階段形かいだんけいechelon formと掃はき出だしelimination-基本演習きほんえんしゅう

date2026-06-06document_iddoc_ca4c6b1a246b65429f5f693c4483a658description階段形、簡約階段形、掃き出し法、逆行列計算を、ピボットと場合分けに注目して確認する演習である。prerequisites階段形と簡約階段形 / 連立一次方程式と掃き出し法 / 逆行列の計算手順type問題演習content_typeexercisestatusactive

mathlinear-algebraexerciserrefeliminationinverse-matrix

data/lecture/math/linear-algebra/row-echelon-and-reduced-row-echelon-forms.lecture.n.md data/lecture/math/linear-algebra/linear-systems-and-gaussian-elimination.lecture.n.md data/lecture/math/linear-algebra/computing-inverse-matrices.lecture.n.md

1演習えんしゅう方針ほうしん

階段形かいだんけいechelon formは、ピボットpivotの位置いちから主変数しゅへんすうleading variable、自由変数じゆうへんすうfree variable、矛盾行むじゅんぎょうcontradictory rowを読よむための形かたちである。掃はき出だしeliminationでは、割わる前まえにピボットpivotが 0 でないことを確認かくにんする。

2問題もんだい 1

つぎの拡大係数行列かくだいけいすうぎょうれつaugmented matrixを行階段形ぎょうかいだんけいrow echelon formと簡約行階段形かんやくぎょうかいだんけいreduced row echelon formまで変形へんけいし、解集合かいしゅうごうsolution setを読よみ取とれ。

\left( \begin{array}{ccc|c} 1&2&-1&0\\ 2&4&-2&0\\ 0&1&3&4 \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc|c} 1&2&-1&0\\ 2&4&-2&0\\ 0&1&3&4 \end{array} \right)

2.1解答例かいとうれい

\left( \begin{array}{ccc|c} 1&2&-1&0\\ 2&4&-2&0\\ 0&1&3&4 \end{array} \right) \to \left( \begin{array}{ccc|c} 1&2&-1&0\\ 0&0&0&0\\ 0&1&3&4 \end{array} \right) \to \left( \begin{array}{ccc|c} 1&2&-1&0\\ 0&1&3&4\\ 0&0&0&0 \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc|c} 1&2&-1&0\\ 2&4&-2&0\\ 0&1&3&4 \end{array} \right) \to \left( \begin{array}{ccc|c} 1&2&-1&0\\ 0&0&0&0\\ 0&1&3&4 \end{array} \right) \to \left( \begin{array}{ccc|c} 1&2&-1&0\\ 0&1&3&4\\ 0&0&0&0 \end{array} \right)

これは行階段形ぎょうかいだんけいrow echelon formである。さらに $R_{1} \leftarrow R_{1} - 2 R_{2}$ とすると、

\left( \begin{array}{ccc|c} 1&0&-7&-8\\ 0&1&3&4\\ 0&0&0&0 \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc|c} 1&0&-7&-8\\ 0&1&3&4\\ 0&0&0&0 \end{array} \right)

となる。 $x_{3} = t$ とおくと、

(\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 8 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}) + t (\begin{matrix} 7 \\ - 3 \\ 1 \end{matrix}) (t \in R)

である。

2.2解説かいせつ

行階段形ぎょうかいだんけいrow echelon formは前進消去ぜんしんしょうきょで作つくり、簡約行階段形かんやくぎょうかいだんけいreduced row echelon formは上うえのピボット列れつpivot columnも 0 にする。解かいの個数こすうは、ピボットpivotの個数こすうと矛盾行むじゅんぎょうcontradictory rowの有無うむから決きまる。

3問題もんだい 2

\left( \begin{array}{ccc|c} 1&0&2&3\\ 0&1&-1&1\\ 0&0&a-1&b \end{array} \right)\left( \begin{array}{ccc|c} 1&0&2&3\\ 0&1&-1&1\\ 0&0&a-1&b \end{array} \right)

