閉形式解へいけいしきかいを得えにくい微分方程式びぶんほうていしきの解析方針かいせきほうしん：解析解かいせきかい・数値解すうちかい・定性的解析ていせいてきかいせきの役割分担やくわりぶんたん

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、「解とけない」を「初等関数しょとうかんすうで閉とじた式しきに表現ひょうげんできない」という限定的げんていてきな意味いみとして扱あつかい、存在そんざい・近似きんじ・挙動きょどうの解析かいせきを分離ぶんりする。

このページは、ここまでの一階いっかい ODE トラックをまとめる確認点かくにんてんである。高階方程式こうかいほうていしきや連立系れんりつけいまで含ふくむ最終的さいしゅうてきな方法選択ほうほうせんたくは、後続講義こうぞくこうぎを終おえた後あとの「ODE の方法選択ほうほうせんたくと次つぎのトラック」で扱あつかう。

2三みっつの役割やくわり

位相線いそうせんphase lineとは、自律方程式じりつほうていしき $$y^{\prime }=g\left(y\right)$$y'=g(y) について、平衡点へいこうてんで実数直線じっすうちょくせんを区切くぎり、各区間かくくかんに $$g\left(y\right)$$g(y) の符号ふごうと解かいが動うごく向むきを矢印やじるしで記しるした図ずである。

3この方針ほうしんを採用さいようする理由りゆう

微分方程式びぶんほうていしきの実用じつようでは、閉とじた式しきよりも、解かいの存在そんざい、安定あんていか不安定ふあんていか、長時間ちょうじかんで発散はっさんするか、数値的すうちてきに信頼しんらいできるかが重要じゅうようになる。解析解かいせきかいを閉形式へいけいしきで得えられない場合ばあいにも、数学的解析すうがくてきかいせきは継続けいぞくできる。

4最初さいしょに判定はんていすること

解法かいほうを探索たんさくする前まえに、問題もんだいを次つぎの順序じゅんじょで判定はんていする。

この順序じゅんじょを採用さいようする理由りゆうは、解析解かいせきかいの探索たんさくだけに固執こしつすると、存在そんざいしている解かいや安定性あんていせいの情報じょうほうを逸失いっしつするためである。閉とじた式しきは有用ゆうようだが、唯一ゆいいつの到達点とうたつてんではない。

5具体例ぐたいれい 1：解析解かいせきかいより存在そんざいを先さきに確認かくにんする

は初等的しょとうてきな標準解法ひょうじゅんかいほうへ直接ちょくせつは接続せつぞくしない。しかし $$f(x,y)=x^2+y^2$$f(x,y)=x^2+y^2 は滑なめらかであるため、局所的きょくしょてきに一意解いちいかいが存在そんざいする。存在定理そんざいていりが直ただちに保証ほしょうするのは局所解きょくしょかいであり、全実数上ぜんじっすうじょうの存在そんざいではない。Euler 法ほうや Runge-Kutta 法ほうで近似きんじするときも、最大存在区間さいだいそんざいくかんの内部ないぶで誤差ごさと解かいの増大ぞうだいを監視かんしする。方向場ほうこうばからは $$y^{\prime }=x^2+y^2\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}0$$y'=x^2+y^2\ge0、すなわち解かいが存在そんざいする間あいだは非減少ひげんしょうであることを読よめる。

ここで重要じゅうようなのは、標準解法ひょうじゅんかいほうに接続せつぞくしないことと、数学的すうがくてきに扱あつかえないことが同義どうぎではない点てんである。存在そんざい・一意性いちいせいを定理ていりで確認かくにんし、数値解すうちかいで近似きんじし、方向場ほうこうばで傾向けいこうを判定はんていする、という役割分担やくわりぶんたんが成立せいりつする。

6具体例ぐたいれい 2：長時間挙動ちょうじかんきょどうを優先ゆうせんする場合ばあい

は分離形ぶんりけいとして積分せきぶんできるが、実際じっさいには平衡解へいこうかい $$y=-1,0,1$$y=-1,0,1 と符号ふごうの判定はんていだけで多おおくの情報じょうほうを得える。右辺うへんを $$g\left(y\right)=y(1-y^2)$$g(y)=y(1-y^2) とおくと、$$0<y<1$$0<y<1 では $$g\left(y\right)>0$$g(y)>0、$$y>1$$y>1 では $$g\left(y\right)<0$$g(y)<0、$$-1<y<0$$-1<y<0 では $$g\left(y\right)<0$$g(y)<0、$$y<-1$$y<-1 では $$g\left(y\right)>0$$g(y)>0 である。

