束縛条件そくばくじょうけん

導入どうにゅう

この講義こうぎの核心かくしんは、束縛条件そくばくじょうけんは力ちからの法則ほうそくではなく、座標ざひょうどうしの関係式かんけいしきであり、運動方程式うんどうほうていしきを連結れんけつする補助方程式ほじょほうていしきになるという点てんにある。伸のびない糸いとや滑車かっしゃ、すべりなし転ころがりでは、各物体かくぶったいの加速度かそくどを独立どくりつに置おけない。まず幾何学的きかがくてきに「長ながさが一定いってい」「接触点せっしょくてんがすべらない」といった関係式かんけいしきを書かき、それを時間じかんで微分びぶんして速度条件そくどじょうけん・加速度条件かそくどじょうけんを得える。

このページの位置いちづけ

このページは高校こうこう本線ほんせんにも現あらわれるが、自由度じゆうどまで含ふくめると大学初年級だいがくしょねんきゅうへの橋はし渡わたしになる。本線ほんせんでは定滑車じょうかっしゃ、動滑車どうかっしゃ、すべりなし転ころがりを確実かくじつに扱あつかえればよい。

このページで解とけるようになること

• 伸のびない糸いとから座標関係式ざひょうかんけいしきを立たてる
• 幾何学条件きかがくじょうけんを微分びぶんして速度条件そくどじょうけん・加速度条件かそくどじょうけんへ移うつる
• すべりなし転ころがりで $v_{\mathrm{c}\mathrm{m}}=R\omega$v_{\mathrm{cm}}=R\omega、$a_{\mathrm{c}\mathrm{m}}=R\alpha$a_{\mathrm{cm}}=R\alpha を使つかう
• 力学りきがくの式しきと束縛条件そくばくじょうけんを連立れんりつする

方針ほうしん

このページの解法かいほうは必かならず

1. 自由度じゆうどを数かぞえる
2. 幾何学的きかがくてきな関係式かんけいしきを書かく
3. 時間じかんで微分びぶんして速度条件そくどじょうけんを得える
4. 必要ひつようならさらに微分びぶんして加速度条件かそくどじょうけんを得える
5. 運動方程式うんどうほうていしきと連立れんりつする

の順じゅんで進すすめる。

適用条件てきようじょうけん

• 糸いとは軽かるく伸のびない、滑車かっしゃは理想的りそうてきとするのが本線ほんせん
• すべりなし転ころがりでは静止摩擦せいしまさつが成立せいりつし、接触点せっしょくてんの相対速度そうたいそくどが 0 である
• 拘束こうそくが途中とちゅうで外はずれる場合ばあいは条件じょうけんを更新こうしんする

用語ようごと定義ていぎ

束縛そくばくの種類しゅるい

見方みかたの整理せいり

1. 各物体かくぶったいの自由体図じゆうたいずを描えがく
2. 各物体かくぶったいに別々べつべつに運動方程式うんどうほうていしきを立式りっしきする（未知みちの加速度かそくど・張力ちょうりょくを別々べつべつの変数へんすうで置おく）
3. 束縛条件そくばくじょうけんを補助ほじょ方程式ほうていしきとして加くわえる
4. 連立れんりつして解とく

長ながさ一定いっていの式しきの作つくり方かた

滑車かっしゃや糸いとの問題もんだいでは、いきなり $a_1=a_2$a_1=a_2 と置おくのではなく、まず変かわる長ながさだけを足たす。

1. 固定こていされた部分ぶぶんの長ながさは ${\ell }_0$\ell_0 などの定数ていすうにまとめる
2. 動うごく部分ぶぶんの長ながさを $x_1,x_2,\dots$x_1,x_2,\ldots と置おく
3. 全長ぜんちょうを $L$L として $x_1+x_2+\cdots +{\ell }_0=L$x_1+x_2+\cdots+\ell_0=L を書かく
4. 時間じかんで 1 回かい微分びぶんして速度条件そくどじょうけん、2 回かい微分びぶんして加速度条件かそくどじょうけんを得える

この手順てじゅんを踏ふむと、動滑車どうかっしゃや複合滑車ふくごうかっしゃでも加速度かそくどの比ひを暗記あんきせずに決きめられる。

具体例ぐたいれい：定滑車じょうかっしゃでつながれた2物体にぶったい

質量しつりょう $M$M の物体ぶったい A が水平すいへい面上めんうえ、質量しつりょう $m$m の物体ぶったい B がぶら下さがる。定滑車じょうかっしゃで糸いとがつながれている。摩擦まさつなし。物体ぶったい A の運動方程式うんどうほうていしき（水平すいへい）：

