Green 関数かんすうの入口いりぐち

導入どうにゅう

このページの核心かくしんは、線形せんけい PDE の解かいを、点源てんげんに対たいする応答おうとうの重かさね合あわせとして構成こうせいすることである。

用語ようごと定義ていぎ

Green 関数かんすうGreen function は、演算子えんざんし $$L$$L に対たいして $$LG=\delta$$L G=\delta を満みたす基本応答きほんおうとうである。ここで $$\delta$$\delta は点源てんげんを表あらわすデルタ関数かんすうである。

方針ほうしん

線形性せんけいせいにより、一般いっぱんの入力にゅうりょくは点源てんげんの連続的れんぞくてきな重かさね合あわせとして扱あつかえる。Green 関数かんすうが既知きちなら、解かいは畳たたみ込こみや積分せきぶんで表現ひょうげんされる。

注意ちゅうい

Green 関数かんすうは方程式ほうていしきだけでなく、領域りょういきと境界条件きょうかいじょうけんに依存いぞんする。同おなじ微分演算子びぶんえんざんしであっても、境界条件きょうかいじょうけんが異ことなれば Green 関数かんすうも異ことなる。

一次元いちじげん Poisson 問題もんだい

区間くかん $$0<x<1$$0<x<1 で

を考かんがえる。Green 関数かんすう $$G(x,\xi )$$G(x,\xi) は、$$x=\xi$$x=\xi で傾かたむきが跳とび、境界きょうかいで 0 になる折線せっせんとして構成こうせいされる。解かいは

である。この式しきは、$$x=0,1$$x=0,1 で 0 になり、$$x=\xi$$x=\xi で連続れんぞくであり、傾かたむきの跳とびにより $$-G_{xx}=\delta (x-\xi )$$-G_{xx}=\delta(x-\xi) を表あらわす。右辺みぎへん $$f$$f を点源てんげんの重かさね合あわせと解釈かいしゃくすると、

で表現ひょうげんされる。これは各点かくてん $$\xi$$\xi の点源てんげんへの応答おうとうを重かさね合あわせる式しきである。

Green 関数かんすうの式しきを導出どうしゅつする

$$x\ne \xi$$x\ne \xi では点源てんげんがないため、$$-G_{xx}=0$$-G_{xx}=0 である。したがって $$G$$G は $$x<\xi$$x<\xi と $$x>\xi$$x>\xi の両側りょうがわで一次関数いちじかんすうになる。境界条件きょうかいじょうけん $$G(0,\xi )=G(1,\xi )=0$$G(0,\xi)=G(1,\xi)=0 を満みたすように

と置おく。$$x=\xi$$x=\xi で連続れんぞくであるため

が必要ひつようである。さらに $$-G_{xx}=\delta (x-\xi )$$-G_{xx}=\delta(x-\xi) を $$\xi -\epsilon$$\xi-\varepsilon から $$\xi +\epsilon$$\xi+\varepsilon まで積分せきぶんすると

を得える。ここで $$G_x(\xi -,\xi )=A$$G_x(\xi-,\xi)=A、$$G_x(\xi +,\xi )=-C$$G_x(\xi+,\xi)=-C だから

である。連続条件れんぞくじょうけんと跳躍条件ちょうやくじょうけんを連立れんりつして解とくと

となる。よって

が導出どうしゅつされる。

具体例ぐたいれい: 一定荷重いっていかじゅう

$$f\left(\xi \right)=1$$f(\xi)=1 の場合ばあい、解かいは

である。これは $$-u^{\prime }\text{'}=1$$-u''=1、$$u\left(0\right)=u\left(1\right)=0$$u(0)=u(1)=0 を満みたす。直接積分ちょくせつせきぶんでも同おなじ解かいを得えるが、Green 関数かんすうを使用しようすると任意にんいの右辺みぎへん $$f$$f に対たいして同一どういつの核かくを再利用さいりようできる。

図式ずしきとしての畳たたみ込こみ

全空間ぜんくうかんで平行移動対称性へいこういどうたいしょうせいがある場合ばあい、Green 関数かんすうは $$G(x-\xi )$$G(x-\xi) の形かたちになり、解かいは畳たたみ込こみ $$G*f$$G*f で表現ひょうげんされる。境界きょうかいがある場合ばあいは、$$x$$x と $$\xi$$\xi を別々べつべつに扱あつかう $$G(x,\xi )$$G(x,\xi) が必要ひつようである。この差さが fundamental solution と Green 関数かんすうの実用上じつようじょうの相違そういである。

fundamental solution との相違そうい

基本解きほんかいFundamental solution は全空間ぜんくうかんでの点源応答てんげんおうとうである。Green 関数かんすうは領域りょういきと境界条件きょうかいじょうけんを反映はんえいした点源応答てんげんおうとうである。したがって Green 関数かんすうの方ほうが境界値問題きょうかいちもんだいに適合てきごうする。

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