万有引力ばんゆういんりょくと惑星運動わくせいうんどう

導入どうにゅう

この講義こうぎの核心かくしんは、地上ちじょうの落下らっかと天体てんたいの運動うんどうを別々べつべつの現象げんしょうとしてではなく、同おなじ中心力ちゅうしんりょくの問題もんだいとして読よむことである。地表ちひょうでの $mg$mg と宇宙うちゅうでの $G\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("dfrac")")]}Mm{r}^2$G\dfrac{Mm}{r^2} は別べつの法則ほうそくではない。地表付近ちひょうふきんでは $r$r がほとんど変化へんかしないため $g$g を一定いっていとみなしているだけであり、本体ほんたいは常つねに逆二乗則ぎゃくにじょうそくである。

このページで解とけるようになること

• 万有引力ばんゆういんりょくと重力加速度じゅうりょくかそくどの関係かんけいを説明せつめいする
• 円軌道えんきどうの速度そくどと周期しゅうきを求もとめる
• 第一宇宙速度だいいちうちゅうそくどと第二宇宙速度だいにうちゅうそくどの意味いみを区別くべつする
• エネルギーの符号ふごうから束縛軌道そくばくきどうと脱出軌道だっしゅつきどうを判別はんべつする
• ケプラーの法則ほうそくを角運動量保存かくうんどうりょうほぞん・中心力ちゅうしんりょくと結むすびつける

方針ほうしん

このページは 3 本柱ぼんばしらで読よむ。

1. 万有引力ばんゆういんりょくそのものの法則ほうそく
2. 円軌道えんきどう・宇宙速度うちゅうそくど・エネルギー
3. ケプラーの法則ほうそくと惑星運動わくせいうんどう

軌道きどうの速度そくどや周期しゅうきは「向心力こうしんりょく = 万有引力ばんゆういんりょく」で求もとめる。束縛そくばくか脱出だっしゅつかはエネルギーの符号ふごうで判別はんべつする。面積速度めんせきそくど一定いっていは角運動量保存かくうんどうりょうほぞんとして解釈かいしゃくする。

適用条件てきようじょうけん

• 質点しつてんまたは球対称きゅうたいしょうな質量分布しつりょうぶんぷとして近似きんじできること
• 地表付近ちひょうふきんで $g$g を一定いっていとみなす近似きんじと、一般いっぱんの逆二乗則ぎゃくにじょうそくを混同こんどうしないこと
• 第一宇宙速度だいいちうちゅうそくど・第二宇宙速度だいにうちゅうそくどという呼称こしょうは地球ちきゅうに対たいする名称めいしょうであり、一般いっぱんの中心天体ちゅうしんてんたいでは「円軌道速度えんきどうそくど」「脱出速度だっしゅつそくど」と解釈かいしゃくするのが自然しぜんである

用語ようごと定義ていぎ

直感的ちょっかんてきな説明せつめい

月つきが落おち続つづけているのに地球ちきゅうへ落おちないのは、横向よこむきの速はやさをもつからである。軌道運動きどううんどうは「落下らっかしながら地球ちきゅうを外はずし続つづける」運動うんどうである。地表ちひょうでの落下らっかはまっすぐ見みえるが、それは短みじかい時間じかんでは地球ちきゅうの曲率きょくりつが無視むしできるからにすぎない。

厳密げんみつな説明せつめい

見分みわけ方かた

• 天体てんたい・人工衛星じんこうえいせい・惑星わくせい・脱出速度だっしゅつそくど → 万有引力ばんゆういんりょくと円運動えんうんどうの結合けつごうを立式りっしきする
• 速はやさ・周期しゅうきを求もとめる → ルート 2, 3（向心力こうしんりょく = 万有引力ばんゆういんりょく）
• 軌道きどうの種類しゅるい（束縛そくばく/脱出だっしゅつ）を判別はんべつ → ルート 4（$E$E の符号ふごう）
• $T^2\propto r^3$T^2 \propto r^3 を使つかう → ケプラーの第だい 3 法則ほうそく（ルート 3）

