微分形式びぶんけいしきと外微分がいびぶん

導入どうにゅう

このページの核心かくしんは、微分形式びぶんけいしきを座標記号ざひょうきごうの集あつまりではなく、曲線きょくせん・曲面きょくめん・領域りょういきへ積分せきぶんできる幾何的対象きかがくてきたいしょうとして導入どうにゅうすることである。

用語ようごと定義ていぎ

微分形式びぶんけいしきDifferential form は、各点かくてんに交代多重線形形式こうたいたじゅうせんけいけいしきを割わり当あてる対象たいしょうである。

外微分がいびぶんExterior derivative は、$$k$$k 形式けいしきを $$k+1$$k+1 形式けいしきへ送おくる微分作用素びぶんさようそである。

方針ほうしん

1 形式けいしき $$\omega =Pdx+Qdy$$\omega=P\,dx+Q\,dy の外微分がいびぶんは

である。この式しきは、平面へいめんの curl に対応たいおうする。

なぜこの方針ほうしんを選えらぶのか

微分形式びぶんけいしきを学まなぶとき、いきなり抽象的ちゅうしょうてきな $$k$$k 形式けいしきの一般論いっぱんろんから始はじめると、$$dx\wedge dy$$dx\wedge dy や $$d\omega$$d\omega が何なにを表あらわしているかを見失みうしないやすい。そこでこの講義こうぎでは、まず $$R^2$$\mathbb{R}^2 と $$R^3$$\mathbb{R}^3 の低次元ていじげんで 0 形式けいしき、1 形式けいしき、2 形式けいしき、3 形式けいしきが何なにに積分せきぶんされるかを固定こていし、その後あとで外微分がいびぶんが次数じすうを 1 つ上あげる作用さようとして読よめるようにする。

低次元ていじげんの形式けいしき

0 形式けいしきは関数かんすう $$f$$f である。1 形式けいしきは $$Pdx+Qdy$$P\,dx+Q\,dy のように共きょうベクトルを係数関数けいすうかんすうつきで配置はいちしたものである。2 形式けいしきは $$Rdx\wedge dy$$R\,dx\wedge dy のように面積要素めんせきようそへ係数けいすうを付つけたものである。$$R^3$$\mathbb{R}^3 では 2 形式けいしきに $$Pdy\wedge dz+Qdz\wedge dx+Rdx\wedge dy$$P\,dy\wedge dz+Q\,dz\wedge dx+R\,dx\wedge dy のような表示ひょうじが現あらわれる。

$$R^3$$\mathbb{R}^3 の 3 形式けいしきは $$Hdx\wedge dy\wedge dz$$H\,dx\wedge dy\wedge dz の形かたちであり、体積要素たいせきようそに係数けいすうを付つけたものである。積分せきぶんの対象たいしょうは次数じすうで決きまり、1 形式けいしきは曲線きょくせん、2 形式けいしきは曲面きょくめん、3 形式けいしきは領域りょういきに積分せきぶんする。

$$R^2$$\mathbb{R}^2 での具体例ぐたいれい

$$R^2$$\mathbb{R}^2 では、0 形式けいしきは関数かんすう $$f(x,y)$$f(x,y) であり、1 形式けいしきは $$Pdx+Qdy$$P\,dx+Q\,dy、2 形式けいしきは $$Rdx\wedge dy$$R\,dx\wedge dy である。1 形式けいしきは各点かくてんの接せっベクトルへ作用さようして数かずを返かえし、2 形式けいしきは向むき付づき面積要素めんせきようそへ係数けいすうを掛かける。

たとえば $$\omega =xdy-ydx$$\omega=x\,dy-y\,dx は、円周えんしゅうに沿そった循環じゅんかんを測はかる 1 形式けいしきとして読よめる。一方いっぽう、$$\eta =(x+y)dx\wedge dy$$\eta=(x+y)\,dx\wedge dy は、領域りょういきごとに面積密度めんせきみつど $$x+y$$x+y を割わり当あてる 2 形式けいしきである。

$$R^3$$\mathbb{R}^3 での具体例ぐたいれい

$$R^3$$\mathbb{R}^3 では、1 形式けいしき $$\alpha =Pdx+Qdy+Rdz$$\alpha=P\,dx+Q\,dy+R\,dz は曲線きょくせんに、2 形式けいしき $$\beta =Pdy\wedge dz+Qdz\wedge dx+Rdx\wedge dy$$\beta=P\,dy\wedge dz+Q\,dz\wedge dx+R\,dx\wedge dy は曲面きょくめんに、3 形式けいしき $$\gamma =Hdx\wedge dy\wedge dz$$\gamma=H\,dx\wedge dy\wedge dz は領域りょういきに積分せきぶんされる。

