群作用ぐんさようgroup actionと対称性たいしょうせいsymmetry

群ぐんgroupは、単たんなる演算表えんざんひょうoperation tableとしてだけでなく、集合しゅうごうsetを動うごかす変換へんかんtransformationの集あつまりとして見みることができる。この見方みかたが群作用ぐんさようgroup actionである。

群作用ぐんさようgroup actionを使つかうと、「群ぐんgroupの元げんelementが対象たいしょうobjectをどう動うごかすか」を直接ちょくせつ扱あつかえる。図形ずけいfigureの回転かいてんrotation、置換ちかんpermutation、行列ぎょうれつmatrixによる線型変換せんけいへんかんlinear transformationは、全すべて群作用ぐんさようgroup actionの例れいである。

線型変換せんけいへんかんは応用例おうようれいとしての見通みとおしである。このページの定義ていぎと証明しょうめいでは、集合しゅうごうの元げんを別べつの元げんへ移うつす変換へんかんだけを使つかう。

group actions群作用ぐんさよう and symmetry対称性たいしょうせい

A group群ぐん can be viewed not only as an operation table演算表えんざんひょう, but also as a collection of transformations変換へんかん that move a set集合しゅうごう. This viewpoint is a group action群作用ぐんさよう.

Using group actions, we can directly describe how elements元げん of a group move objects対象たいしょう. Rotations回転かいてん of figures, permutations置換ちかん, and linear transformations線型変換せんけいへんかん by matrices are all examples of group actions.

Linear transformations are included only as an application preview. The definitions and proofs on this page use only transformations that move elements of a set to other elements.

1群作用ぐんさようの定義ていぎ

群ぐんgroup $$G$$G が集合しゅうごうset $$X$$X に作用さようactするとは、各かく $$g\in G$$g\in G と $$x\in X$$x\in X に対たいして元げんelement $$g·x\in X$$g\cdot x\in X が定さだまり、次つぎを満みたすことである。

第一だいいち式しきは、単位元たんいげんidentity elementは何なにもしないことを表あらわす。第二だいに式しきは、群ぐんgroupの積せきproductと変換へんかんtransformationの合成ごうせいcompositionが対応たいおうすることを表あらわす。

1Definition of a group action

A group $$G$$G acts作用さよう on a set $$X$$X if, for each $$g\in G$$g\in G and $$x\in X$$x\in X, an element $$g·x\in X$$g\cdot x\in X is defined and the following conditions hold.

The first equation says that the identity element単位元たんいげん does nothing. The second says that multiplication乗法じょうほう in the group corresponds to composition合成ごうせい of transformations.

2軌道きどう

元げん $$x\in X$$x\in X の軌道きどうorbitを

で定義ていぎする。軌道きどうは、群ぐんの作用さようによって $$x$$x から到達とうたつできる元げん全体ぜんたいである。

2Orbits

The orbit軌道きどう of an element $$x\in X$$x\in X is defined by

The orbit is the set of all elements reachable from $$x$$x by the action作用さよう of the group.

3固定部分群こていぶぶんぐん

元げん $$x\in X$$x\in X を動うごかさない群ぐんの元げん全体ぜんたい

を固定部分群こていぶぶんぐんstabilizerという。これは $$G$$G の部分群ぶぶんぐんである。

軌道きどうは「どこへ動うごけるか」を表ひょうし、固定部分群こていぶぶんぐんは「何なにが変かわらないか」を表あらわす。

3Stabilizers

The set of group elements that do not move $$x\in X$$x\in X,

is called the stabilizer固定部分群こていぶぶんぐん. It is a subgroup部分群ぶぶんぐん of $$G$$G.

The orbit describes where an element can move, and the stabilizer describes what remains unchanged.