$M{a}_A=T$Ma_A = T

物体ぶったい B の運動方程式うんどうほうていしき（鉛直えんちょく）：

$m{a}_B=mg-T$ma_B = mg - T

束縛条件そくばくじょうけん（定滑車じょうかっしゃ、伸のびない糸いと）：

$a_A=a_B=a$a_A = a_B = a

連立れんりつして $T$T を消去しょうきょすると：

$a=\frac{mg}{M+m},T=\frac{Mmg}{M+m}$a = \frac{mg}{M + m}, \quad T = \frac{Mmg}{M + m}

具体例ぐたいれい：転ころがる円板えんばん

質量しつりょう $M$M、半径はんけい $R$R、$I=\frac{1}{2}M{R}^2$I = \frac{1}{2}MR^2 の円板えんばんが水平すいへい面めん上うえですべりなしで転ころがるとき、中心ちゅうしんに水平すいへいな外力がいりょく $F$F が作用さようする場合ばあいを考かんがえる。並進へいしんの運動方程式うんどうほうていしき：$Ma=F-f$Ma = F - f（$f$f：静止摩擦力せいしまさつりょく）回転かいてんの運動方程式うんどうほうていしき：$I\alpha =fR$I\alpha = fR

束縛条件そくばくじょうけん：$a=R\alpha$a = R\alpha

連立れんりつすると $f=\frac{F}{3}$f = \frac{F}{3}（左向ひだりむき）、$a=\frac{2F}{3M}$a = \frac{2F}{3M}。

発展はってん：自由度じゆうどの見方みかた

$n$n 個この質点しつてんに $k$k 本ほんの独立どくりつな束縛そくばくがあるとき、

$N_{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{f}}=3n-k$N_{\mathrm{dof}}=3n-k

である。ここで $N_{\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{f}}$N_{\mathrm{dof}} は自由度じゆうどである。高校こうこう本線ほんせんでは、この抽象化ちゅうしょうかを深入ふかいりするより、「束縛条件そくばくじょうけんが独立変数どくりつへんすうを減へらす」と理解りかいするとよい。

見分みわけ方かた

• 複数ふくすう物体ぶったいが接続せつぞくされている → 束縛条件そくばくじょうけんで加速度かそくどを関連かんれん付づける
• 転ころがる物体ぶったいが出でる → $v=r\omega$v = r\omega の条件じょうけんを追加ついかする
• 動滑車どうかっしゃが出でる → 幾何学的きかがくてきに糸いとの長ながさを追跡ついせきして加速度かそくどの比ひを求もとめる
• 物体ぶったいが面めんから離はなれるかどうか → $N=0$N = 0 の時点じてんを計算けいさんする

追加例ついかれい: 面めんから離はなれる条件じょうけん

物体ぶったいが曲面きょくめんに沿そって動うごくとき、面めんに押おしつけられている間あいだは垂直抗力すいちょくこうりょく $N$N が存在そんざいする。面めんは物体ぶったいを押おすことはできるが、引ひくことはできない。したがって

$N=0$N=0

が接触せっしょくを失うしなう境界条件きょうかいじょうけんである。$N<0$N<0 という計算結果けいさんけっかが出でたなら、実際じっさいにはその前まえに面めんから離はなれており、束縛条件そくばくじょうけんを更新こうしんしなければならない。

円軌道えんきどうや曲面きょくめんの問題もんだいでは、法線方向ほうせんほうこうの運動方程式うんどうほうていしきを立たてて $N$N を求もとめ、$N=0$N=0 を代入だいにゅうして離はなれる位置いちや速はやさを決きめる。

どこまで成なり立たつか

束縛条件そくばくじょうけんは理想化りそうか（糸いとは伸のびない・質量しつりょうなし、面めんは変形へんけいしない）を前提ぜんていとする。糸いとの弾性だんせい・滑車かっしゃの質量しつりょう・面めんの変形へんけいを考慮こうりょする場合ばあいは補正ほせいが必要ひつようになる。非全拘束ひぜんこうそく（不等式ふとうしきで与あたえられる束縛そくばく）では、どの段階だんかいで束縛そくばくが有効ゆうこうかを別途べっと判定はんていする（例れい：面めんから離はなれる瞬間しゅんかん）。