一意性いちいせいにより解かいは平衡解へいこうかいを横切よこぎらない。たとえば $$0<y\left(0\right)<1$$0<y(0)<1 なら、解かいは $$(0,1)$$(0,1) に留とどまり、単調増加たんちょうぞうかかつ 1 で上うえから抑おさえられる。その極限きょくげんを $$L$$L とすると、$$g\left(L\right)\ne 0$$g(L)\ne0 なら十分後じゅうぶんごも一定速度いっていそくどで動うごき続つづけて収束しゅうそくに反はんするので、$$g\left(L\right)=0$$g(L)=0 であり $$L=1$$L=1 である。$$y\left(0\right)>1$$y(0)>1 の場合ばあいも、解かいは 1 を横切よこぎらず、単調減少たんちょうげんしょうして 1 との間あいだに有界ゆうかいであるため、有限時間ゆうげんじかんで発散はっさんせず 1 へ収束しゅうそくする。負ふの初期値しょきちについても符号ふごうを反転はんてんした同様どうようの議論ぎろんにより $$-1$$-1 へ収束しゅうそくし、0 からの解かいは 0 に留とどまる。近ちかくから始はじめた解かいが近ちかくに留とどまり、さらにその平衡値へいこうちへ収束しゅうそくするという意味いみで、$$y=\pm 1$$y=\pm1 は漸近安定ぜんきんあんていasymptotically stableである。$$y=0$$y=0 の両側りょうがわでは矢印やじるしが 0 から離はなれるため、0 は不安定ふあんていである。

閉とじた式しきを得える前まえに、位相線いそうせんを出発点しゅっぱつてんとして長時間ちょうじかんの吸引先きゅういんさきを証明しょうめいできる。この例れいは、定性的解析ていせいてきかいせきが解析解かいせきかいの代用品だいようひんではなく、別べつの目的もくてきを持もつ解析かいせきであることを示しめす。

7誤用ごようしやすい点てん

• 解析解かいせきかいが得えられないことを、解かいが存在そんざいしないことと混同こんどうしてはならない。
• 数値解すうちかいは近似きんじであり、誤差ごさと安定性あんていせいの確認かくにんを省略しょうりゃくしてはならない。
• 方向場ほうこうばは厳密証明げんみつしょうめいではなく、挙動きょどうの推定すいていと仮説形成かせつけいせいに用もちいる。

8適用範囲てきようはんいと限界げんかい

このページの役割分担やくわりぶんたんは、解析解かいせきかい・数値解すうちかい・定性的解析ていせいてきかいせきを混同こんどうしないための基本方針きほんほうしんである。ただし、所定しょていの関数類かんすうるいによる閉形式表現へいけいしきひょうげんが存在そんざいしないことを証明しょうめいする作業さぎょうは一般いっぱんに難むずかしく、初学段階しょがくだんかいでは「標準解法ひょうじゅんかいほうに接続せつぞくしない」と「閉とじた式しきが存在そんざいしない」を同一視どういつししない姿勢しせいが重要じゅうようである。

数値解すうちかいは計算けいさんできる点てんで強力きょうりょくだが、刻幅きざみはば、丸まるめ誤差ごさ、安定性あんていせいに依存いぞんする。定性的解析ていせいてきかいせきは全体像ぜんたいぞうを把握はあくする手段しゅだんだが、方向場ほうこうばや符号判定ふごうはんていだけで大域挙動たいいききょどうを完全かんぜんに決定けっていできるとは限かぎらない。目的もくてきに応おうじて、証明しょうめい、近似きんじ、挙動判定きょどうはんていを分担ぶんたんさせることが必要ひつようである。

9前まえの講義こうぎ

10次つぎの講義こうぎ

一階方程式いっかいほうていしきについて、型かたの診断しんだん、存在一意性そんざいいちいせい、定性的挙動ていせいてききょどう、数値近似すうちきんじを目的もくてきに応おうじて分担ぶんたんできたら、次つぎは二階線型定数係数方程式にかいせんけいていすうけいすうほうていしきへ進すすむ。

11演習えんしゅうリンク

12関連かんれんリンク