について、 $a, b$ の値あたいにより解かいsolutionが一意いちいに存在そんざいする場合ばあい、無限むげんに存在そんざいする場合ばあい、存在そんざいしない場合ばあいを分類ぶんるいせよ。

3.1解答例かいとうれい

$a \neq 1$ の場合ばあい、第だい 3 行ぎょうrowは $(a - 1) z = b$ である。ここでは $a - 1 \neq 0$ なので $z = b / (a - 1)$ と解とける。したがって一意解いちいかいunique solutionを持もつ。

$a = 1$ の場合ばあい、第だい 3 行ぎょうrowは $0 z = b$ である。 $b = 0$ なら $z$ が自由変数じゆうへんすうfree variableとなり、解かいsolutionは無限むげんに存在そんざいする。 $b \neq 0$ なら矛盾むじゅんするので、解かいsolutionは存在そんざいしない。

3.2解説かいせつ

文字式もじしきで割わる前まえに、分母ぶんぼが 0 にならない条件じょうけんを分わける。ここで確認かくにんすべきなのは $a - 1$ であり、割わり算ざんに現あらわれない量りょうまで不要ふように場合分ばあいわけしない。

4問題もんだい 3

A (a) = (\begin{matrix} a & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})

について、 $(A (a) ∣ I)$ を掃はき出だしeliminationし、 $A (a)^{- 1}$ を求もとめよ。

4.1解答例かいとうれい

$a$ をピボットpivotにすると $a = 0$ の場合ばあいが問題もんだいになる。ここでは第だい 2 行ぎょうrowの $1$ をピボットpivotにするため、まず行ぎょうrowを交換こうかんする。

\left( \begin{array}{cc|cc} a&1&1&0\\ 1&0&0&1 \end{array} \right) \to \left( \begin{array}{cc|cc} 1&0&0&1\\ a&1&1&0 \end{array} \right) \to \left( \begin{array}{cc|cc} 1&0&0&1\\ 0&1&1&-a \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc|cc} a&1&1&0\\ 1&0&0&1 \end{array} \right) \to \left( \begin{array}{cc|cc} 1&0&0&1\\ a&1&1&0 \end{array} \right) \to \left( \begin{array}{cc|cc} 1&0&0&1\\ 0&1&1&-a \end{array} \right)

したがって

A (a)^{- 1} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & - a \end{matrix})

である。

4.2解説かいせつ

この解法かいほうでは $a$ で割わっていないため、 $a = 0$ でも同おなじ手順てじゅんで処理しょりできる。問題もんだいになるのは実際じっさいに分母ぶんぼへ置おいた量りょうが 0 になりうる場合ばあいである。

5問題もんだい 4

A = (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix})

について、 $(A ∣ I)$ を掃はき出だしeliminationし、 $A^{- 1}$ が存在そんざいしないことを説明せつめいせよ。

5.1解答例かいとうれい

\left( \begin{array}{cc|cc} 1&2&1&0\\ 2&4&0&1 \end{array} \right) \to \left( \begin{array}{cc|cc} 1&2&1&0\\ 0&0&-2&1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{cc|cc} 1&2&1&0\\ 2&4&0&1 \end{array} \right) \to \left( \begin{array}{cc|cc} 1&2&1&0\\ 0&0&-2&1 \end{array} \right)

となる。左側ひだりがわに零行れいぎょうが現あらわれるため、左側ひだりがわを $I$ に変形へんけいできない。したがって $A$ は可逆かぎゃくinvertibleではなく、 $A^{- 1}$ は存在そんざいしない。

5.2解説かいせつ

逆行列ぎゃくぎょうれつinverse matrixの掃はき出だしでは、左側ひだりがわを単位行列たんいぎょうれつidentity matrixにできるかが判定基準はんていきじゅんである。途中とちゅうで零行れいぎょうが現あらわれることは、入力にゅうりょくの方向ほうこうが潰つぶれていることを示しめす。