階段形かいだんけいrow echelon formと簡約階段形かんやくかいだんけいreduced row echelon form

1導入どうにゅう

この講義こうぎで重要じゅうようなのは、階段形かいだんけいrow echelon formは解かいを読よむために行列ぎょうれつmatrixを整理せいりした形かたちであり、pivot が本質的ほんしつてきな変数へんすうと階数かいすうrankを示しめすということである。

掃はき出だし法ほうGaussian eliminationでは、行列ぎょうれつmatrixをただ小ちいさくするのではなく、主成分しゅせいぶんpivotの位置いちを段階的だんかいてきに整理せいりする。その整理後せいりごの形かたちが階段形かいだんけいrow echelon formである。

2用語ようごと定義ていぎ

主成分しゅせいぶんPivot とは、各行かくぎょうで左ひだりから最初さいしょに現あらわれる非零成分ひぜろせいぶんである。

行階段形ぎょうかいだんけいRow echelon form とは、下したの行ぎょうrowへ進すすむほど主成分しゅせいぶんpivotが右みぎへ移動いどうし、零行れいぎょうが下したに集あつまる形かたちである。

簡約行階段形かんやくぎょうかいだんけいReduced row echelon form とは、各主成分かくしゅせいぶんが 1 で、その列れつcolumnの他ほかの成分せいぶんcomponentがすべて 0 になった形かたちである。

3方針ほうしん

行基本変形ぎょうきほんへんけいelementary row operationで左下ひだりしたから非零成分ひぜろせいぶんを消去しょうきょし、主成分しゅせいぶんpivotを階段状かいだんじょうに配置はいちする。解かいを完全かんぜんに読よむなら、さらに主成分列しゅせいぶんれつpivot columnの上下じょうげを 0 にして簡約かんやくする。

4直感的ちょっかんてきな説明せつめい

階段形かいだんけいrow echelon formでは、主役しゅやくになる変数へんすうが左ひだりから右みぎへ順じゅんに現あらわれる。pivot がある列れつcolumnは主変数しゅへんすうの列れつcolumnであり、pivot がない列れつcolumnは自由変数じゆうへんすうfree variableの列れつcolumnになる。

このため、階段形かいだんけいrow echelon formは計算途中けいさんとちゅうの形かたちであると同時どうじに、解かいの自由度じゆうどを確認かくにんする表ひょうとしても機能きのうする。

線型変換せんけいへんかんlinear transformationとして見みると、pivot は「入力方向にゅうりょくほうこうのうち、出力側しゅつりょくがわで独立どくりつindependentに効きいている方向ほうこう」を示しめす印しるしである。pivot のない列れつcolumnは、他ほかの pivot 列れつcolumnの組くみ合あわせで説明せつめいできる方向ほうこうであり、そこに自由度じゆうどが残のこる。

したがって階段形かいだんけいrow echelon formは、行列ぎょうれつmatrixを見みやすくする表計算ひょうけいさんではなく、写像しゃぞうmapがどの方向ほうこうを独立どくりつindependentに保たもち、どの方向ほうこうを他ほかの方向ほうこうへ従属じゅうぞくdependentさせるかを読よむための形かたちである。

5厳密げんみつな説明せつめい

たとえば

は行階段形ぎょうかいだんけいである。主成分しゅせいぶんpivotは 1 列目れつめと 2 列目れつめにあるため、pivot の個数こすうは 2 である。したがって階数かいすうrankは 2 である。

簡約行階段形かんやくぎょうかいだんけいでは、さらに主成分列しゅせいぶんれつpivot columnの他成分たせいぶんを 0 にする。たとえば

は簡約行階段形かんやくぎょうかいだんけいである。

6具体例ぐたいれいと矛盾むじゅんの判定はんてい

拡大係数行列かくだいけいすうぎょうれつaugmented matrix

は階段形かいだんけいrow echelon formである。第二行だいにぎょうから $$y=1$$y=1 を得える。第一行だいいちぎょうへ代入だいにゅうして $$x+2=5$$x+2=5、すなわち $$x=3$$x=3 を得える。階段形かいだんけいrow echelon formは下したから上うえへ解かいを戻もどす形かたちである。

拡大係数行列かくだいけいすうぎょうれつaugmented matrixでは、最後さいごの列れつcolumnだけに pivot が立たつ場合ばあいに注意ちゅういする。たとえば

には行ぎょうrow $0x+0y=1$0x+0y=1 が含ふくまれる。これは $0=1$0=1 という矛盾むじゅんなので、解かいは存在そんざいしない。階数かいすうrankで言いえば、係数行列けいすうぎょうれつcoefficient matrixの階数かいすうrankは 1 だが、拡大係数行列かくだいけいすうぎょうれつaugmented matrixの階数かいすうrankは 2 であり、

となる。この不一致ふいっちが、右辺うへんright-hand side $b$b が列空間れつくうかんcolumn spaceに入はいっていないことを表あらわす。

7よくある誤解ごかい

• pivot は任意にんいの非零成分ひぜろせいぶんでよいわけではない。各行かくぎょうの左ひだりから最初さいしょの非零成分ひぜろせいぶんである。
• 階段形かいだんけいrow echelon formと簡約階段形かんやくかいだんけいreduced row echelon formは同一どういつではない。簡約かんやくでは pivot 列れつcolumnの他成分たせいぶんも 0 にする。
• 階数かいすうrankは非零成分ひぜろせいぶんの個数こすうではなく、pivot の個数こすうである。

8どこまで成立せいりつするか

行基本変形ぎょうきほんへんけいelementary row operationで得えられる階段形かいだんけいrow echelon formは一意いちいとは限かぎらない。しかし簡約行階段形かんやくぎょうかいだんけいは一意いちいである。階数かいすうrankや pivot の個数こすうは、途中とちゅうの操作そうさoperationの選択せんたくに依存いぞんしない。

9最終形さいしゅうけい

10演習えんしゅうリンク

11関連かんれんリンク