積分方程式せきぶんほうていしきの入口いりぐち

date2026-03-27description積分方程式を、未知関数を積分の中に含む方程式として説明し、微分方程式との往復と核の見方を丁寧に整理します。prerequisites積分法の基本 / 微分方程式の入口 / ラプラス変換の入口type講義statusactive

mathanalysisundergraduatelecture

導入どうにゅう

この講義こうぎで最重要さいじゅうようなのは、積分方程式せきぶんほうていしきでは未知数みちすうが積分せきぶんの中なかに入はいっており、微分方程式びぶんほうていしきを積分せきぶんして書かき換かえた形かたちとして現あらわれることが多おおいということです。

微分方程式びぶんほうていしきに慣なれていると、「未知関数みちかんすうが積分記号せきぶんきごうの中なかに入はいる」と急きゅうに見慣みなれない形かたちに見みえます。ここでは、積分方程式せきぶんほうていしきを微分方程式びぶんほうていしきの別表現べつひょうげんとして見みる視点してんから入はいります。

積分方程式せきぶんほうていしきIntegral equation とは、未知関数みちかんすうが積分せきぶんの中なかに現あらわれる方程式ほうていしきです。

核かくKernel とは、積分方程式せきぶんほうていしき

y (x) = f (x) + \int_{a}^{b} K (x, t) y (t) d t

に出でてくる $K (x, t)$ のことです。

まず、初期値問題しょきちもんだいの微分方程式びぶんほうていしきを積分せきぶんして積分方程式せきぶんほうていしきへ書かき換かえます。そのあと、核かくが未知関数みちかんすうをどう重かさね合あわせるかを見みて、微分方程式びぶんほうていしきとの関係かんけいを整理せいりします。

微分方程式びぶんほうていしきが「その点てんでの変化率へんかりつ」を言いうのに対たいして、積分方程式せきぶんほうていしきは「それまでの全体ぜんたいの寄与きよを足たし合あわせた結果けっか」を言いいます。

だから記憶きおくや履歴りれきを持もつ現象げんしょうでは、積分方程式せきぶんほうていしきの形かたちが自然しぜんに出でてきます。

初期値問題しょきちもんだい

y^{'} (x) = f (x, y (x)), y (a) = y_{0}

を考かんがえます。これを $a$ から $x$ まで積分せきぶんすると

\int_{a}^{x} y^{'} (s) d s = \int_{a}^{x} f (s, y (s)) d s

です。微積分学びせきぶんがくの基本定理きほんていりより

y (x) - y (a) = \int_{a}^{x} f (s, y (s)) d s

だから

y (x) = y_{0} + \int_{a}^{x} f (s, y (s)) d s

を得えます。これが積分方程式せきぶんほうていしきです。

たとえば

y (x) = f (x) + λ \int_{a}^{b} K (x, t) y (t) d t

では、 $f (x)$ が外そとから与あたえられる部分ぶぶんで、積分項せきぶんこうが $y (t)$ の全体ぜんたいの影響えいきょうを集あつめる部分ぶぶんです。 $K (x, t)$ は「点てん $t$ での値あたいが、点てん $x$ にどれだけ影響えいきょうするか」を表あらわします。

y^{'} (x) = y (x), y (0) = 1

なら

y (x) = 1 + \int_{0}^{x} y (s) d s

と書かけます。これをさらに微分びぶんし直なおせば、もとの微分方程式びぶんほうていしきへ戻もどります。つまり積分方程式せきぶんほうていしきと微分方程式びぶんほうていしきは、条件じょうけんのもとでは往復おうふくできます。

ここでは入口いりぐちとして、微分方程式びぶんほうていしきから積分方程式せきぶんほうていしきへ移うつる基本形きほんけいだけを扱あつかいました。解かいの存在そんざいや一意性いちいせい、核かくの性質せいしつによる違ちがいまで進すすむには、さらに解析学かいせきがくの道具どうぐが必要ひつようです。

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] y^{'} (x) = f (x, y (x)), y (a) = y_{0} \Rightarrow y (x) = y_{0} + \int_{a}^{x} f (s, y (s)) d s

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] y (x) = f (x) + λ \int_{a}^{b} K (x, t) y (t) d t