関数かんすうfunction・定義域ていぎいきdomain・グラフの見方みかた

導入どうにゅう

この講義こうぎの核心かくしんは、極限きょくげんlimitや微分びぶんdifferentiationを始はじめる前まえに、「どの入力にゅうりょくを許ゆるし、どの点てんへ近ちかづくか」を固定こていすることである。

関数かんすうfunctionは、入力にゅうりょくを出力しゅつりょくへ対応たいおうさせる規則きそくである。ただし、式しきだけを見みても、許ゆるされた入力にゅうりょくの集合しゅうごう、すなわち定義域ていぎいきdomainを確認かくにんしなければ議論ぎろんは始はじまらない。

直感的ちょっかんてきな見方みかた

グラフでは、極限きょくげんlimitは点てんに到着とうちゃくすることではなく、周辺しゅうへんから近ちかづく様子ようすを読よむことである。穴あながある点てんでも、周辺しゅうへんの道みちが同おなじ高たかさへ近ちかづけば極限きょくげんlimitは存在そんざいしうる。

端点たんてんでは、両側りょうがわから近ちかづけない。右端みぎたんなら左ひだりから、左端ひだりたんなら右みぎからだけ近ちかづく。このため、片側極限かたがわきょくげんone-sided limitが必要ひつようになる。

厳密げんみつな整理せいり

定義域ていぎいきdomainを $$D$$D とする。$$a$$a での極限きょくげんlimitを考かんがえるには、$$a$$a そのものが $$D$$D に属ぞくするかよりも、$$a$$a の近ちかくに $$D$$D の点てんが存在そんざいするかが重要じゅうようである。

連続性れんぞくせいcontinuityを確認かくにんするときだけは、次つぎの 3 条件じょうけんを分わけて確認かくにんする。

1. $$f\left(a\right)$$f(a) が定義ていぎされている。
2. $$\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)$$\lim_{x\to a}f(x) が存在そんざいする。
3. $$\underset{x\to a}{\lim }f\left(x\right)=f\left(a\right)$$\lim_{x\to a}f(x)=f(a) が成立せいりつする。

具体例ぐたいれい

問題もんだいとして、$$f\left(x\right)=(x^2-1)/(x-1)$$f(x)=(x^2-1)/(x-1) を考かんがえる。$$x=1$$x=1 では分母ぶんぼが 0 になるため、$$1$$1 は定義域ていぎいきdomainから除のぞかれる。しかし $$x\ne 1$$x\ne1 では $$f\left(x\right)=x+1$$f(x)=x+1 である。したがって、穴あなの周辺しゅうへんでは直線ちょくせん $$y=x+1$$y=x+1 と同おなじ振舞ふるまいをする。

この例れいで確認かくにんしたことは、関数値かんすうちfunction value、定義域ていぎいきdomain、極限きょくげんlimitを区別くべつする必要ひつようである。

演習えんしゅうリンク

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