円軌道速度えんきどうそくどと脱出速度だっしゅつそくどの違ちがい

同おなじ距離きょり $r$r でも、円軌道えんきどうを保たもつ速はやさと、無限遠むげんえんまで逃にげる速はやさは別べつである。

円軌道えんきどうでは、万有引力ばんゆういんりょくが向心力こうしんりょくを担になうので

$\frac{m{v}^2}{r}=\frac{GMm}{r^2}$\frac{mv^2}{r}=\frac{GMm}{r^2}

より

$v_{\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{c}}=\sqrt{\frac{GM}{r}}$v_{\mathrm{circ}}=\sqrt{\frac{GM}{r}}

である。脱出速度だっしゅつそくどは、力学的りきがくてきエネルギーが 0 になる境界きょうかいとして

$v_{\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{c}}=\sqrt{\frac{2GM}{r}}$v_{\mathrm{esc}}=\sqrt{\frac{2GM}{r}}

である。したがって

$v_{\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{c}}=\sqrt{2}{v}_{\mathrm{c}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{c}}$v_{\mathrm{esc}}=\sqrt{2}v_{\mathrm{circ}}

となる。円軌道速度えんきどうそくどは「その半径はんけいで回まわり続つづける速はやさ」、脱出速度だっしゅつそくどは「束縛そくばくを離はなれる最小さいしょうの速はやさ」である。

地表近似ちひょうきんじと万有引力ばんゆういんりょくの切きり替かえ

地表付近ちひょうふきんでは、重力加速度じゅうりょくかそくどを一定いっていの $g$g とみなしてよい。この近似きんじでは

$U=mgh$U=mgh

を使つかう。一方いっぽう、高度こうどが地球半径ちきゅうはんけいに比くらべて無視むしできないときや、人工衛星じんこうえいせい・惑星運動わくせいうんどうを扱あつかうときは

$U=-\frac{GMm}{r}$U=-\frac{GMm}{r}

へ切きり替かえる。基準きじゅんも変かわる。$mgh$mgh は地表ちひょうを基準きじゅんにした近似式きんじしきであり、$-GMm/r$-GMm/r は無限遠むげんえんを 0 とする式しきである。

追加例ついかれい: 円軌道えんきどうの周期しゅうき

質量しつりょう $M$M の天体てんたいのまわりを、半径はんけい $r$r の円軌道えんきどうで質量しつりょう $m$m の物体ぶったいが回まわるとする。万有引力ばんゆういんりょくが向心力こうしんりょくを担になうので

$\frac{m{v}^2}{r}=\frac{GMm}{r^2}$\frac{mv^2}{r}=\frac{GMm}{r^2}

であり、$v=r\omega =\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("dfrac")")]}2\pi rT$v=r\omega=\dfrac{2\pi r}{T} を代入だいにゅうすると

$\frac{4{\pi }^{2}r}{T^2}=\frac{GM}{r^2}$\frac{4\pi^2r}{T^2}=\frac{GM}{r^2}

したがって

を得える。これは円軌道えんきどうでのケプラーの第だい 3 法則ほうそくであり、中心天体ちゅうしんてんたいの質量しつりょう $M$M が大おおきいほど、同おなじ半径はんけいでの周期しゅうきは短みじかくなる。

有効ゆうこうポテンシャルの見方みかた

角運動量かくうんどうりょう $L$L が保存ほぞんする中心力ちゅうしんりょくの運動うんどうでは、半径方向はんけいほうこうの運動うんどうを 1 次元じげんの運動うんどうのように見みられる。

$E=\frac{1}{2}m\dot{r^2}+\frac{L^2}{2m{r}^2}-\frac{GMm}{r}$E=\frac{1}{2} m\dot{r}^2+\frac{L^2}{2mr^2}-\frac{GMm}{r}

