積分せきぶんintegrationの定義ていぎ：リーマン和わRiemann sumと符号付ふごうつき面積めんせきsigned area

導入どうにゅう

この講義こうぎの核心かくしんは、定積分ていせきぶんdefinite integralを公式こうしきではなく、小ちいさな寄与きよを足たし合あわせた総和そうわsumの極限きょくげんlimitとして理解りかいすることである。

定義ていぎ

区間くかん $$[a,b]$$[a,b] を

と分割ぶんかつし、各かく小区間しょうくかんで代表点だいひょうてん $${\xi }_i$$\xi_i を取とる。リーマン和わRiemann sumは

である。分割ぶんかつを細こまかくした極限きょくげんが存在そんざいするとき、その値あたいを

と書かく。

符号付ふごうつき面積めんせき

定積分ていせきぶんdefinite integralは、$$x$$x 軸じくの上うえを正せい、下したを負ふとして数かぞえる。したがって、実際じっさいの面積めんせきareaを求もとめるときは、符号ふごうが変かわる点てんで区間くかんを分割ぶんかつし、絶対値ぜったいちabsolute valueを用もちいる。

具体例ぐたいれい

$${\int }_{-1}^{1}xdx=0$$\int_{-1}^{1}x\,dx=0 である。しかし、実面積じつめんせきは

である。この例れいは、定積分ていせきぶんdefinite integralと面積めんせきareaを同一視どういつししてはならないことを確認かくにんしている。

演習えんしゅうリンク

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