4具体例ぐたいれい：正三角形せいさんかくけいの対称性たいしょうせい

正三角形せいさんかくけいの頂点集合ちょうてんしゅうごうを $$X=\{1,2,3\}$$X=\{1,2,3\} とする。正三角形せいさんかくけいの回転かいてんと反転はんてんの対称性たいしょうせいは、頂点集合ちょうてんしゅうごうを置換ちかんする。したがって、対称性たいしょうせいの群ぐんは $$X$$X に作用さようする。

頂点ちょうてん 1 の軌道きどうは $$\{1,2,3\}$$\{1,2,3\} である。どの頂点ちょうてんにも対称性たいしょうせいで移うつれるからである。一方いっぽう、頂点ちょうてん 1 を固定こていする対称性たいしょうせいは、恒等変換こうとうへんかんと、頂点ちょうてん 1 を通とおる軸じくでの反転はんてんである。

4Concrete example: symmetries of an equilateral triangle

Let $$X=\{1,2,3\}$$X=\{1,2,3\} be the vertex set of an equilateral triangle. The rotational and reflection symmetries of the triangle permute the vertices. Therefore the symmetry group acts on $$X$$X.

The orbit of vertex 1 is $$\{1,2,3\}$$\{1,2,3\}, because a symmetry can move vertex 1 to any vertex. On the other hand, the symmetries that fix vertex 1 are the identity transformation and the reflection across the axis passing through vertex 1.

5何なにを変かえて何なにを保存ほぞんするか

群作用ぐんさようでは、群ぐんの元げんを変換へんかんとして見みる。変かわるのは集合しゅうごうの元げんの位置いちである。保存ほぞんされるのは、群ぐんの積せきと変換へんかんの合成ごうせいが対応たいおうするという構造こうぞうである。

群作用ぐんさようの考かんがえ方かたは、幾いく何なに、線型代数せんけいだいすう、物理ぶつり、組合くみあわせ論ろんに広ひろく現あらわれる。

5What changes and what is preserved

In a group action群作用ぐんさよう, elements of the group are viewed as transformations. What changes is the position of elements of the set. What is preserved is the structure that multiplication in the group corresponds to composition of transformations.

The idea of group actions appears widely in geometry幾何きか, linear algebra線型代数せんけいだいすう, physics物理ぶつり, and combinatorics組合せ論.

6演習えんしゅうリンク

6Exercise link

7まとめ

群作用ぐんさようは、群ぐんを集合しゅうごう上うえの変換へんかんとして見みる方法ほうほうである。軌道きどうは動うごける範囲はんい、固定部分群こていぶぶんぐんは動うごかさない対称性たいしょうせいを表あらわす。群作用ぐんさようによって、抽象的ちゅうしょうてきな群ぐんを具体的ぐたいてきな変換へんかんとして理解りかいできる。

7Summary

A group action群作用ぐんさよう is a way to view a group as transformations of a set. An orbit軌道きどう is the range of possible movement, and a stabilizer固定部分群こていぶぶんぐん is the symmetry that does not move an element. Group actions let us understand abstract groups as concrete transformations.

8定理ていり：軌道きどう・固定部分群こていぶぶんぐん定理ていり

有限群ゆうげんぐん $$G$$G が集合しゅうごう $$X$$X に作用さようし、$$x\in X$$x\in X とする。このとき

である。したがって $$G$$G が有限ゆうげんなら

が成なり立たつ。これを軌道固定部分群定理きどうこていぶぶんぐんていりorbit-stabilizer theoremという。

証明しょうめいの考かんがえは、剰余類じょうよるいと軌道きどうを対応たいおうさせることである。写像しゃぞう

を考かんがえる。もし $$g{G}_x=h{G}_x$$gG_x=hG_x なら $$h^{-1}g\in G_x$$h^{-1}g\in G_x なので $$\left(h^{-1}g\right)·x=x$$(h^{-1}g)\cdot x=x であり、$$g·x=h·x$$g\cdot x=h\cdot x である。したがって写像しゃぞうは well-defined である。逆ぎゃくに $$g·x=h·x$$g\cdot x=h\cdot x なら $$h^{-1}g\in G_x$$h^{-1}g\in G_x なので $$g{G}_x=h{G}_x$$gG_x=hG_x である。よって全単射ぜんたんしゃである。

ここで全単射ぜんたんしゃとは、異ことなる入力にゅうりょくを異ことなる出力しゅつりょくへ送おくり、かつ目標もくひょうの元げんを全すべて出力しゅつりょくとして得える写像しゃぞうである。有限集合ゆうげんしゅうごうでは全単射ぜんたんしゃがあると元げんの個数こすうが等ひとしい。