この対応たいおうを固定こていすると、1 形式けいしきの外微分がいびぶんが 2 形式けいしきになり、2 形式けいしきの外微分がいびぶんが 3 形式けいしきになる理由りゆうが見みえやすい。曲線きょくせんの積分量せきぶんりょうを外微分がいびぶんすると曲面きょくめんの密度みつどになり、曲面きょくめんの密度みつどを外微分がいびぶんすると体積たいせきの密度みつどになる。

実計算じっけいさん

$$f(x,y)=x^{2}y$$f(x,y)=x^2y なら、

である。$$\omega =Pdx+Qdy$$\omega=P\,dx+Q\,dy に対たいしては、

となる。

具体例ぐたいれいとして $$\omega =(x^2+y)dx+(x-y)dy$$\omega=(x^2+y)\,dx+(x-y)\,dy とすると、

となる。この例れいでは $$Q_x-P_y=1-1=0$$Q_x-P_y=1-1=0 であり、平面へいめんでの curl に対応たいおうする係数けいすうが 0 になっている。

$$R^3$$\mathbb{R}^3 で $$\alpha =Pdx+Qdy+Rdz$$\alpha=P\,dx+Q\,dy+R\,dz とすると、

である。これは通常つうじょうの curl の成分せいぶんと対応たいおうする。また 2 形式けいしき

に対たいしては

となり、divergence に対応たいおうする。

重要性じゅうようせい

外微分がいびぶんは $$d^2=0$$d^2=0 を満みたす。この性質せいしつにより、勾配こうばいの curl が 0 になることや、curl の divergence が 0 になることが統一的とういつてきに説明せつめいされる。

例れいとして $$f=x^{2}y$$f=x^2y では $$df=2xydx+x^{2}dy$$df=2xy\,dx+x^2\,dy であり、

である。二回にかいの外微分がいびぶんが 0 になることは、混合偏微分こんごうへんびぶんの交換こうかんと交代性こうたいせいが組くみ合あわさった結果けっかである。

$$d^2=0$$d^2=0 が意味いみすること

$$d^2=0$$d^2=0 は、単たんに計算けいさんが楽らくになるという性質せいしつではない。0 形式けいしき $$f$$f に対たいする $$df$$df は局所的きょくしょてきな変化へんかを記録きろくする 1 形式けいしきであり、その外微分がいびぶんが 0 になるという事実じじつは、「純粋じゅんすいな勾配場こうばいばには回転かいてんが残のこらない」ことに対応たいおうする。

同様どうように、$$R^3$$\mathbb{R}^3 では 1 形式けいしきの外微分がいびぶんが curl に、2 形式けいしきの外微分がいびぶんが divergence に対応たいおうするため、$$d^2=0$$d^2=0 は curl の divergence が 0 になることも同時どうじに含ふくんでいる。この統一性とういつせいが、外微分がいびぶんを単たんなる記号操作きごうそうさではなく構造的こうぞうてきな微分びぶんとして捉とらえるべき理由りゆうである。

反例はんれいまたは注意ちゅうい

係数関数けいすうかんすうが十分じゅうぶんに滑なめらかでない場合ばあい、偏微分へんびぶんの交換こうかんや外微分がいびぶんの通常計算つうじょうけいさんをそのまま使用しようできないことがある。また形式けいしきの次数じすうと積分対象せきぶんたいしょうの次元じげんが一致いっちしなければ、直接ちょくせつには積分せきぶんできない。

ベクトル解析かいせきとの対応たいおう

0 形式けいしきの外微分がいびぶんは gradient に対応たいおうする。1 形式けいしきの外微分がいびぶんは平面へいめんの curl に対応たいおうする。3 次元じげんでは、Hodge star と組くみ合あわせることで curl や divergence との対応たいおうを整理せいりできる。この対応たいおうは次つぎの講義こうぎで整理せいりする。

座標非依存ざひょうひいぞんの意味いみ

外微分がいびぶんは座標表示ざひょうひょうじで計算けいさんできるが、定義ていぎそのものは形式けいしきに対たいする演算えんざんである。そのため座標変換ざひょうへんかんをしても、pullback と両立りょうりつする形かたちで同おなじ幾何的内容きかがくてきないようを表あらわす。

引ひき戻もどし

引ひき戻もどしPullback は、写像しゃぞうで曲線きょくせんや曲面きょくめんをパラメータ表示ひょうじしたとき、形式けいしきをパラメータ領域りょういきへ移うつす操作そうさである。形式けいしきの積分せきぶんを実際じっさいに計算けいさんする入口いりぐちになる。

次つぎに読よむページ

形式けいしきを実際じっさいに曲線きょくせんや曲面きょくめんへ積分せきぶんしたい場合ばあいは、pullback と形式けいしきの積分せきぶんへ進すすむ。ベクトル解析かいせきとの対応たいおうを一般いっぱん Stokes 定理ていりまで含ふくめて整理せいりしたい場合ばあいは、一般いっぱん Stokes 定理ていりとベクトル解析かいせき辞書じしょへ進すすむ。

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