pullback と形式けいしきの積分せきぶん

date2026-04-23descriptionpullback と形式の積分を、パラメータ表示された曲線・曲面上で微分形式を積分する操作として整理する。prerequisites微分形式と外微分 / 曲線・曲面のパラメータ表示type講義statusactive

mathdifferential-formspullbacklecture

導入どうにゅう

このページの核心かくしんは、曲線きょくせんや曲面きょくめんをパラメータ表示ひょうじしたとき、微分形式びぶんけいしきをパラメータ領域りょういきへ引ひき戻もどして積分せきぶんすることである。

用語ようごと定義ていぎ

pullbackPullback は、写像しゃぞう $ϕ : U \to M$ に沿そって、 $M$ 上じょうの形式けいしきを $U$ 上じょうの形式けいしきへ移うつす操作そうさである。

方針ほうしん

形式けいしきを直接ちょくせつ曲線きょくせんや曲面きょくめんで積分せきぶんするのではなく、表示写像ひょうじしゃぞうで引ひき戻もどして、通常つうじょうの変数へんすうに関かんする積分せきぶんへ変換へんかんする。

具体例ぐたいれい

曲線きょくせん $γ (t) = (x (t), y (t))$ と 1 形式けいしき $ω = P d x + Q d y$ に対たいして、

γ^{*} ω = (P (γ (t)) x^{'} (t) + Q (γ (t)) y^{'} (t)) d t

である。これは線積分せんせきぶんの計算式けいさんしきと一致いっちする。

曲線上きょくせんじょうの計算けいさん

$ω = x d y - y d x$ 、 $γ (t) = (\cos t, \sin t)$ 、 $0 [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] t [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] 2 π$ とする。このとき

γ^{*} ω = \cos t (\cos t d t) - \sin t (- \sin t d t) = d t

である。したがって $\int_{γ} ω = 2 π$ となる。これは単位円たんいえんの周囲しゅういを一周いっしゅうする循環じゅんかんを測はかる。

曲面上きょくめんじょうの計算けいさん

2 形式けいしき $η = d x \land d y$ を、平面片へいめんへん $ϕ (u, v) = (u, v, 0)$ に引ひき戻もどすと、 $ϕ^{*} η = d u \land d v$ である。したがって形式けいしきの積分せきぶんは通常つうじょうの二重積分にじゅうせきぶんへ変換へんかんされる。

別べつの例れいとして、半径はんけい $R$ の球面きゅうめんを

ϕ (θ, φ) = (R \sin φ \cos θ, R \sin φ \sin θ, R \cos φ)

で表示ひょうじする。2 形式けいしき $η = x d y \land d z + y d z \land d x + z d x \land d y$ は、放射状場ほうしゃじょうば $(x, y, z)$ の flux に対応たいおうする。外向そとむきの向むきは $d φ \land d θ$ に対応たいおうし、引ひき戻もどしは

ϕ^{*} η = R^{3} \sin φ d φ \land d θ

であり、積分せきぶんは $4 π R^{3}$ になる。

変数変換へんすうへんかんとの関係かんけい

pullback は変数変換へんすうへんかんの幾何的きかがくてきな表現ひょうげんである。Jacobian 行列式ぎょうれつしきは、最高次さいこうじの形式けいしきを引ひき戻もどしたときの係数けいすうとして現あらわれる。

たとえば $Φ (u, v) = (x (u, v), y (u, v))$ に対たいして、

Φ^{*} (d x \land d y) = \frac{\partial (x, y)}{\partial (u, v)} d u \land d v

である。通常つうじょうの変数変換公式へんすうへんかんこうしきで現あらわれる Jacobian は、面積形式めんせきけいしきの pullback の係数けいすうである。

対応図たいおうず

ベクトル解析かいせき	微分形式びぶんけいしき
線積分せんせきぶん $\int_{C} F \cdot d r$	1 形式けいしき $\int_{C} ω$
面積分めんせきぶん $\iint_{S} F \cdot n d S$	2 形式けいしき $\int_{S} η$
パラメータ表示ひょうじ	pullback

pullback が必要ひつようなのは、積分対象せきぶんたいしょうが曲線きょくせんや曲面きょくめんに存在そんざいするのに対たいし、計算けいさんは区間くかんや平面領域へいめんりょういきで実行じっこうするからである。

反例はんれいまたは注意ちゅうい

向むきを反転はんてんするパラメータ表示ひょうじでは、最高次形式さいこうじけいしきの積分せきぶんの符号ふごうも反転はんてんする。面積めんせきだけを求もとめる場合ばあいは絶対値ぜったいちが登場とうじょうするが、形式けいしきの積分せきぶんでは向むき付づけを保持ほじする。