正三角形せいさんかくけいの対称群たいしょうぐんでは、頂点ちょうてん 1 の軌道きどうは 3 個こ、固定部分群こていぶぶんぐんは 2 個この元げんを持もつ。したがって群ぐんの位数いすうは $$3·2=6$$3\cdot2=6 である。

8Theorem: orbit-stabilizer theorem

Let a finite group有限群ゆうげんぐん $$G$$G act on a set $$X$$X, and let $$x\in X$$x\in X. Then

Therefore, when $$G$$G is finite,

This is the orbit-stabilizer theorem軌道固定部分群定理きどうこていぶぶんぐんていり.

The idea of the proof証明しょうめい is to match cosets剰余類じょうよるい with points in the orbit. Consider the map

If $$g{G}_x=h{G}_x$$gG_x=hG_x, then $$h^{-1}g\in G_x$$h^{-1}g\in G_x, so $$\left(h^{-1}g\right)·x=x$$(h^{-1}g)\cdot x=x and hence $$g·x=h·x$$g\cdot x=h\cdot x. Thus the map is well-defined. Conversely, if $$g·x=h·x$$g\cdot x=h\cdot x, then $$h^{-1}g\in G_x$$h^{-1}g\in G_x, so $$g{G}_x=h{G}_x$$gG_x=hG_x. Therefore the map is a bijection.

Here a bijection means a map that sends different inputs to different outputs and reaches every element of the target. For finite sets, the existence of a bijection implies that the two sets have the same number of elements.

For the symmetry group of an equilateral triangle, the orbit of vertex 1 has 3 elements, and the stabilizer has 2 elements. Hence the order位数いすう of the group is $$3·2=6$$3\cdot2=6.

9証明しょうめい補足ほそく：軌道きどう・固定部分群こていぶぶんぐん定理ていりが成なり立たつ理由りゆう

群ぐん $$G$$G が集合しゅうごう $$X$$X に作用さようしているとし、$$x\in X$$x\in X を固定こていする。$$x$$x の固定部分群こていぶぶんぐんを $$G_x=\{g\in G\mid g·x=x\}$$G_x=\{g\in G\mid g\cdot x=x\} と書かく。

写像しゃぞう

を考かんがえる。この写像しゃぞうが well-defined であることを確認かくにんする。もし $$g{G}_x=h{G}_x$$gG_x=hG_x なら $$h^{-1}g\in G_x$$h^{-1}g\in G_x である。したがって

であり、左ひだりから $$h$$h を作用さようさせると $$g·x=h·x$$g\cdot x=h\cdot x である。よって代表元だいひょうげんを変かえても行いき先さきは変かわらない。

逆ぎゃくに $$g·x=h·x$$g\cdot x=h\cdot x なら $$h^{-1}g·x=x$$h^{-1}g\cdot x=x なので $$h^{-1}g\in G_x$$h^{-1}g\in G_x、したがって $$g{G}_x=h{G}_x$$gG_x=hG_x である。よってこの写像しゃぞうは単射たんしゃかつ全射ぜんしゃである。有限群ゆうげんぐんの場合ばあい、

が得えられる。

9Proof supplement: why the orbit-stabilizer theorem holds

Suppose a group群ぐん $$G$$G acts on a set $$X$$X, and fix $$x\in X$$x\in X. Write the stabilizer固定部分群こていぶぶんぐん of $$x$$x as $$G_x=\{g\in G\mid g·x=x\}$$G_x=\{g\in G\mid g\cdot x=x\}.

Consider the map

We check that this map is well-defined. If $$g{G}_x=h{G}_x$$gG_x=hG_x, then $$h^{-1}g\in G_x$$h^{-1}g\in G_x. Therefore

Acting by $$h$$h on the left gives $$g·x=h·x$$g\cdot x=h\cdot x. Hence changing the representative does not change the output.

Conversely, if $$g·x=h·x$$g\cdot x=h\cdot x, then $$h^{-1}g·x=x$$h^{-1}g\cdot x=x, so $$h^{-1}g\in G_x$$h^{-1}g\in G_x and therefore $$g{G}_x=h{G}_x$$gG_x=hG_x. Thus the map is both injective and surjective. For a finite group,

follows.