基本変形きほんへんけいelementary operationと連立一次方程式れんりついちじほうていしきsystem of linear equations-基本演習きほんえんしゅう

1演習えんしゅう方針ほうしん

行基本変形ぎょうきほんへんけいelementary row operationは方程式ほうていしきequationを同値どうちequivalentに変形へんけいするので、解集合かいしゅうごうsolution setを保存ほぞんする。列基本変形れつきほんへんけいelementary column operationは列空間れつくうかんcolumn spaceと階数かいすうrankを保存ほぞんするが、未知数みちすうunknownの意味いみを変かえる。

このファイルでは入口いりぐちとして、何なにを保存ほぞんし何なにを変かえるかを確認かくにんする。階段形かいだんけいrow echelon form、掃はき出だし、列基本変形れつきほんへんけいelementary column operationの詳細しょうさいは関連演習かんれんえんしゅうへ分割ぶんかつしている。

2問題もんだい 1

連立一次方程式れんりついちじほうていしきsystem of linear equations

を拡大係数行列かくだいけいすうぎょうれつaugmented matrixで表あらわし、行基本変形ぎょうきほんへんけいelementary row operationで解とけ。

2.1解答例かいとうれい

したがって $x=1$x=1、$y=2$y=2 である。

2.2解説かいせつ

行基本変形ぎょうきほんへんけいelementary row operationは、方程式ほうていしきどうしを入いれ替かえる、非零定数倍ひぜろていすうばいする、一方いっぽうに他方たほうの倍ばいを加くわえる操作そうさoperationである。いずれも逆操作ぎゃくそうさinverse operationを持もつので、解集合かいしゅうごうsolution setを変かえない。

3問題もんだい 2

が表あらわす連立一次方程式れんりついちじほうていしきsystem of linear equationsに解かいsolutionがあるかを判定はんていせよ。

3.1解答例かいとうれい

第だい 2 行ぎょうrowは

を表あらわす。これは成立せいりつしないので、解かいsolutionは存在そんざいしない。

3.2解説かいせつ

零行れいぎょうzero rowと矛盾行むじゅんぎょうcontradictory rowを区別くべつする。すべての係数けいすうcoefficientが 0 で右辺うへんright-hand sideも 0 なら条件じょうけんを追加ついかしないが、右辺うへんright-hand sideが 0 でなければ矛盾むじゅんである。

4問題もんだい 3

3 種類しゅるいの行基本変形ぎょうきほんへんけいelementary row operationを列挙れっきょし、それぞれが何なにを保存ほぞんするかを述のべよ。

4.1解答例かいとうれい

3 種類しゅるいは、行ぎょうrowの交換こうかん、行ぎょうrowの非零定数倍ひぜろていすうばい、ある行ぎょうrowに別べつの行ぎょうrowの定数倍ていすうばいを加くわえる操作そうさoperationである。

いずれも解集合かいしゅうごうsolution setを保存ほぞんする。

4.2解説かいせつ

0 倍ばいは行基本変形ぎょうきほんへんけいelementary row operationではない。0 倍ばいすると行ぎょうrowの情報じょうほうが消きえ、元もとに戻もどせないからである。非零ひれいの定数ていすうで割わる場合ばあいは、その定数ていすうが 0 でないことが前提ぜんていである。

5問題もんだい 4

行列ぎょうれつmatrix

に列基本変形れつきほんへんけいelementary column operation $C_2\leftarrow C_2-2C_1$C_2\leftarrow C_2-2C_1 を行おこなう。新あたらしい行列ぎょうれつmatrixを求もとめ、この操作そうさoperationが列空間れつくうかんcolumn spaceと $Ax=b$Ax=b に対たいして何なにを変かえるかを説明せつめいせよ。