よくある誤あやまり

• 幾何学条件きかがくじょうけんを書かかず、いきなり加速度かそくどを等ひとしいと置おく
• 速度条件そくどじょうけんは使つかうが、加速度条件かそくどじょうけんへ微分びぶんしない
• すべりなしを「接触点せっしょくてんが静止せいし」とだけ丸暗記まるあんきして意味いみを確認かくにんしない
• 糸いとの長ながさ一定いっていなのに、どの部分ぶぶんの和わが一定いっていかを書かかない

最終形さいしゅうけい

伸のびない糸いとと定滑車じょうかっしゃでは、向むきを各自かくじに定さだめたうえで加速度かそくどの大おおきさを等ひとしく置おく。

これはすべりなし転ころがりの条件じょうけんである。

$k$k 本ほんの独立どくりつな束縛条件そくばくじょうけんは、自由度じゆうどを $k$k だけ減へらす。

自由度じゆうどを数かぞえる例れい

平面へいめんを動うごく 2 質点しつてんは、本来ほんらい $x_1,y_1,x_2,y_2$x_1,y_1,x_2,y_2 の 4 自由度じゆうどをもつ。2 質点しつてんの距離きょりが長ながさ $\ell$\ell の棒ぼうで固定こていされているなら

$(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2={\ell }^2$(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2=\ell^2

という 1 本ほんの束縛条件そくばくじょうけんがある。したがって自由度じゆうどは

$4-1=3$4-1=3

である。この 3 自由度じゆうどは、たとえば重心じゅうしんの 2 座標ざひょうと、棒ぼうの向むきを表あらわす 1 角度かくどとして解釈かいしゃくできる。

独立どくりつでない束縛そくばくに注意ちゅうい

束縛条件そくばくじょうけんを数かぞえるときは、式しきの本数ほんすうではなく独立どくりつな情報じょうほうの数かずを数かぞえる。たとえば

$x_1+x_2=\ell$x_1+x_2=\ell

を時間じかんで微分びぶんすると

$v_1+v_2=0$v_1+v_2=0

さらに微分びぶんして

$a_1+a_2=0$a_1+a_2=0

が得えられるが、これは同おなじ長ながさ一定いっていの条件じょうけんを位置いち、速度そくど、加速度かそくどで見みただけである。未知数みちすうを減へらす独立条件どくりつじょうけんとしては 1 本ぽんと数かぞえる。

束縛条件そくばくじょうけんの本数ほんすうを数かぞえるときは、式しきの数かずではなく、独立どくりつな条件じょうけんの数かずを数かぞえる。同おなじ内容ないようを別べつの形かたちで書かいた式しきを 2 本ほんとして数かぞえてはいけない。

たとえば $x_1-x_2=\ell$x_1-x_2=\ell と $x_2-x_1=-\ell$x_2-x_1=-\ell は同おなじ条件じょうけんであり、独立どくりつな束縛そくばくは 1 本ほんだけである。自由度じゆうどを数かぞえるときは、片方かたほうだけを使つかう。

一言ひとことでいうと

束縛条件そくばくじょうけんは各物体かくぶったいの運動方程式うんどうほうていしきを独立どくりつに立たてたあと、未知みちの加速度かそくどを結むすぶ補助ほじょ方程式ほうていしきである—幾何きかから決きまり、力ちからの大おおきさには依存いぞんしない。

関連かんれんリンク

束縛条件そくばくじょうけんは変位へんいから作つくる

糸いとや面めんによる束縛そくばくでは、いきなり加速度かそくどの関係かんけいを書かくより、まず長ながさや接触せっしょくの条件じょうけんを変位へんいで書かくほうが安全あんぜんである。たとえば糸いとの全長ぜんちょうが一定いっていなら、動うごく部分ぶぶんの長ながさの和わが一定いっていになる。

変位へんいの式しきを時間じかんで 1 回かい微分びぶんすれば速度そくどの関係かんけい、2 回かい微分びぶんすれば加速度かそくどの関係かんけいになる。符号ふごうは微分びぶんしてから考かんがえるのではなく、変位へんいを定義ていぎする時点じてんで決きめておく。同おなじ向むきを正せいにするか、糸いとが伸のびる向むきを正せいにするかを統一とういつする。

拘束力こうそくりょくは仕事しごとをしないことが多おおい

理想的りそうてきな糸いとの張力ちょうりょく、滑なめらかな面めんの垂直抗力すいちょくこうりょく、固定支点こていしてんの反力はんりょくは、運動うんどうを制限せいげんするが、系けいの力学的りきがくてきエネルギーを直接ちょくせつ増減ぞうげんさせないことが多おおい。これは力ちからが変位へんいに垂直すいちょくであったり、作用点さようてんが動うごかなかったりするためである。