ここで

$U_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}\left(r\right)=\frac{L^2}{2m{r}^2}-\frac{GMm}{r}$U_{\mathrm{eff}}(r)=\frac{L^2}{2mr^2}-\frac{GMm}{r}

を有効ゆうこうポテンシャルという。第だい 1 項こうは角運動量かくうんどうりょうを保たもったまま中心ちゅうしんへ近ちかづくことへの抵抗ていこうを表あらわし、第だい 2 項こうは万有引力ばんゆういんりょくの引ひき込こみを表あらわす。円軌道えんきどうは、この $U_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}$U_{\mathrm{eff}} の谷たにの位置いちに対応たいおうする。

無重力むじゅうりょくに見みえる理由りゆう

人工衛星じんこうえいせいの中なかで無重力むじゅうりょくに見みえるのは、重力じゅうりょくが 0 だからではない。人工衛星じんこうえいせいも中なかの人ひとも、地球ちきゅうの重力じゅうりょくを受うけながら同おなじ加速度かそくどで落下らっかし続つづけているため、床ゆかからの垂直抗力すいちょくこうりょくがほとんど必要ひつようなくなる。

円軌道えんきどうは「落おちていない運動うんどう」ではなく、地球ちきゅうへ落おち続つづけながら、水平すいへいの速はやさが大おおきいため地表ちひょうに当あたらない運動うんどうである。この見方みかたは、向心加速度こうしんかそくどを重力じゅうりょくが担になうという円軌道えんきどうの式しきと同おなじ内容ないようである。

楕円軌道だえんきどうでの速はやさの変化へんか

惑星わくせいが太陽たいように近ちかいところで速はやく、遠とおいところで遅おそく動うごくのは、角運動量かくうんどうりょうが保存ほぞんするからである。中心力ちゅうしんりょくでは外力がいりょくのモーメントが 0 なので

$L=m{r}^2\dot{\theta }$L=mr^2\dot{\theta}

が一定いっていである。$r$r が小ちいさくなると、$\dot{\theta }$\dot{\theta} は大おおきくなる。面積速度めんせきそくどが一定いっていというケプラーの第だい 2 法則ほうそくは、この角運動量保存かくうんどうりょうほぞんの別表現べつひょうげんである。

どこまで成なり立たつか

円軌道版えんきどうばんの $T^2=\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("dfrac")")]}4{\pi }^{2}GM{r}^3$T^2 = \dfrac{4\pi^2}{GM}r^3 は厳密げんみつには円軌道えんきどうにのみ成立せいりつする。楕円軌道だえんきどうでは $r$r を長半径ちょうはんけい $a$a で置換ちかんしても同おなじ式しきが成立せいりつするが、その導出どうしゅつには楕円だえんの軌道きどう方程式ほうていしきが必要ひつようである。$U=mgh$U = mgh と $U=-GMm/r$U = -GMm/r は同おなじ重力じゅうりょくの位置いちエネルギーの異ことなる近似きんじレベルである。地表付近ちひょうふきんでは $\mathrm{\Delta }U\approx mg\mathrm{\Delta }h$\Delta U \approx mg\Delta h（両者りょうしゃは一致いっちする）。

よくある誤あやまり

• 地表付近ちひょうふきんの $g=\text{const}$g=\text{const} をそのまま軌道問題きどうもんだいへ持もち込こむ
• 第一宇宙速度だいいちうちゅうそくどと脱出速度だっしゅつそくどを同おなじものだと思おもう
• 束縛軌道そくばくきどうかどうかの判定はんていで、エネルギーの符号ふごうを確認かくにんしない
• 向心力こうしんりょくを別種べっしゅの力ちからと考かんがえ、万有引力ばんゆういんりょくと二重計上にじゅうけいじょうする

最終形さいしゅうけい

円軌道えんきどうの速度そくどは次つぎの形かたちである。

脱出速度だっしゅつそくどは次つぎの形かたちである。

一言ひとことでいうと

万有引力ばんゆういんりょくは地上ちじょうの落下らっかと天体てんたいの運動うんどうを中心力ちゅうしんりょくとして統一とういつし、エネルギーの符号ふごうで束縛そくばくか脱出だっしゅつかを判別はんべつできる。

