非同次方程式ひどうじほうていしきと未定係数法みていけいすうほう

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、非同次線型方程式ひどうじせんけいほうていしきの一般解いっぱんかいを同次解どうじかいと特殊解とくしゅかいに分解ぶんかいし、未定係数法みていけいすうほうが成立せいりつする条件じょうけんを明示めいじする。

2標準形ひょうじゅんけい

を考かんがえる。ここでは $$a,b,c$$a,b,c が定数ていすうである場合ばあいを中心ちゅうしんに扱あつかう。

3線型性せんけいせいによる解集合かいしゅうごうの構造こうぞう

線型性せんけいせいにより、$$y_p$$y_p が $$L\left[y_p\right]=f\left(x\right)$$L[y_p]=f(x) を満みたし、$$y_h$$y_h が $$L\left[y_h\right]=0$$L[y_h]=0 を満みたすなら、

である。したがって一般解いっぱんかいは $$y=y_h+y_p$$y=y_h+y_p となる。

これは線型せんけい作用素さようそ方程式ほうていしきの一般いっぱん定理ていりそのものである。$L\left[y_p\right]=f$L[y_p]=f を満みたす特殊解とくしゅかいが 1 つあるとする。$h\in \ker L$h\in\ker L なら

なので $y_p+h$y_p+h は解かいである。逆ぎゃくに $y$y も $L\left[y\right]=f$L[y]=f の解かいなら

であるから、$y-y_p\in \ker L$y-y_p\in\ker L である。したがって解かい全体ぜんたいは

であり、同次どうじ解空間かいくうかんは $\ker L$\ker L である。

4未定係数法みていけいすうほうの条件じょうけん

未定係数法みていけいすうほうMethod of undetermined coefficients は、定数係数ていすうけいすうであり、右辺うへん $$f\left(x\right)$$f(x) が多項式たこうしき・指数関数しすうかんすう・正弦せいげん・余弦よげん、またはそれらの有限和ゆうげんわ・有限積ゆうげんせきである場合ばあいに特とくに有効ゆうこうである。

この条件じょうけんが必要ひつようになる理由りゆうは、これらの関数族かんすうぞくが微分びぶんで有限次元空間ゆうげんじげんくうかんの内部ないぶに留とどまるからである。たとえば $$e^{2x}$$e^{2x} は微分びぶんしても $$e^{2x}$$e^{2x} の定数倍ていすうばいである。

候補こうほは右辺うへんをそのまま模倣もほうするのではなく、微分びぶんで閉とじる関数空間かんすうくうかんを選択せんたくする。

5具体例ぐたいれい 1：右辺うへんが多項式たこうしきの場合ばあい

を考かんがえる。同次解どうじかいは $$y_h=C_1{e}^x+C_2{e}^{-x}$$y_h=C_1e^x+C_2e^{-x} である。右辺うへんが 1 次多項式じたこうしきであるため、特殊解候補とくしゅかいこうほを $$y_p=Ax+B$$y_p=Ax+B と設定せっていする。この候補こうほを選択せんたくする理由りゆうは、微分びぶんしても $$1,x$$1,x の張はる有限次元空間ゆうげんじげんくうかんの内部ないぶに留とどまるためである。

これが $$x$$x に一致いっちするため、$$-A=1$$-A=1、$$-B=0$$-B=0 であり、$$A=-1,B=0$$A=-1,\ B=0 を得える。したがって特殊解とくしゅかいは $$y_p=-x$$y_p=-x であり、

を得える。計算けいさんの要点ようてんは、候補こうほを推測すいそくすることではなく、候補空間こうほくうかんが微分作用びぶんさようで閉とじることを利用りようする点てんにある。

6共鳴きょうしんと補正ほせい

では同次解どうじかいに $$\cos x,\sin x$$\cos x,\sin x が含ふくまれる。したがって $$A\cos x+B\sin x$$A\cos x+B\sin x を特殊解候補とくしゅかいこうほにすると同次解どうじかいと重複ちょうふくし、新あらたな特殊解とくしゅかいを生成せいせいできない。この場合ばあいは $$x(A\cos x+B\sin x)$$x(A\cos x+B\sin x) とし、線型独立性せんけいどくりつせいを回復かいふくする。