ただし、動うごく支点してんや外部がいぶから引ひかれる糸いとでは、拘束力こうそくりょくが系けいへ仕事しごとをすることがある。束縛条件そくばくじょうけんを使つかうときは、力ちからを消けせるのか、仕事しごととして残のこすべきなのかを系けいの取とり方かたで判断はんだんする。

文字式もじしきの単位たんい

束縛条件そくばくじょうけんでは、まず変位へんい $x[\mathrm{m};\mathsf{L}]$x\ [\mathrm{m};\ \mathsf{L}]、長ながさ $L[\mathrm{m};\mathsf{L}]$L\ [\mathrm{m};\ \mathsf{L}]、角度かくど $\theta [\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d};1]$\theta\ [\mathrm{rad};\ \mathsf{1}] のように、幾何きかで使つかう量りょうの単位たんいを明示めいじする。糸いとの長ながさ一定いっていの式しきでは、足たし合あわせる各項かくこうがすべて $\left[\mathrm{m}\right]$[\mathrm{m}] でなければならない。

変位へんいの式しきを微分びぶんすると、速度そくど $v[\mathrm{m}/\mathrm{s};\mathsf{L}{T}^{-1}]$v\ [\mathrm{m/s};\ \mathsf{LT^{-1}}]、加速度かそくど $a[\mathrm{m}/s^2;\mathsf{L}{T}^{-2}]$a\ [\mathrm{m/s^2};\ \mathsf{LT^{-2}}] の関係かんけいになる。すべりなし転ころがりでは

$v=R\omega$v = R\omega

であり、rad を無次元むじげんとして扱あつかう。

動滑車どうかっしゃを符号ふごうつき座標ざひょうで扱あつかう

動滑車どうかっしゃでは、荷物にもつが $1[\mathrm{m};\mathsf{L}]$1\ [\mathrm{m};\ \mathsf{L}] 上あがると、荷物にもつを支ささえる 2 本ほんの糸いとがそれぞれ $1[\mathrm{m};\mathsf{L}]$1\ [\mathrm{m};\ \mathsf{L}] ずつ短みじかくなる。したがって、引ひく端はしは $2[\mathrm{m};\mathsf{L}]$2\ [\mathrm{m};\ \mathsf{L}] 動うごく。変位へんいを $x_{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{a}\mathrm{d}}[\mathrm{m};\mathsf{L}]$x_{\mathrm{load}}\ [\mathrm{m};\ \mathsf{L}]、端はしの変位へんいを $x_{\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{d}}[\mathrm{m};\mathsf{L}]$x_{\mathrm{end}}\ [\mathrm{m};\ \mathsf{L}] とすれば、向むきの取とり方かたに注意ちゅういして

$x_{\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{d}}=2x_{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{a}\mathrm{d}}$x_{\mathrm{end}} = 2x_{\mathrm{load}}

のような関係かんけいを得える。時間じかんで 2 回かい微分びぶんすれば、$a_{\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{d}}[\mathrm{m}/s^2;\mathsf{L}{T}^{-2}]=2[1;1]a_{\mathrm{l}\mathrm{o}\mathrm{a}\mathrm{d}}[\mathrm{m}/s^2;\mathsf{L}{T}^{-2}]$a_{\mathrm{end}}\ [\mathrm{m/s^2};\ \mathsf{LT^{-2}}]=2\ [\mathrm{1};\ \mathsf{1}]a_{\mathrm{load}}\ [\mathrm{m/s^2};\ \mathsf{LT^{-2}}] である。したがって荷物にもつの加速度かそくどは、端はしの加速度かそくどの半分はんぶんになる。

符号ふごうが混乱こんらんするときは、上向うわむきを正せい、下向したむきを正せいのように物体ぶったいごとに変かえるのではなく、糸いとの長ながさが増ふえる向むきを正せいとして統一とういつする。長ながさ一定いっていの式しきを先さきに書かけば、速度そくどと加速度かそくどの符号ふごうは自動的じどうてきに決きまる。

係数けいすうが 2 になるのは、力ちからの大おおきさを決きめているからではなく、同おなじ糸いとの長ながさを共有きょうゆうする区間くかんが 2 本ほんあるからである。張力ちょうりょくの式しきを立たてる前まえに、まず幾何きかとして何なにが 2 倍ばいになるのかを確定かくていする。

