厳密な説明
1. 1 自由度ではなぜこの形になるか
一般化座標や「なぜ力よりエネルギーから出発するのか」という入口がまだ曖昧なら、ここで先にこちらへ戻ると読みやすくなります。
data/lecture/physics/analytical-mechanics/解析力学の入口-講義.n.md
一番基本の場合として、1 自由度の保存力の問題を考えます。ニュートン力学では
m\ddot q=F
です。ここで力が位置エネルギー U(q) から
F=-\frac{dU}{dq}
と書けるなら
m\ddot q+\frac{dU}{dq}=0
です。
いま
T=\frac12 m\dot q^2,\qquad L=T-U
とすると
\frac{\partial L}{\partial \dot q}=m\dot q
だから
\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q}=m\ddot q
です。また
\frac{\partial L}{\partial q}=-\frac{dU}{dq}
なので、ニュートン方程式は
\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q}-\frac{\partial L}{\partial q}=0
と書き直せます。
つまりラグランジュ方程式は、1 自由度の保存力の問題では、ニュートン方程式を T-U の言葉へ言い換えたものとして現れます。
2. 一般論
一般化座標を q とすると、L(q,\dot q,t) から
\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q}-\frac{\partial L}{\partial q}=0
が得られます。
ここで L=T-U を使うと、\dfrac{\partial L}{\partial \dot q} は運動エネルギーの速度依存を拾い、\dfrac{\partial L}{\partial q} は位置エネルギーの座標依存を拾います。だから「慣性項と力の項を結ぶ式」が自然に現れます。
ここでは 1 自由度で導出しましたが、解析力学の強みは、これを多自由度や拘束条件つきの系へ自然に広げられることです。
ただし、ここでの議論は保存力で記述でき、T と U が一般化座標と一般化速度の関数として書ける場合を前提にしています。したがって、摩擦のような非保存力が主役の問題では、L=T-U だけで全てが済むわけではありません。
3. 質点ばね系
質量 m の物体がばね定数 k のばねにつながれているとします。座標を x とすると、
T=\frac12 m\dot x^2,\qquad U=\frac12 kx^2
なので
L=\frac12 m\dot x^2-\frac12 kx^2
です。
ここで
\frac{\partial L}{\partial \dot x}=m\dot x,\qquad
\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot x}=m\ddot x,\qquad
\frac{\partial L}{\partial x}=-kx
だから、
m\ddot x-(-kx)=0
すなわち
m\ddot x+kx=0
を得ます。
4. 見方
この式は、ニュートン力学で導く
m\ddot x=F=-kx
と同じです。ただし途中では、力を直接書かずに、エネルギーから出発しています。