実際じっさい、$$y_p=x(A\cos x+B\sin x)$$y_p=x(A\cos x+B\sin x) と設定せっていして代入だいにゅうすると、一ひとつの特殊解とくしゅかいとして $$y_p=\frac{1}{2}x\sin x$$y_p=\frac{1}{2}x\sin x が得えられる。$$x$$x を掛かける操作そうさは暗記項目あんきこうもくではなく、同次解空間どうじかいくうかんとの重複ちょうふくを回避かいひするための線型代数的補正せんけいだいすうてきほせいである。

作用素さようその表現ひょうげんでは、最初さいしょの候補こうほが $\ker L$\ker L に属ぞくすると、$L$L を作用さようさせても 0 となり、右辺うへんを生成せいせいできない。そこで、$x$x を乗じょうじた候補こうほへ変更へんこうする。これは「候補こうほを同次解空間どうじかいくうかんとの重複ちょうふくから除外じょがいし、$L$L の像ぞうとして右辺うへんを生成せいせいする」ための補正ほせいである。ただし、$x$x を乗じょうじる回数かいすうは根こんの重複度ちょうふくどや候補空間こうほくうかんに依存いぞんするため、共鳴補正きょうめいほせいは未定係数法みていけいすうほうの適用条件てきようじょうけんに基もとづいて決定けっていする必要ひつようがある。

7反例はんれいとなる状況じょうきょう

では $$\tan x$$\tan x とその導関数どうかんすうは有限個ゆうげんこの候補関数こうほかんすうで閉とじない。したがって未定係数法みていけいすうほうは自然しぜんな方法ほうほうではない。この場合ばあいは定数変化法ていすうへんかほうなどを検討けんとうする。

さらに、係数けいすうが変数へんすうに依存いぞんする $$y^{\prime }\text{'}+xy=f\left(x\right)$$y''+x y=f(x) のような方程式ほうていしきでは、右辺うへんが単純たんじゅんでも未定係数法みていけいすうほうの構造こうぞうは崩くずれる。未定係数法みていけいすうほうは、定数係数ていすうけいすうの線型作用素せんけいさようそが有限次元関数空間ゆうげんじげんかんすうくうかんを保たもつことに依存いぞんするためである。

8未定係数法みていけいすうほうと定数変化法ていすうへんかほうの適用範囲てきようはんいの比較ひかく

最初さいしょに未定係数法みていけいすうほうを試行しこうする理由りゆうは計算効率けいさんこうりつである。ただし適用条件てきようじょうけんを満みたさない場合ばあいには、定数変化法ていすうへんかほうや基本解行列きほんかいぎょうれつへの移行いこうを判断はんだんする必要ひつようがある。

9適用範囲てきようはんいと限界げんかい

未定係数法みていけいすうほうは、定数係数線型作用素ていすうけいすうせんけいさようそが有限次元関数空間ゆうげんじげんかんすうくうかんを保たもつ場合ばあいに計算効率けいさんこうりつを発揮はっきする方法ほうほうである。したがって、右辺うへんの形かたちが複雑ふくざつな場合ばあい、係数けいすうが変数へんすうに依存いぞんする場合ばあい、または同次解どうじかいとの重複ちょうふくを補正ほせいしない場合ばあいには破綻はたんする。

ただし、未定係数法みていけいすうほうが不適ふてきであることは、非同次方程式ひどうじほうていしきの可解性かかいせいを否定ひていしない。定数変化法ていすうへんかほうは右辺うへんの形かたちへの依存いぞんが弱よわく、積分表示せきぶんひょうじとして特殊解とくしゅかいを構成こうせいできる場合ばあいが多おおい。方法選択ほうほうせんたくでは、候補空間こうほくうかんが微分びぶんで閉とじるかを最初さいしょに確認かくにんする。

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