仮想仕事かそうしごととして束縛そくばくを見みる

理想的りそうてきな束縛そくばくでは、許ゆるされた微小変位びしょうへんいに対たいして拘束力こうそくりょくが仕事しごとをしないことが多おおい。滑なめらかな面めんの垂直抗力すいちょくこうりょくは面めんに垂直すいちょくで、変位へんいは面めんに沿そうため、内積ないせきが 0 になる。固定支点こていしてんの反力はんりょくも、作用点さようてんが動うごかなければ仕事しごとをしない。

この見方みかたを使つかうと、張力ちょうりょくや反力はんりょくを明示めいじせずに、重力じゅうりょくやばね力りょくの仕事しごとだけから平衡条件へいこうじょうけんを読よめることがある。ただし、支点してんが動うごく場合ばあいや外部がいぶが糸いとを引ひく場合ばあいには、拘束力こうそくりょくが仕事しごとをすることがあるので、系けいの取とり方かたを確認かくにんする。

束縛条件そくばくじょうけんの誤答ごとうパターン

束縛条件そくばくじょうけんで多おおい誤あやまりは、長ながさの関係かんけいを書かかずに、いきなり速度そくどや加速度かそくどの比ひを暗記あんきで使つかうことである。動滑車どうかっしゃや複合滑車ふくごうかっしゃでは、糸いとのどの部分ぶぶんが伸のび縮ちぢみするかを数かぞえなければならない。

安全あんぜんな手順てじゅんは、まず長ながさ $L[\mathrm{m};\mathsf{L}]$L\ [\mathrm{m};\ \mathsf{L}] を一定いっていとして式しきを書かくことである。その式しきを時間じかんで微分びぶんして速度そくど $\left[\mathrm{m}/\mathrm{s}\right]$[\mathrm{m/s}] の関係かんけいを得える。さらに微分びぶんして加速度かそくど $\left[\mathrm{m}/s^2\right]$[\mathrm{m/s^2}] の関係かんけいを得える。この順序じゅんじょなら、比ひだけでなく符号ふごうも同時どうじに決きまる。

束縛そくばくが切きれる条件じょうけん

糸いとは引ひくことはできるが、押おすことはできない。したがって張力ちょうりょく $T[\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$T\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}] を求もとめて負ふになったなら、その糸いとは張はった状態じょうたいを保たもてない。以後いごの運動うんどうは、糸いとの束縛そくばくを外はずして考かんがえる。

面めんとの接触せっしょくも同おなじである。垂直抗力すいちょくこうりょく $N[\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$N\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}] が $0[\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$0\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}] になる瞬間しゅんかんが、面めんから離はなれる境界きょうかいである。$N[\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$N\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}] が負ふになる解かいは、面めんが物体ぶったいを引ひいていることを意味いみしてしまうので、物理的ぶつりてきには採用さいようしない。

主要文字式しゅようもじしきの単位たんい確認かくにん

束縛条件そくばくじょうけんでは、長ながさ $L[\mathrm{m};\mathsf{L}]$L\ [\mathrm{m};\ \mathsf{L}]、変位へんい $x[\mathrm{m};\mathsf{L}]$x\ [\mathrm{m};\ \mathsf{L}]、角度かくど $\theta [\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d};1]$\theta\ [\mathrm{rad};\ \mathsf{1}] を先さきに定義ていぎする。糸いとの長ながさ一定いっていの式しきでは、各項かくこうがすべて $\left[\mathrm{m}\right]$[\mathrm{m}] でなければならない。

速度そくどの関係かんけいでは $v[\mathrm{m}/\mathrm{s};\mathsf{L}{T}^{-1}]$v\ [\mathrm{m/s};\ \mathsf{LT^{-1}}]、加速度かそくどの関係かんけいでは $a[\mathrm{m}/s^2;\mathsf{L}{T}^{-2}]$a\ [\mathrm{m/s^2};\ \mathsf{LT^{-2}}] が現あらわれる。すべりなし転ころがりでは、$v=R\omega [\mathrm{m}/\mathrm{s};\mathsf{L}{T}^{-1}]$v=R\omega\ [\mathrm{m/s};\ \mathsf{LT^{-1}}] において $R[\mathrm{m};\mathsf{L}]$R\ [\mathrm{m};\ \mathsf{L}]、$\omega [\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}/\mathrm{s};T^{-1}]$\omega\ [\mathrm{rad/s};\ \mathsf{T^{-1}}]、$v[\mathrm{m}/\mathrm{s};\mathsf{L}{T}^{-1}]$v\ [\mathrm{m/s};\ \mathsf{LT^{-1}}] である。張力ちょうりょく $T[\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$T\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}] や垂直抗力すいちょくこうりょく $N[\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$N\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}] は、束縛そくばくを保たもつ力ちからとして読よむ。