関連かんれんリンク

文字式もじしきの単位たんい

万有引力ばんゆういんりょくの式しき

$F=G\frac{Mm}{r^2}$F=G\frac{Mm}{r^2}

では、$F[\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$F\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}]、$G[\mathrm{N}{m}^2/\mathrm{k}{g}^2;M^{-1}{L}^3{T}^{-2}]$G\ [\mathrm{N\,m^2/kg^2};\ \mathsf{M^{-1}L^3T^{-2}}]、$M[\mathrm{k}\mathrm{g};\mathsf{M}]$M\ [\mathrm{kg};\ \mathsf{M}]、$m[\mathrm{k}\mathrm{g};\mathsf{M}]$m\ [\mathrm{kg};\ \mathsf{M}]、$r[\mathrm{m};\mathsf{L}]$r\ [\mathrm{m};\ \mathsf{L}] である。$G$G の単位たんいは、右辺うへんが力ちから $\mathrm{N}$\mathrm{N} になるように決きまっている。

万有引力ばんゆういんりょくによる位置いちエネルギー $U=-GMm/r[\mathrm{J};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$U=-GMm/r\ [\mathrm{J};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}] では、$GMm/r[\mathrm{J};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$GMm/r\ [\mathrm{J};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}] になる。円軌道えんきどうの速はやさ $v=\sqrt{GM/r}[\mathrm{m}/\mathrm{s};\mathsf{L}{T}^{-1}]$v=\sqrt{GM/r}\ [\mathrm{m/s};\ \mathsf{LT^{-1}}] では、$GM/r[m^2/s^2;L^2{T}^{-2}]$GM/r\ [\mathrm{m^2/s^2};\ \mathsf{L^2T^{-2}}] になり、その平方根へいほうこんが $\mathrm{m}/\mathrm{s}$\mathrm{m/s} になる。

近似きんじを切きり替かえる基準きじゅん

地表付近ちひょうふきんでは、重力加速度じゅうりょくかそくど $g[\mathrm{m}/s^2;\mathsf{L}{T}^{-2}]$g\ [\mathrm{m/s^2};\ \mathsf{LT^{-2}}] を一定いっていとして扱あつかう。しかし高度こうど $h[\mathrm{m};\mathsf{L}]$h\ [\mathrm{m};\ \mathsf{L}] が地球半径ちきゅうはんけい $R[\mathrm{m};\mathsf{L}]$R\ [\mathrm{m};\ \mathsf{L}] に比くらべて無視むしできなくなると、$g$g を一定いっていとする近似きんじは崩くずれる。そのときは、中心ちゅうしんからの距離きょり $r[\mathrm{m};\mathsf{L}]$r\ [\mathrm{m};\ \mathsf{L}] を使つかって $F=GMm/r^2[\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$F=GMm/r^2\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}] を使つかう。

近似きんじは正確せいかくさを捨すてる操作そうさではなく、支配的しはいてきな量りょうだけを残のこす操作そうさである。問題文もんだいぶんが高度こうどや半径はんけいを明示めいじしているときは、$r[\mathrm{m};\mathsf{L}]$r\ [\mathrm{m};\ \mathsf{L}] を変数へんすうとして扱あつかう必要ひつようがあるかを確認かくにんする。

軌道きどうの極限きょくげんで式しきを読よむ

万有引力ばんゆういんりょくの位置いちエネルギーは、無限遠むげんえんで 0 と置おく約束やくそくを使つかう。

$r[\mathrm{m};\mathsf{L}]\to \mathrm{\infty }$r\ [\mathrm{m};\ \mathsf{L}]\to\infty で $U\to 0[\mathrm{J};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$U\to 0\ [\mathrm{J};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}]、$r[\mathrm{m};\mathsf{L}]$r\ [\mathrm{m};\ \mathsf{L}] が小ちいさくなるほど $U[\mathrm{J};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$U\ [\mathrm{J};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}] は負ふに大おおきくなる。全ぜんエネルギー $E[\mathrm{J};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$E\ [\mathrm{J};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}] が負ふなら束縛軌道そくばくきどう、0 なら放物線軌道ほうぶつせんきどう、正せいなら双曲線軌道そうきょくせんきどうと読よむ。

