代数学だいすうがくの基本定理きほんていり

2.1仮定かてい

$P\left(z\right)$P(z) を複素数係数ふくそすうけいすうの 1 次じ以上いじょうの多項式たこうしきとする。

2.2結論けつろん

複素数ふくそすう $\alpha$\alpha が存在そんざいして、

となる。

2.3証明しょうめいについて

この定理ていりの完全かんぜんな証明しょうめいには、複素解析ふくそかいせきや位相いそうの道具どうぐを使つかうのが普通ふつうである。このページでは、定理ていりそのものを道具どうぐとして使つかい、因数分解いんすうぶんかいへの帰結きけつを証明しょうめいする。

3.1仮定かてい

$P\left(z\right)$P(z) を複素数係数ふくそすうけいすうの $n$n 次じの多項式たこうしきとし、最高次係数さいこうじけいすうを $a$a とする。ただし $n\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}1$n\ge1 とする。

3.2結論けつろん

複素数ふくそすう ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n$\alpha_1,\ldots,\alpha_n が存在そんざいして、

と書かける。

3.3証明しょうめい

次数じすう $n$n について帰納法きのうほうで示しめす。

$n=1$n=1 では、$P\left(z\right)=az+b=a(z+b/a)$P(z)=a z+b=a(z+b/a) と書かけるので成立せいりつする。

$n\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}2$n\ge2 とする。代数学だいすうがくの基本定理きほんていりより、$P\left({\alpha }_1\right)=0$P(\alpha_1)=0 となる複素数ふくそすう ${\alpha }_1$\alpha_1 が存在そんざいする。因数定理いんすうていりより、

と書かける。ここで $Q\left(z\right)$Q(z) は $n-1$n-1 次じの多項式たこうしきで、最高次係数さいこうじけいすうは $a$a である。

帰納法きのうほうの仮定かていを $Q$Q に使つかうと、

と書かける。したがって

である。□