ビオ・サバールの法則ほうそくの基本きほん

date2026-07-14document_iddoc_cd669a1e4f82959a46d883ff1ca28ef0descriptionビオ・サバールの法則を電流要素が作る磁場の重ね合わせとして定義し、直線電流と円形電流の磁場を証明する講義である。prerequisites磁場と電磁誘導 / アンペールの法則の基本 / ベクトルと内積type講義statusactive

physicselectromagnetismbiot-savart-lawlecture

1導入どうにゅう

この講義こうぎでは、ビオ・サバールの法則ほうそくを「電流でんりゅうを小ちいさい電流要素でんりゅうようそに分わけ、その寄与きよを積分せきぶんする方法ほうほう」として解説かいせつする。

アンペールの法則ほうそくは対称性たいしょうせいが強つよいときに短みじかい。しかし、導線どうせんが有限ゆうげんであったり、円弧えんこであったりすると、閉曲線へいきょくせんの上うえで $B$ を一定いっていとして出だせない。このときは、電流要素でんりゅうようそから磁場じばを積つみ上あげる。

2用語ようごと定義ていぎ

電流要素でんりゅうようそcurrent element $I d \vec{l}$ とは、導線どうせんの微小部分びしょうぶぶん $d \vec{l}$ に電流でんりゅう $I$ が流ながれているものとして扱あつかう量りょうである。

3法則ほうそく：ビオ・サバールの法則ほうそく

電流要素でんりゅうようそ $I d \vec{l}$ から観測点かんそくてんへ向むかう単位たんいベクトルを $\hat{r}$ 、距離きょりを $r$ とすると、

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] d \vec{B} = \frac{μ_{0}}{4 π} \frac{I d \vec{l} \times \hat{r}}{r^{2}}

である。

4方針ほうしん

ビオ・サバールの法則ほうそくでは、向むきと大おおきさを同時どうじに追おう。

導線どうせんを電流要素でんりゅうようそ $I d \vec{l}$ に分わける。
観測点かんそくてんへの方向ほうこう $\hat{r}$ と距離きょり $r$ を書かく。
$d \vec{l} \times \hat{r}$ で向むきを決きめる。
対称性たいしょうせいで消きえる成分せいぶんを落おとす。
残のこった成分せいぶんを積分せきぶんする。

5関係式かんけいしき 1：外積がいせきが磁場じばの向むきを決きめる

ビオ・サバールの法則ほうそくで、 $d \vec{B}$ は $d \vec{l}$ と $\hat{r}$ の両方りょうほうに垂直すいちょくである。

5.1証明しょうめい

外積がいせき $\vec{a} \times \vec{b}$ は、定義ていぎにより $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の両方りょうほうに垂直すいちょくなベクトルである。ビオ・サバールの法則ほうそくでは

d \vec{B} = \frac{μ_{0}}{4 π} \frac{I d \vec{l} \times \hat{r}}{r^{2}}

なので、 $d \vec{B}$ の向むきは $d \vec{l} \times \hat{r}$ の向むきである。したがって $d \vec{B}$ は $d \vec{l}$ と $\hat{r}$ の両方りょうほうに垂直すいちょくである。

6関係式かんけいしき 2：長ながい直線電流ちょくせんでんりゅうの磁場じば

無限むげんに長ながい直線導線ちょくせんどうせんに電流でんりゅう $I$ が流ながれるとき、導線どうせんから距離きょり $a$ の点てんで

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] B = \frac{μ_{0} I}{2 π a}

である。

6.1証明しょうめい

導線どうせんに沿そう座標ざひょうを $x$ とし、観測点かんそくてんから導線どうせんへの最短距離さいたんきょりを $a$ とする。電流要素でんりゅうようそから観測点かんそくてんまでの距離きょりは

r = \sqrt{a^{2} + x^{2}}

である。 $d \vec{l}$ と $\hat{r}$ のなす角かくを $θ$ とすると、

\sin θ = \frac{a}{r}

である。よって大おおきさは

d B = \frac{μ_{0}}{4 π} \frac{I d x \sin θ}{r^{2}} = \frac{μ_{0} I}{4 π} \frac{a d x}{(a^{2} + x^{2})^{3 / 2}}

である。対称性たいしょうせいにより向むきは円周方向えんしゅうほうこうにそろうので、そのまま積分せきぶんできる。

B = \frac{μ_{0} I}{4 π} \int_{- \infty}^{\infty} \frac{a d x}{(a^{2} + x^{2})^{3 / 2}}

ここで

\int_{- \infty}^{\infty} \frac{a d x}{(a^{2} + x^{2})^{3 / 2}} = \frac{2}{a}

であるから、

B = \frac{μ_{0} I}{4 π} \frac{2}{a} = \frac{μ_{0} I}{2 π a}

を得える。これはアンペールの法則ほうそくで得えた結果けっかと一致いっちする。

7関係式かんけいしき 3：円形電流えんけいでんりゅうの中心ちゅうしんの磁場じば

半径はんけい $R$ の円形導線えんけいどうせんに電流でんりゅう $I$ が流ながれるとき、中心ちゅうしんの磁場じばは

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] B = \frac{μ_{0} I}{2 R}

である。

7.1証明しょうめい

円周上えんしゅうじょうの各かく電流要素でんりゅうようそから中心ちゅうしんまでの距離きょりは常つねに $R$ である。また $d \vec{l}$ は半径方向はんけいほうこうに垂直すいちょくなので、 $\sin θ = 1$ である。

したがって

d B = \frac{μ_{0}}{4 π} \frac{I d l}{R^{2}}

である。右みぎねじの法則ほうそくにより、すべての $d \vec{B}$ は中心ちゅうしんで同おなじ軸方向じくほうこうを向むく。よって大おおきさを足たせばよい。

B = \int d B = \frac{μ_{0} I}{4 π R^{2}} \int d l = \frac{μ_{0} I}{4 π R^{2}} (2 π R) = \frac{μ_{0} I}{2 R}

を得える。

8どこまで成立せいりつするか

ビオ・サバールの法則ほうそくは、ここでは定常電流ていじょうでんりゅうが作つくる静磁場せいじばを求もとめる道具どうぐとして使つかう。電流でんりゅうや電場でんばが時間変化じかんへんかする場合ばあいは、マクスウェル方程式ほうていしきとして扱あつかうのが基本きほんである。

9見分みわけ方かた

導線どうせんの形かたちが与あたえられているならビオ・サバールを考かんがえる。
電流要素でんりゅうようその寄与きよを積分せきぶんできるなら有効ゆうこうである。
対称性たいしょうせいだけで $B$ を外そとへ出だせるならアンペールのほうが短みじかい。

10最終形さいしゅうけい

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] d \vec{B} = \frac{μ_{0}}{4 π} \frac{I d \vec{l} \times \hat{r}}{r^{2}}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] B_{w i r e} = \frac{μ_{0} I}{2 π a}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] B_{c i r c l e} = \frac{μ_{0} I}{2 R}

11一言ひとこと

ビオ・サバールの法則ほうそくは、磁場じばを一気いっきに出だす公式こうしきではなく、電流要素でんりゅうようその寄与きよを足たし上あげる原理げんりである。