万有引力ばんゆういんりょくでは、距離きょり $r[\mathrm{m};\mathsf{L}]$r\ [\mathrm{m};\ \mathsf{L}] を大おおきくしたときに力ちからや位置いちエネルギーがどう変かわるかを見みると、式しきの意味いみが分わかる。力ちから $F=GMm/r^2[\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$F=GMm/r^2\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}] は、$r[\mathrm{m};\mathsf{L}]$r\ [\mathrm{m};\ \mathsf{L}] が 2 倍ばいになると 1/4 になる。遠とおく離はなれるほど引力いんりょくが急きゅうに弱よわくなる。

位置いちエネルギー $U=-GMm/r[\mathrm{J};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$U=-GMm/r\ [\mathrm{J};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}] は、$r[\mathrm{m};\mathsf{L}]$r\ [\mathrm{m};\ \mathsf{L}] を無限大むげんだいにすると $0[\mathrm{J};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$0\ [\mathrm{J};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}] に近ちかづく。負ふの値あたいをもつのは、無限遠むげんえんへ運はこび出だすために外部がいぶから仕事しごとを加くわえる必要ひつようがあることを表あらわす。

円軌道えんきどうの速はやさと半径はんけい

中心天体ちゅうしんてんたいの質量しつりょう $M[\mathrm{k}\mathrm{g};\mathsf{M}]$M\ [\mathrm{kg};\ \mathsf{M}] が一定いっていなら、円軌道えんきどうの速はやさ $v[\mathrm{m}/\mathrm{s};\mathsf{L}{T}^{-1}]$v\ [\mathrm{m/s};\ \mathsf{LT^{-1}}] は

$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}

で与あたえられる。半径はんけい $r[\mathrm{m};\mathsf{L}]$r\ [\mathrm{m};\ \mathsf{L}] が大おおきいほど、円軌道えんきどうを保たもつために必要ひつような速はやさは小ちいさい。低軌道ていきどうの人工衛星じんこうえいせいほど速はやく動うごく、という事実じじつはこの式しきから読よめる。

主要文字式しゅようもじしきの単位たんい確認かくにん

万有引力ばんゆういんりょくでは、質量しつりょう $M[\mathrm{k}\mathrm{g};\mathsf{M}]$M\ [\mathrm{kg};\ \mathsf{M}]、$m[\mathrm{k}\mathrm{g};\mathsf{M}]$m\ [\mathrm{kg};\ \mathsf{M}]、中心間距離ちゅうしんかんきょり $r[\mathrm{m};\mathsf{L}]$r\ [\mathrm{m};\ \mathsf{L}]、万有引力定数ばんゆういんりょくていすう $G[\mathrm{N}{m}^2/\mathrm{k}{g}^2;M^{-1}{L}^3{T}^{-2}]$G\ [\mathrm{N\,m^2/kg^2};\ \mathsf{M^{-1}L^3T^{-2}}] を使つかう。$GMm/r^2[\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$GMm/r^2\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}] は力ちからの単位たんいになる。

位置いちエネルギー $U[\mathrm{J};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$U\ [\mathrm{J};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}] は $GMm/r[\mathrm{J};\mathsf{M}{L}^2{T}^{-2}]$GMm/r\ [\mathrm{J};\ \mathsf{ML^2T^{-2}}] の大おおきさをもつ。円軌道速度えんきどうそくど $v[\mathrm{m}/\mathrm{s};\mathsf{L}{T}^{-1}]$v\ [\mathrm{m/s};\ \mathsf{LT^{-1}}] では、$GM/r[m^2/s^2;L^2{T}^{-2}]$GM/r\ [\mathrm{m^2/s^2};\ \mathsf{L^2T^{-2}}] の平方根へいほうこんが $\left[\mathrm{m}/\mathrm{s}\right]$[\mathrm{m/s}] になる。周期しゅうき $T[\mathrm{s};\mathsf{T}]$T\ [\mathrm{s};\ \mathsf{T}] を扱あつかうときも、最後さいごに時間じかんの単位たんいになっているかを確認かくにんする。