5.1解答例かいとうれい

になる。列基本変形れつきほんへんけいelementary column operationは列空間れつくうかんcolumn spaceと階数かいすうrankを保存ほぞんする。しかし $Ax=b$Ax=b の未知数みちすうunknownの意味いみはそのままでは保存ほぞんされない。

5.2解説かいせつ

列基本変形れつきほんへんけいelementary column operationは、列れつベクトルcolumn vectorの生成系せいせいけいgenerating setを別べつの生成系せいせいけいに取とり替かえる操作そうさoperationである。到達とうたつできる出力しゅつりょくoutputの集合しゅうごうsetは変かわらないが、各かく未知数みちすうunknownが担当たんとうする方向ほうこうは変かわる。

6問題もんだい 5

から解集合かいしゅうごうsolution setを読よみ取とれ。

6.1解答例かいとうれい

ピボットpivotは第だい 1 列れつcolumnと第だい 2 列れつcolumnにある。したがって $x_1,x_2$x_1,x_2 が主変数しゅへんすうleading variable、$x_3$x_3 が自由変数じゆうへんすうfree variableである。$x_3=t$x_3=t とおくと、

である。したがって

である。

6.2解説かいせつ

階段形かいだんけいechelon formは、解かいsolutionの構造こうぞうstructureを読よむための形かたちである。ピボットpivotがない列れつcolumnは自由変数じゆうへんすうfree variableを表あらわし、零行れいぎょうは条件じょうけんを追加ついかしない。

7問題もんだい 6

つぎの説明せつめいの誤あやまりを指摘してきせよ。

「$A$A に列基本変形れつきほんへんけいelementary column operationを行おこなって $AF$AF にしても階数かいすうrankは変かわらない。したがって $Ax=b$Ax=b と $AFx=b$AFx=b は同おなじ解集合かいしゅうごうsolution setを持もつ。」

7.1解答例かいとうれい

階数かいすうrankが保存ほぞんされることと、解集合かいしゅうごうsolution setが同おなじであることは別べつである。$AFx=b$AFx=b は $A\left(Fx\right)=b$A(Fx)=b を意味いみするので、元もとの未知数みちすうunknownを $z=Fx$z=Fx と置おけば $Az=b$Az=b になる。したがって、解かいを比較ひかくするには未知数変換みちすうへんかんchange of variablesを追跡ついせきする必要ひつようがある。

7.2解説かいせつ

行基本変形ぎょうきほんへんけいelementary row operationは方程式ほうていしきequationを同値どうちequivalentに変形へんけいする。一方いっぽう、列基本変形れつきほんへんけいelementary column operationは入力側にゅうりょくがわの座標ざひょうcoordinateを取とり替かえる。この違ちがいが、保存ほぞんされる対象たいしょうの違ちがいである。

8関連演習かんれんえんしゅう

9関連講義かんれんこうぎ

10証明しょうめい演習えんしゅう：行基本変形ぎょうきほんへんけいが解集合かいしゅうごうを保たもつこと

10.1問題もんだい

拡大係数行列かくだいけいすうぎょうれつに行基本変形ぎょうきほんへんけいを行おこなっても、連立一次方程式れんりついちじほうていしきの解集合かいしゅうごうが変かわらない理由りゆうを説明せつめいせよ。

10.2解答かいとう

行ぎょうの交換こうかんは方程式ほうていしきの順番じゅんばんを替かえるだけである。行ぎょうの 0 でない定数倍ていすうばいは、両辺りょうへんを 0 でない数かずで掛かけるだけであり、逆操作ぎゃくそうさで戻もどせる。行ぎょうへの加算かさんは、もとの方程式ほうていしきの線型結合せんけいけつごうを追加ついかする操作そうさであり、これも逆操作ぎゃくそうさで戻もどせる。

10.3解説かいせつ

行基本変形ぎょうきほんへんけいは可逆かぎゃくな同値変形どうちへんけいである。したがって解かいを探さがしやすい形かたちへ変かえても、解集合かいしゅうごうは保たもたれる。