Laplacian と物理応用ぶつりおうよう

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、Laplacian が局所平均きょくしょへいきんからの偏差へんさを特徴とくちょうづけ、拡散かくさん・波動はどう・ポテンシャルを記述きじゅつする中心的ちゅうしんてきな演算子えんざんしであることを説明せつめいする。

2用語ようごと定義ていぎ

$$\mathrm{\Omega }\subset R^n$$\Omega\subset\mathbb R^n を開集合かいしゅうごうとする。LaplacianLaplacian は、$$f\in C^2\left(\mathrm{\Omega }\right)$$f\in C^2(\Omega) であるスカラー場ばに対たいして

で定義ていぎされる二階線形微分演算子にかいせんけいびぶんえんざんしである。$$R^n$$\mathbb R^n の直交座標ちょっこうざひょうでは

となる。以下いかでは Euclidean 空間くうかんのスカラー Laplacian を扱あつかう。前講義ぜんこうぎでは Gauss の発散定理はっさんていりから、$$\mathrm{\Delta }u$$\Delta u の体積積分たいせきせきぶんが勾配こうばい $$\nabla u$$\nabla u の外向そとむき境界流束きょうかいりゅうそくに等ひとしいことを確認かくにんした。この講義こうぎでは、その局所的きょくしょてきな意味いみを平均値へいきんちとの関係かんけいから解説かいせつする。

3方針ほうしん

Laplacian は、一点いってんの値あたいと、その点てんを囲かこむ小球面しょうきゅうめんでの平均へいきんとの偏差へんさの主要項しゅようこうを与あたえる。この関係かんけいを Taylor 展開てんかいで導出どうしゅつしてから、熱方程式ねつほうていしき・波動方程式はどうほうていしき・Laplace 方程式ほうていしき・Poisson 方程式ほうていしきへ接続せつぞくする。

4局所平均きょくしょへいきんからの差さ

$$f\in C^2\left(\mathrm{\Omega }\right)$$f\in C^2(\Omega)、$$x\in \mathrm{\Omega }$$x\in\Omega とし、$$x$$x を中心ちゅうしんとする半径はんけい $$r$$r の閉球へいきゅうが $$\mathrm{\Omega }$$\Omega に含ふくまれるとする。その境界球面きょうかいきゅうめんを $$\mathit{\partial }{B}_r\left(x\right)$$\partial B_r(x) と書かき、球面積きゅうめんせきで正規化せいきかした球面平均きゅうめんへいきんを

と定義ていぎする。$$r\to 0$$r\to0 で Taylor 展開てんかいすると、

を得える。ここで $$o\left(r^2\right)$$o(r^2) は、$$r\to 0$$r\to0 で $$o\left(r^2\right)/r^2\to 0$$o(r^2)/r^2\to0 を満みたす剰余項じょうよこうを表あらわす。一次いちじの項こうと二階偏導関数行列にかいへんびぶんかんすうぎょうれつ Hessian の非対角項ひたいかくこうは球面上きゅうめんじょうの対称性たいしょうせいで平均へいきんが 0 になり、対角項たいかくこうの和わだけが Laplacian として残のこる。

したがって $$\mathrm{\Delta }f\left(x\right)>0$$\Delta f(x)>0 なら、主要項しゅようこうが剰余項じょうよこうを支配しはいする十分小じゅうぶんちいさい $$r$$r に対たいして、周囲しゅういの平均へいきんは中心ちゅうしんの値あたいより高たかい。$$\mathrm{\Delta }f\left(x\right)<0$$\Delta f(x)<0 なら逆ぎゃくである。ただし、一点いってんで $$\mathrm{\Delta }f\left(x\right)=0$$\Delta f(x)=0 というだけでは、有限半径ゆうげんはんけいの平均へいきんと $$f\left(x\right)$$f(x) が等ひとしいとは限かぎらない。

一次元いちじげんでは、Laplacian は二階微分にかいびぶんそのものであり、グラフの局所的きょくしょてきな凹凸おうとつを特徴とくちょうづける。高次元こうじげんでは、互たがいに直交ちょっこうする方向ほうこうの二階変化にかいへんかを合計ごうけいする。

$$\mathrm{\Delta }f=0$$\Delta f=0 が $$\stackrel{\_}{B_R\left(x\right)}$$\overline{B_R(x)} の近傍きんぼうで成立せいりつするとする。球面平均きゅうめんへいきんを単位球面たんいきゅうめん $$S^{n-1}$$S^{n-1} 上じょうの積分せきぶんとして微分びぶんし、Gauss の発散定理はっさんていりを適用てきようすると、$$0<r<R$$0<r<R で

となる。したがって $$M_{r}f\left(x\right)$$M_r f(x) は $$r$$r に依存いぞんせず、$$r\to 0$$r\to0 で $$M_{r}f\left(x\right)\to f\left(x\right)$$M_r f(x)\to f(x) であるため、すべての $$0<r<R$$0<r<R において $$M_{r}f\left(x\right)=f\left(x\right)$$M_r f(x)=f(x) が成立せいりつする。これが調和関数ちょうわかんすうの平均値性質へいきんちせいしつである。