数式内すうしきないでの単位たんい明示めいじ

万有引力ばんゆういんりょくは
$F=G\times \frac{M\times m}{r^2}$F = G \times \frac{M \times m}{r^2}
である。円軌道速度えんきどうそくどと位置いちエネルギーも、式しきの中なかで単位たんいを読よむ。

$v=\sqrt{\frac{GM}{r}},U=-\frac{GMm}{r}$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}, \qquad U = -\frac{GMm}{r}

重力じゅうりょくを $mg$mg で扱あつかうか $GMm/r^2$GMm/r^2 で扱あつかうか

地表付近ちひょうふきんでは、地球ちきゅうの半径はんけいに比くらべて高たかさの変化へんかが小ちいさいため、重力じゅうりょくを $mg[\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$mg\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}] と置おいてよい。これは本来ほんらいの万有引力ばんゆういんりょく

$F=G\frac{Mm}{r^2}$F=G\frac{Mm}{r^2}

で $r[\mathrm{m};\mathsf{L}]$r\ [\mathrm{m};\ \mathsf{L}] をほぼ一定いっていと見みた近似きんじである。このとき

$g=G\frac{M}{r^2}$g=G\frac{M}{r^2}

と読よめるので、$mg[\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$mg\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}] と $GMm/r^2[\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$GMm/r^2\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}] は別べつの力ちからではなく、同おなじ重力じゅうりょくを近似きんじの粗あらさを変かえて書かいたものである。

地表付近ちひょうふきんの落下らっかでは、重力じゅうりょくを $mg[\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$mg\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}] と書かくことが多おおい。ここで、$m[\mathrm{k}\mathrm{g};\mathsf{M}]$m\ [\mathrm{kg};\ \mathsf{M}] は物体ぶったいの質量しつりょう、$g[\mathrm{m}/s^2;\mathsf{L}{T}^{-2}]$g\ [\mathrm{m/s^2};\ \mathsf{LT^{-2}}] は地表付近ちひょうふきんでほぼ一定いっていとみなした重力加速度じゅうりょくかそくどである。

一方いっぽう、人工衛星じんこうえいせいや惑星運動わくせいうんどうでは、中心ちゅうしんからの距離きょり $r[\mathrm{m};\mathsf{L}]$r\ [\mathrm{m};\ \mathsf{L}] が変かわるため、万有引力ばんゆういんりょくを $GMm/r^2[\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$GMm/r^2\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}] として扱あつかう。ここで、$G[\mathrm{N}{m}^2/\mathrm{k}{g}^2;M^{-1}{L}^3{T}^{-2}]$G\ [\mathrm{N\,m^2/kg^2};\ \mathsf{M^{-1}L^3T^{-2}}]、$M[\mathrm{k}\mathrm{g};\mathsf{M}]$M\ [\mathrm{kg};\ \mathsf{M}]、$m[\mathrm{k}\mathrm{g};\mathsf{M}]$m\ [\mathrm{kg};\ \mathsf{M}] である。

切きり替かえの目安めやすは、高たかさや軌道半径きどうはんけいが地球半径ちきゅうはんけいに比くらべて無視むしできるかである。問題文もんだいぶんに地球半径ちきゅうはんけい、高度こうど、中心ちゅうしんからの距離きょりが与あたえられているなら、$r[\mathrm{m};\mathsf{L}]$r\ [\mathrm{m};\ \mathsf{L}] を使つかう可能性かのうせいを考かんがえる。