数式内すうしきないでの単位たんい明示めいじ

束縛条件そくばくじょうけんは、まず長ながさの式しきとして
$L=x_1+x_2+\cdots$L = x_1 + x_2 + \cdots
のように書かく。微分びぶんしたあとは、速度そくど $v[\mathrm{m}/\mathrm{s};\mathsf{L}{T}^{-1}]$v\ [\mathrm{m/s};\ \mathsf{LT^{-1}}]、加速度かそくど $a[\mathrm{m}/s^2;\mathsf{L}{T}^{-2}]$a\ [\mathrm{m/s^2};\ \mathsf{LT^{-2}}] の関係かんけいとして読よむ。

束縛問題そくばくもんだいの解法かいほうテンプレート

束縛条件そくばくじょうけんは、力ちからの式しきより先さきに幾何きかの式しきとして書かく。糸いとなら全長ぜんちょう $L[\mathrm{m};\mathsf{L}]$L\ [\mathrm{m};\ \mathsf{L}]、面めんなら接触せっしょくを保たもつ位置関係いちかんけい、すべりなしなら接触点せっしょくてんの相対速度そうたいそくど $0[\mathrm{m}/\mathrm{s};\mathsf{L}{T}^{-1}]$0\ [\mathrm{m/s};\ \mathsf{LT^{-1}}] が出発点しゅっぱつてんである。

長ながさの式しきを微分びぶんすれば速度そくどの関係かんけい、さらに微分びぶんすれば加速度かそくどの関係かんけいが出でる。この順序じゅんじょを守まもると、係数けいすうだけでなく符号ふごうも自然しぜんに決きまる。

張力ちょうりょく $T[\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$T\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}] や垂直抗力すいちょくこうりょく $N[\mathrm{N};\mathsf{M}\mathsf{L}{T}^{-2}]$N\ [\mathrm{N};\ \mathsf{MLT^{-2}}] が負ふになる結果けっかは、束縛そくばくが保たもたれないことを示しめす。その時点じてんからは、別べつの運動うんどうとして扱あつかう。

理想的りそうてきな束縛そくばくと非理想ひりそうな束縛そくばく

理想的りそうてきな束縛そくばくでは、拘束力こうそくりょくが許ゆるされた変位へんいに仕事しごとをしない。仮想変位かそうへんいを $\delta r[\mathrm{m};\mathsf{L}]$\delta r\ [\mathrm{m};\ \mathsf{L}] とすると、

と読よめる。面めんからの垂直抗力すいちょくこうりょくは面めんに沿そった変位へんいと直交ちょっこうするため仕事しごとをしないが、摩擦まさつのように接線方向せっせんほうこうへ働はたらく力ちからは一般いっぱんに仕事しごとをする。この違ちがいが、束縛条件そくばくじょうけんだけで解とける問題もんだいと、エネルギー損失そんしつまで考かんがえる問題もんだいを分わける。

理想的りそうてきな束縛そくばくでは、糸いとは伸のびず、面めんはなめらかで、滑車かっしゃは軽かるく、摩擦まさつも無視むしできる。この場合ばあい、束縛そくばくは運動うんどうの自由度じゆうどを減へらすだけで、余分よぶんなエネルギー損失そんしつを入いれない。

現実げんじつには、糸いとが伸のびる、滑車かっしゃに質量しつりょうがある、軸じくに摩擦まさつがある、面めんが粗あらい、という非理想ひりそうな要素ようそがある。このときは、束縛条件そくばくじょうけんだけでは足たりず、ばねのような伸のびの式しき、回転かいてんの式しき、摩擦まさつの仕事しごとなどを追加ついかする。

問題文もんだいぶんが理想条件りそうじょうけんを明示めいじしているかを確認かくにんする。明示めいじがなければ、高校こうこう・基礎力学きそりきがくの標準問題ひょうじゅんもんだいでは理想化りそうかを仮定かていすることが多おおいが、発展問題はってんもんだいではその仮定かていを外はずすことが狙ねらいになる。