかい区間くかんでは $y$ がどちらへ変化へんかするかを推定すいていできる。方向場ほうこうばは式しきを解とかずに全体傾向ぜんたいけいこうを確認かくにんする道具どうぐであり、Euler 法ほうはその局所近似きょくしょきんじを反復はんぷくする方法ほうほうである。

4解法かいほうの流ながれ

初期値しょきち $y (x_{0}) = y_{0}$ と刻きざみ幅はば $h$ を設定せっていする。Euler 法ほうでは

x_{n + 1} = x_{n} + h, y_{n + 1} = y_{n} + h f (x_{n}, y_{n})

と更新こうしんする。最大存在区間さいだいそんざいくかんの内部ないぶにある固定こていされた有限区間ゆうげんくかんを選えらび、厳密解げんみつかいが 2 回連続微分可能かいれんぞくびぶんかのうで $| y^{'}' |$ が有界ゆうかいであるとする。このとき Taylor 展開てんかい

y (x + h) = y (x) + h y^{'} (x) + O (h^{2})

の一次項いちじこうで切きる近似きんじである。ここでは、厳密げんみつな値あたいから 1 歩ぽだけ Euler 更新こうしんしたときの欠損けっそんを一歩欠損いっぽけっそんone-step defectと呼よぶ。この定義ていぎでは一歩欠損いっぽけっそんは $O (h^{2})$ である。欠損けっそんを $h$ で割わった量りょうを局所打切きょくしょうちきり誤差ごさと呼よぶ流儀りゅうぎでは、次数じすうは $O (h)$ になる。

さらに、 $f$ が解かいと数値列すうちれつの留とどまる領域りょういきで $y$ に関かんして Lipschitz であるとする。一歩いっぽごとの誤差ごさの増幅ぞうふくをこの Lipschitz 定数ていすうで抑おさえると、固定有限区間こていゆうげんくかんでの大域誤差たいいきごさglobal errorは $O (h)$ になる。滑なめらかさや Lipschitz 条件じょうけんを置おかずに、この誤差次数ごさじすうを断定だんていしてはならない。

5具体例ぐたいれい

5.1増加ぞうかする例れい

y^{'} = y, y (0) = 1

で $h = 0.1$ とすると、Euler 法ほうは $y_{n + 1} = 1.1 y_{n}$ を与あたえる。したがって $y_{1} = 1.1, y_{2} = 1.21$ である。厳密解げんみつかい $e^{x}$ と比較ひかくすると、刻きざみ幅はばを縮小しゅくしょうすると近似きんじが改善かいぜんする。

5.2安定性あんていせいが問題もんだいになる例れい

y^{'} = a y, a < 0

の厳密解げんみつかいは減衰げんすいする。Euler 法ほうでは

y_{n + 1} = (1 + a h) y_{n}

である。数値解すうちかいが減衰げんすいするには $| 1 + a h | < 1$ が必要ひつようである。たとえば $a = - 10$ 、 $h = 0.3$ では $1 + a h = - 2$ となり、厳密解げんみつかいは減衰げんすいするにもかかわらず数値解すうちかいは振動しんどうしながら増大ぞうだいする。

6精度せいどと安定性あんていせいの区別くべつ

精度せいどは、刻きざみ幅はばを小ちいさくしたとき厳密解げんみつかいへどの速はやさで接近せっきんするかを表あらわす。安定性あんていせいは、反復はんぷくが誤差ごさを増幅ぞうふくするか抑制よくせいするかを表あらわす。高精度こうせいどな方法ほうほうでも、問題もんだいと刻きざみ幅はばの組合くみあわせによって不安定ふあんていになることがある。

7陰的方法いんてきほうほうへの接続せつぞく

Forward Euler 法ほうは現在点げんざいてんの傾かたむき $f (x_{n}, y_{n})$ を使用しようする。一方いっぽう、Backward Euler 法ほうは次点じてんの傾かたむき $f (x_{n + 1}, y_{n + 1})$ を使用しようし、

y_{n + 1} = y_{n} + h f (x_{n + 1}, y_{n + 1})

を解とく。未知量みちりょう $y_{n + 1}$ が右辺うへんにも出現しゅつげんするため、各段階かくだんかいで方程式ほうていしきを解とく計算負担けいさんふたんが生しょうじる。しかし減衰問題げんすいもんだいでは、安定性あんていせいが改善かいぜんされることがある。

モデル方程式ほうていしき $y^{'} = a y$ に適用てきようすると、Backward Euler 法ほうは

y_{n + 1} = \frac{1}{1 - a h} y_{n}

を与あたえる。 $a < 0$ なら、任意にんいの $h > 0$ に対たいして $1 - a h = 1 + | a | h > 1$ であるため、 $| 1 / (1 - a h) | < 1$ が成立せいりつする。この比較ひかくは、数値解法すうちかいほうの選択せんたくでは精度せいどだけでなく安定性あんていせいを確認かくにんする必要ひつようがあることを示しめす。

8方向場ほうこうばで判定はんていできること

方向場ほうこうばは厳密解げんみつかいを生成せいせいしないが、解析前かいせきまえの診断しんだんに有効ゆうこうである。

確認項目かくにんこうもく	方向場ほうこうばから得えられる情報じょうほう
零傾斜曲線れいけいしゃきょくせん	$f (x, y) = 0$ となる曲線きょくせん。そこを通とおる解かいとは限かぎらない
平衡解へいこうかい	定数ていすう $c$ がすべての $x$ で $f (x, c) = 0$ を満みたすときの水平解すいへいかい $y = c$
増減ぞうげん	傾かたむきの符号ふごう
安定性候補あんていせいこうほ	近傍きんぼうの矢印やじるしが平衡解へいこうかいへ向むかうかを読よみ、符号解析ふごうかいせきなどで確認かくにんする
急変区間きゅうへんくかんの候補こうほ	傾かたむきの大おおきい領域りょういきを読よむ。数値安定性すうちあんていせいは増幅率ぞうふくりつで別べつに判定はんていする

9どこまで成立せいりつするか

方向場ほうこうばは解曲線かいきょくせんの候補こうほを可視化かしかする道具どうぐであり、1 本ほんの厳密解げんみつかいや安定性あんていせいの証明しょうめいを与あたえるものではない。とくに一意性いちいせいの仮定かていがない領域りょういきでは、1 本ほんの流ながれを表あらわすと解釈かいしゃくしてはならない。Euler 法ほうは入口いりぐちとして重要じゅうようだが、実用計算じつようけいさんでは Runge-Kutta 法ほう、Backward Euler 法ほう、適応刻てきおうきざみ幅はばなどを検討けんとうする。

10前まえの講義こうぎ

data/lecture/math/differential-equations/singular-solutions-and-envelopes.lecture.n.md

11次つぎの講義こうぎ

data/lecture/math/differential-equations/beyond-euler-runge-kutta-and-implicit-methods.lecture.n.md

12演習えんしゅうリンク

data/exercise/math/differential-equations/numerical-ode-methods.exercise.n.md