多項式たこうしきの因数分解いんすうぶんかい

date2026-07-14document_iddoc_5b7b87785c20c8fd9bf52e6d4827f7c7description多項式の因数分解を、積の形に戻す操作として定義し、因数定理・既約多項式・係数範囲の違いを整理する講義である。prerequisites多項式 / 剰余の定理と因数定理type講義content_typelecturestatusactive

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1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、因数分解いんすうぶんかいを「公式こうしきを当あてる作業さぎょう」ではなく、多項式たこうしきがどんな積せきとして作つくられているかを見みえるようにする操作そうさとして理解りかいする。

たとえば

x^{2} - 5 x + 6

を

(x - 2) (x - 3)

と書かければ、 $x = 2, 3$ で値あたいが 0 になることがすぐ分わかる。因数分解いんすうぶんかいは、展開てんかいの逆向ぎゃくむきであると同時どうじに、根こんや符号ふごうを読よみやすくする道具どうぐである。

2定義ていぎ：多項式たこうしきの因数分解いんすうぶんかい

$P (x)$ を多項式たこうしきとする。 $P (x)$ が

P (x) = Q (x) R (x)

と書かけるとき、 $Q (x), R (x)$ を $P (x)$ の因数いんすうという。特とくに $Q, R$ がどちらも定数ていすうでないなら、これは非自明ひじめいな因数分解いんすうぶんかいである。

ここで大切たいせつなのは、どの係数けいすうを許ゆるすかである。整数係数せいすうけいすう、有理数係数ゆうりすうけいすう、実数係数じっすうけいすう、複素数係数ふくそすうけいすうでは、分解ぶんかいできる範囲はんいが変かわる。

この講義こうぎでは、まだ複素数ふくそすうを使つかわなくてよい範囲はんいを中心ちゅうしんに扱あつかう。複素数係数ふくそすうけいすうまで広ひろげた完全かんぜんな分解ぶんかいは、代数学だいすうがくの基本定理きほんていりで扱あつかう。

data/lecture/math/algebra/fundamental-theorem-of-algebra.lecture.n.md

3なぜ因数定理いんすうていりを使つかうのか

因数分解いんすうぶんかいでまず試ためすべきことは、「0 にする値あたいがあるか」である。なぜなら、 $P (a) = 0$ が分わかれば、 $x - a$ が因数いんすうになるからである。

これは公式こうしきではなく、剰余じょうよの定理ていりから出でる。

4定理ていり 1：根こんがあれば一次因数いちじいんすうがある

4.1仮定かてい

$P (x)$ を多項式たこうしきとし、 $P (a) = 0$ とする。

4.2結論けつろん

ある多項式たこうしき $Q (x)$ が存在そんざいして、

P (x) = (x - a) Q (x)

と書かける。

4.3証明しょうめい

$P (x)$ を $x - a$ で割わると、

P (x) = (x - a) Q (x) + r

と書かける。ここで $r$ は定数ていすうである。 $x = a$ を代入だいにゅうすると、

P (a) = r

である。仮定かていより $P (a) = 0$ だから $r = 0$ である。したがって

P (x) = (x - a) Q (x)

である。□

data/lecture/math/algebra/remainder-and-factor-theorems.lecture.n.md

5系けい 1：異ことなる根こんが複数ふくすうあれば、その分ぶんだけ一次因数いちじいんすうが並ならぶ

5.1仮定かてい

$P (x)$ を多項式たこうしきとし、 $a_{1}, \dots, a_{k}$ が互たがいに異ことなる数かずで、

P (a_{1}) = \dots = P (a_{k}) = 0

とする。

5.2結論けつろん

$(x - a_{1}) (x - a_{2}) \dots (x - a_{k})$ は $P (x)$ の因数いんすうである。

5.3証明しょうめい

定理ていり 1 より、

P (x) = (x - a_{1}) Q_{1} (x)

と書かける。 $a_{2} \neq a_{1}$ なので、

0 = P (a_{2}) = (a_{2} - a_{1}) Q_{1} (a_{2})

である。 $a_{2} - a_{1} \neq 0$ だから、 $Q_{1} (a_{2}) = 0$ である。よって定理ていり 1 を $Q_{1}$ に使つかうと、 $Q_{1} (x) = (x - a_{2}) Q_{2} (x)$ と書かける。

この操作そうさを繰くり返かえすと、

P (x) = (x - a_{1}) (x - a_{2}) \dots (x - a_{k}) Q_{k} (x)

を得える。□

6既約多項式きやくたこうしき

考かんがえている係数けいすうの範囲はんいで、それ以上いじょう非自明ひじめいに因数分解いんすうぶんかいできない多項式たこうしきを既約多項式きやくたこうしきirreducible polynomialという。

たとえば、ある範囲はんいでは分解ぶんかいできない多項式たこうしきが、より広ひろい範囲はんいでは分解ぶんかいできることがある。だから因数分解いんすうぶんかいでは、「どこで分解ぶんかいしているか」を最初さいしょに確認かくにんする。

7定石じょうせき

共通因数きょうつういんすうがあれば、まず括くくり出だす。
二次式にじしきなら、積せきと和わから一次因数いちじいんすうを探さがす。
根こんの候補こうほが見みえるなら、代入だいにゅうして因数定理いんすうていりを使つかう。
係数けいすうの範囲はんいを確認かくにんする。

8一言ひとことでいうと

多項式たこうしきの因数分解いんすうぶんかいは、展開てんかいの逆ぎゃくではあるが、それだけではない。根こん・符号ふごう・既約性きやくせいを見みえるようにするための構造分析こうぞうぶんせきである。