5代表例だいひょうれい

以下いかでは、均質きんしつ・等方とうほう・定係数ていけいすうの最もっとも単純たんじゅんな古典こてんモデルと十分滑じゅうぶんなめらかな古典解こてんかいを考かんがえる。熱方程式ねつほうていしきでは空間くうかんについて $$C^2$$C^2、時間じかんについて $$C^1$$C^1、波動方程式はどうほうていしきでは空間くうかん・時間じかんについて $$C^2$$C^2、Laplace・Poisson 方程式ほうていしきでは空間くうかんについて $$C^2$$C^2 を仮定かていする。

熱拡散率ねつかくさんりつ $$\kappa >0$$\kappa>0 を持もつ熱方程式ねつほうていしきは

であり、温度おんどが周囲しゅういとの差さを均ならすように変化へんかすることを表あらわす。

Laplace 方程式ほうていしき

は、内部ないぶに源みなもとのない平衡状態へいこうじょうたいを表あらわす。この解かいが調和関数ちょうわかんすうである。

6調和関数ちょうわかんすうの例れい

$$u(x,y)=x^2-y^2$$u(x,y)=x^2-y^2 では $$u_{xx}=2$$u_{xx}=2、$$u_{yy}=-2$$u_{yy}=-2 であるため、$$\mathrm{\Delta }u=0$$\Delta u=0 である。このような関数かんすうを調和関数ちょうわかんすうという。この関数かんすうは、その定義域内ていぎいきないに閉包へいほうが含ふくまれるすべての球きゅうで平均値性質へいきんちせいしつを満みたす。

別べつの例れいとして $$u(x,y)=\log \sqrt{x^2+y^2}$$u(x,y)=\log\sqrt{x^2+y^2} は、原点げんてんを除のぞく領域りょういきで調和ちょうわである。ただし原点げんてんに特異点とくいてんがあるため、領域りょういきを指定していせずに全平面ぜんへいめんの調和関数ちょうわかんすうとして扱あつかってはならない。この例れいは Green 関数かんすうや基本解きほんかいへの入口いりぐちになる。

7座標系ざひょうけいによる式しきの変化へんか

二次元にじげんの直交座標ちょっこうざひょうでは $$\mathrm{\Delta }f=f_{xx}+f_{yy}$$\Delta f=f_{xx}+f_{yy} である。$$r>0$$r>0 の極座標きょくざひょうでは

となる。この式しきは $$x=r\cos \theta$$x=r\cos\theta、$$y=r\sin \theta$$y=r\sin\theta に連鎖律れんさりつを適用てきようし、$$f_{xx}+f_{yy}$$f_{xx}+f_{yy} を整理せいりして導出どうしゅつできる。$$r=0$$r=0 では極座標きょくざひょうそのものが特異とくいなので、この表示ひょうじをそのまま代入だいにゅうしない。同おなじ Euclidean Laplacian でも座標表示ざひょうひょうじは変化へんかし、$$1/r$$1/r などの項こうは座標変換ざひょうへんかんの結果けっかとして現あらわれる。

8単位たんいの確認かくにん

熱方程式ねつほうていしきで $$u$$u の単位たんいを $$\mathrm{K}$$\mathrm{K}、長ながさの単位たんいを $$\mathrm{m}$$\mathrm{m} とすると、$$\mathrm{\Delta }u$$\Delta u の単位たんいは $$\mathrm{K}/m^2$$\mathrm{K/m^2} である。$$\kappa$$\kappa の単位たんいが $$m^2/\mathrm{s}$$\mathrm{m^2/s} なら、$$\kappa \mathrm{\Delta }u$$\kappa\Delta u は $$\mathrm{K}/\mathrm{s}$$\mathrm{K/s} となり、$$u_t$$u_t と一致いっちする。

9混同こんどうしやすい点てん

scalar Laplacian はスカラー場ばへ作用さようする。$$R^3$$\mathbb R^3 の直交座標ちょっこうざひょうでは、$$C^2$$C^2 級きゅうベクトル場ば $$\mathit{F}$$\boldsymbol F の vector Laplacian を各成分かくせいぶんへスカラー Laplacian を作用さようさせて定義ていぎでき、

が成立せいりつする。右辺うへんを各成分かくせいぶんで展開てんかいすると混合偏微分こんごうへんびぶんの項こうが相殺そうさいし、$$\mathrm{\Delta }{F}_i$$\Delta F_i だけが残のこる。曲線座標きょくせんざひょうで「表示成分ひょうじせいぶんを単純たんじゅんに二階微分にかいびぶんする」だけでは、基底きていの変化へんかを落おとすため同おなじ演算子えんざんしにならない。

10どこまで成立せいりつするか

ここで扱あつかったのは Euclidean 空間くうかんの Laplacian と均質きんしつ・等方とうほうな定係数ていけいすうモデルである。不均質ふきんしつまたは異方的いほうてきな媒質ばいしつでは、たとえば $$\nabla ·\left(A\right(x)\nabla u)$$\nabla\cdot(A(x)\nabla u) のような可変係数演算子かへんけいすうえんざんしが現あらわれる。一般いっぱんの Riemann 多様体たようたいでは計量けいりょうから定さだまる Laplace--Beltrami 演算子えんざんしを用もちいる。また、平均値性質へいきんちせいしつは一点いってんの $$\mathrm{\Delta }f=0$$\Delta f=0 からではなく、球きゅうを含ふくむ領域りょういきでの調和性ちょうわせいから得えられる。

11関連かんれんリンク