Fourier 変換へんかんと PDE

date2026-04-23descriptionFourier 変換を、全空間上の PDE を周波数ごとの代数方程式または ODE へ変換する方法として整理する。prerequisites変数分離法とFourier級数 / フーリエ変換の入口type講義statusactive

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導入どうにゅう

このページの核心かくしんは、Fourier 変換へんかんにより空間微分くうかんびぶんを周波数しゅうはすうの積せきへ変換へんかんし、PDE を周波数しゅうはすうごとの問題もんだいへ分解ぶんかいすることである。

方針ほうしん

全空間ぜんくうかんや周期性しゅうきせいのない問題もんだいでは、Fourier 級数きゅうすうより Fourier 変換へんかんが適合てきごうする。微分びぶんは周波数変数しゅうはすうへんすうの乗算じょうざんへ移行いこうするため、熱方程式ねつほうていしきや波動方程式はどうほうていしきを周波数しゅうはすうごとに解析かいせきできる。

微分びぶんが乗算じょうざんになる理由りゆう

Fourier 変換へんかんを

\hat{f} (ξ) = \int_{R} f (x) e^{- i x ξ} d x

で定義ていぎする。関数かんすうが十分じゅうぶんに減衰げんすいし、部分積分ぶぶんせきぶんの境界項きょうかいこうが 0 になると仮定かていする。このとき

\hat{f^{'}} (ξ) = \int_{R} f^{'} (x) e^{- i x ξ} d x

である。部分積分ぶぶんせきぶんにより

\int_{R} f^{'} (x) e^{- i x ξ} d x = {[f (x) e^{- i x ξ}]}_{{- \infty}^{\infty}} + i ξ \int_{R} f (x) e^{- i x ξ} d x

となる。境界項きょうかいこうが 0 なら

\hat{f^{'}} (ξ) = i ξ \hat{f} (ξ)

である。もう一度いちど適用てきようすると

\hat{f^{'}'} (ξ) = (i ξ)^{2} \hat{f} (ξ) = - ξ^{2} \hat{f} (ξ)

を得える。したがって、空間微分くうかんびぶんを含ふくむ PDE は周波数しゅうはすうごとの代数式だいすうしきまたは ODE へ変換へんかんされる。

代表例だいひょうれい

熱方程式ねつほうていしき $u_{t} = κ u_{x x}$ を $x$ で Fourier 変換へんかんすると、

\partial_{t} \hat{u} = - κ ξ^{2} \hat{u}

となる。これは $t$ に関かんする ODE であり、高周波こうしゅうはほど速はやく減衰げんすいすることを示しめす。

Fourier 級数きゅうすうとの相違そうい

Fourier 級数きゅうすうは有界区間ゆうかいくかんや周期関数しゅうきかんすうを離散的りさんてきな周波数しゅうはすうへ分解ぶんかいする。Fourier 変換へんかんは全空間ぜんくうかんの関数かんすうを連続的れんぞくてきな周波数しゅうはすうへ分解ぶんかいする。境界きょうかいがある問題もんだいでは Fourier 級数きゅうすう、全空間ぜんくうかんでは Fourier 変換へんかんが自然しぜんである。

heat kernel への接続せつぞく

初期条件しょきじょうけん $u (x, 0) = f (x)$ の Fourier 変換へんかんを $\hat{f} (ξ)$ とすると、

\hat{u} (ξ, t) = e^{- κ ξ^{2} t} \hat{f} (ξ)

である。逆変換ぎゃくへんかんすると、解かいは heat kernel と $f$ の畳たたみ込こみで表現ひょうげんされる。これは初期分布しょきぶんぷが Gaussian 核かくで平均化へいきんかされることを意味いみする。

heat kernel の式しきは、Gaussian の Fourier 変換へんかんから導出どうしゅつされる。逆変換ぎゃくへんかんの定数ていすうを

f (x) = \frac{1}{2 π} \int_{R} \hat{f} (ξ) e^{i x ξ} d ξ

とする規約きやくでは、

\frac{1}{2 π} \int_{R} e^{- κ t ξ^{2}} e^{i x ξ} d ξ = \frac{1}{\sqrt{4 π κ t}} e^{- x^{2} / (4 κ t)}

である。この積分せきぶんは平方完成へいほうかんせいと Gaussian 積分せきぶんにより計算けいさんされる。したがって $e^{- κ t ξ^{2}}$ の逆変換ぎゃくへんかんが heat kernel になる。

全空間ぜんくうかんの熱方程式ねつほうていしきを解とく

問題もんだいを

u_{t} = κ u_{x x}, x \in R, t > 0, u (x, 0) = f (x)

とする。未知関数みちかんすうは $u (x, t)$ 、独立変数どくりつへんすうは空間くうかん $x$ と時間じかん $t$ 、定義域ていぎいきは全実線ぜんじっせんである。Fourier 変換へんかんを $x$ に関かんして適用てきようすると、空間微分くうかんびぶんは

\hat{u_{x x}} (ξ, t) = - ξ^{2} \hat{u} (ξ, t)

へ移行いこうする。したがって周波数しゅうはすうごとに

\partial_{t} \hat{u} (ξ, t) = - κ ξ^{2} \hat{u} (ξ, t), \hat{u} (ξ, 0) = \hat{f} (ξ)

を解とけばよい。解かいは

\hat{u} (ξ, t) = e^{- κ ξ^{2} t} \hat{f} (ξ)

である。逆変換ぎゃくへんかんにより

u (x, t) = \frac{1}{\sqrt{4 π κ t}} \int_{R} e^{- (x - y)^{2} / (4 κ t)} f (y) d y

となる。核かく

G_{t} (x) = \frac{1}{\sqrt{4 π κ t}} e^{- x^{2} / (4 κ t)}

が heat kernel である。

比較例ひかくれい: 境界きょうかいがある場合ばあい

区間くかん $0 < x < L$ で Dirichlet 条件じょうけんを課かすと、全空間ぜんくうかんの平行移動対称性へいこういどうたいしょうせいは失うしなわれる。この場合ばあい、連続周波数れんぞくしゅうはすう $ξ$ ではなく、境界条件きょうかいじょうけんに適合てきごうする離散りさんモード $\sin (n π x / L)$ を使用しようする。Fourier 変換へんかんと Fourier 級数きゅうすうの選択せんたくは、領域りょういきと境界条件きょうかいじょうけんで決きまる。

反例はんれいまたは限界げんかい

係数けいすうが $x$ に依存いぞんする $u_{t} = (a (x) u_{x})_{x}$ では、Fourier 変換へんかんを適用てきようしても単純たんじゅんな乗算じょうざんには変換へんかんされない。畳たたみ込こみや擬微分作用素ぎびぶんさようそが現あらわれるため、定数係数ていすうけいすうの場合ばあいと同おなじ手順てじゅんでは完結かんけつしない。

どこまで成なり立たつか

Fourier 変換へんかんは領域りょういきや境界条件きょうかいじょうけんに強つよく依存いぞんする。有界区間ゆうかいくかんでは、Fourier 級数きゅうすうや固有関数展開こゆうかんすうてんかいが自然しぜんになる。