光ひかりとレンズ

date2026-03-28descriptionレンズを、光線図と相似から像の形成を導き、レンズ公式・倍率・波動光学との関係まで説明します。prerequisites反射と屈折 / 図形と方程式の基本 / 三角関数 / スネルの法則type講義statusactive

physicsopticshighschoolundergraduatelecture

導入どうにゅう

この講義こうぎで最重要さいじゅうようなのは、レンズを「像ぞうを作つくる装置そうち」として、光線こうせんがどこで交まじわるかを幾何的きかてきに追おうことです。

光学こうがくで不親切ふしんせつになりやすいのは、いきなり $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}$ だけを覚おぼえさせて、像ぞうがなぜその位置いちに出でるのかを見みせないことです。この講義こうぎでは、まず光線図こうせんずで像ぞうの意味いみを押おさえ、そのあとで公式こうしきへ進すすみます。

用語ようごと定義ていぎ

焦点距離しょうてんきょりFocal length は $f$ 、物体距離ぶったいきょりObject distance は $a$ 、像距離ぞうきょりImage distance は $b$ とします。

方針ほうしん

光軸こうじくに平行へいこうな光線こうせん、焦点しょうてんを通とおる光線こうせん、光学中心こうがくちゅうしんを通とおる光線こうせんの 3 本ぼんを使つかって像ぞうを決きめます。

計算けいさんだけでなく、実像じつぞうか虚像きょぞうか、倒立とうりつか正立せいりつかを同時どうじに判断はんだんできるようにするのが目標もくひょうです。

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直感的ちょっかんてきな説明せつめい

像ぞうとは、「物体ぶったいの 1 点てんから出でた光ひかりが、レンズを通とおった後あとにどこで集あつまるか、あるいはどこから出でてきたように見みえるか」で決きまります。したがって、像ぞうを調しらべるときは光線こうせんを 1 本ぽんではなく、性質せいしつの分わかった 2 本ほんか 3 本ぼんで交点こうてんを見みます。

厳密げんみつな説明せつめい

1. レンズの公式こうしき

薄うすい凸とつレンズを考かんがえます。物体ぶったいの上端じょうたんから出でた光ひかりについて、

光軸こうじくに平行へいこうに進すすむ光線こうせんは、レンズ通過後つうかごに焦点しょうてんを通とおる
光学中心こうがくちゅうしんを通とおる光線こうせんは、薄うすいレンズではほぼ直進ちょくしんするとみなせる

とします。この 2 本ほんの交点こうてんが像ぞうです。

物体ぶったいの高たかさを $h$ とすると、相似そうじから

\frac{h}{a} = \frac{h^{'}}{b}

です。また、焦点しょうてんを通とおる光線こうせんについてもう 1 つの相似そうじを作つくると

\frac{h}{a - f} = \frac{h^{'}}{f}

です。 $h^{'}$ を消去しょうきょすると

\frac{b}{a} = \frac{f}{a - f}

なので、

\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}

です。

2. 倍率ばいりつ

倍率ばいりつは像ぞうの高たかさ $h^{'}$ と物体ぶったいの高たかさ $h$ の比ひなので

m = \frac{h^{'}}{h}

です。さきほどの相似そうじから

m = \frac{b}{a}

です。

3. 具体例ぐたいれい

$a = 30, f = 10$ とすると

\frac{1}{30} + \frac{1}{b} = \frac{1}{10}

より

\frac{1}{b} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}

なので $b = 15$ です。

この結果けっかから、像ぞうはレンズの反対側はんたいがわにできる実像じつぞうであり、 $m = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$ なので大おおきさは半分はんぶんになります。

別べつの見方みかた

幾何光学きかこうがくの見方みかた

レンズの公式こうしきは数値計算すうちけいさんの道具どうぐですが、光線図こうせんずは像ぞうの性質せいしつを一目ひとめで判断はんだんする道具どうぐです。この 2 つを分わけずに一緒いっしょに使つかえるようになると、問題もんだいがかなり解ときやすくなります。

波動光学はどうこうがくとのつながり

data/lecture/physics/optics/ホイヘンスの原理の基本-講義.n.md

大学だいがく物理ぶつりでは、レンズは単たんに光線こうせんを曲まげる道具どうぐではなく、波面はめんに位置いちごとの位相差いそうさを与あたえる装置そうちとしても見みます。ここでは幾何光学きかこうがくを主役しゅやくにしていますが、その背後はいごに波面はめんの見方みかたがあると考かんがえると、像ぞうができる理由りゆうがより深ふかく見みえます。

見分みわけ方かた

実像じつぞうか虚像きょぞうか、倒立とうりつか正立せいりつかを問とわれたら、まず光線図こうせんずを描えがきます。
数値計算すうちけいさんなら $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}$ 、見みた目めの判断はんだんなら光線図こうせんずです。

どこまで成なり立たつか

ここでの公式こうしきは薄うすいレンズ近似きんじを使つかっています。厚あついレンズや収差しゅうさまで考かんがえると、もっと丁寧ていねいな扱あつかいが必要ひつようです。また光線こうせんとして扱あつかうのは、波長はちょうがレンズの大おおきさや像ぞうの変化へんかする尺度しゃくどに比くらべて十分じゅうぶん小ちいさいときの近似きんじです。

最終形さいしゅうけい

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{f}

[PARSE ERROR: Undefined("Command(\"boxed\")")] m = \frac{b}{a}

一言ひとことでいうと

レンズでは、光線こうせんを 3 本ぼん追おえば像ぞうの位置いちと性質せいしつが見みえます。