行列式ぎょうれつしきdeterminantと可逆性かぎゃくせい-基本演習きほんえんしゅう

date2026-05-25description行列式の計算規則・余因子展開・可逆性判定を、体積倍率と操作ごとの変化に注目して確認する基本演習である。prerequisites行列式の計算規則 / 余因子展開と可逆性の判定 / 行列式 / 逆行列の基本type問題演習content_typeexercisestatusactive

mathlinear-algebraexercisedeterminantinvertible

data/lecture/math/linear-algebra/行列式の計算規則-講義.n.md data/lecture/math/linear-algebra/余因子展開と可逆性の判定-講義.n.md data/lecture/math/linear-algebra/行列式-講義.n.md

演習えんしゅう方針ほうしん

行列式ぎょうれつしきdeterminantは、正方行列せいほうぎょうれつsquare matrixが体積たいせきをどれだけ伸縮しんしゅくし、向むきを保たもつか反転はんてんするかを表あらわす。計算けいさんでは、行ぎょうrowや列れつcolumnの操作そうさoperationが行列式ぎょうれつしきdeterminantを変かえるか変かえないかを必かならず追跡ついせきする。

問題もんだい 1

A = (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 5 & 3 \end{matrix})

の行列式ぎょうれつしきdeterminantを求もとめ、幾何的きかてきな意味いみを述のべよ。

解答例かいとうれい

○

\det A = 2 \cdot 3 - 1 \cdot 5 = 1

したがって、この線型変換せんけいへんかんlinear transformationは面積めんせきを $1$ 倍ばいに保たもち、向むきも反転はんてんしない。

解説かいせつ

$2 \times 2$ 行列ぎょうれつmatrixの行列式ぎょうれつしきdeterminantは、2 本ほんの列れつベクトルcolumn vectorが作つくる平行四辺形へいこうしへんけいの向むき付づき面積めんせきである。値あたいが $1$ であることは、見みた目めの形かたちは変かわっても面積めんせきが保存ほぞんされることを意味いみする。

問題もんだい 2

$\det A = 6$ とする。次つぎの操作そうさoperationの後あとで行列式ぎょうれつしきdeterminantがどう変かわるかを答こたえよ。

$R_{1} \leftrightarrow R_{2}$
$R_{3} \leftarrow 4 R_{3}$
$R_{2} \leftarrow R_{2} - 5 R_{1}$

解答例かいとうれい

○

$- 6$
$24$
$6$

解説かいせつ

行ぎょうrowの交換こうかんは向むきを反転はんてんするので符号ふごうを変かえる。行ぎょうrowの定数倍ていすうばいは、その方向ほうこうの伸縮率しんしゅくりつだけ体積たいせきを変かえる。他ほかの行ぎょうrowの倍ばいを加くわえる操作そうさoperationは、平行へいこうに押おし傾かたむけるだけなので体積たいせきを変かえない。操作そうさoperationの結果けっかだけでなく、何なにが保存ほぞんされるかを確認かくにんする問題もんだいである。

問題もんだい 3

B = (\begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 3 & 0 & 4 \\ - 1 & 5 & 6 \end{matrix})

の行列式ぎょうれつしきdeterminantを、第だい2 列れつcolumnに沿そって余因子展開よいんしてんかいして求もとめよ。

解答例かいとうれい

○

第だい2 列れつcolumnは $0, 0, 5$ なので、

\det B = 5 (- 1)^{3 + 2} \det (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}) = - 5 (4 - 6) = 10

解説かいせつ

余因子展開よいんしてんかいでは、 $0$ が多おおい行ぎょうrowまたは列れつcolumnを選えらぶと計算量けいさんりょうが減へる。第だい2 列れつcolumnを選えらんだ理由りゆうは、非零ひれいの項こうが 1 個こだけだからである。符号ふごう $(- 1)^{i + j}$ の確認かくにんを省略しょうりゃくすると、値あたいの符号ふごうを誤あやまりやすい。

問題もんだい 4

C = (\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix})

は可逆かぎゃくinvertibleか。理由りゆうを述のべよ。

解答例かいとうれい

○

可逆かぎゃくinvertibleではない。三角行列さんかくぎょうれつなので、

\det C = 1 \cdot 1 \cdot 0 = 0

である。したがって逆行列ぎゃくぎょうれつinverse matrixは存在そんざいしない。

解説かいせつ

正方行列せいほうぎょうれつsquare matrixでは、 $\det C \neq 0$ と可逆かぎゃくinvertibleであることは同値どうちequivalentである。この問題もんだいでは対角成分たいかくせいぶんに $0$ があるため、体積たいせきが $0$ 倍ばいに潰つぶれる。情報じょうほうが失うしなわれるので入力にゅうりょくを一意いちいに復元ふくげんできない。

問題もんだい 5

次つぎの主張しゅちょうが正ただしいかを判定はんていせよ。

「 $A$ が正方行列せいほうぎょうれつsquare matrixで、同おなじ行ぎょうrowをもつなら $\det A = 0$ である。」

解答例かいとうれい

○

正ただしい。

解説かいせつ

同おなじ行ぎょうrowが 2 本ほんあると、行ぎょうベクトルrow vectorが一次従属いちじじゅうぞくlinear dependenceになる。幾何的きかてきには、互たがいに独立どくりつindependentな方向ほうこうが不足ふそくするため、体積たいせきが $0$ になる。行交換ぎょうこうかんで符号ふごうが反転はんてんする一方いっぽう、同おなじ行ぎょうrowを交換こうかんしても行列ぎょうれつmatrixは変かわらない。したがって $\det A = - \det A$ となり、 $\det A = 0$ である。

補充問題ほじゅうもんだい：行列式ぎょうれつしきdeterminantの計算けいさんと可逆性かぎゃくせい

問題もんだい 6

$\det (\begin{matrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{matrix})$ を計算けいさんせよ。

○

$4 \cdot 3 - 1 \cdot 2 = 10$ である。

問題もんだい 7

2 行ぎょうrowを交換こうかんしたとき、行列式ぎょうれつしきdeterminantがどう変化へんかするか述のべよ。

○

符号ふごうが反転はんてんする。

問題もんだい 8

2 列れつcolumnを交換こうかんしたとき、行列式ぎょうれつしきdeterminantがどう変化へんかするか述のべよ。

○

符号ふごうが反転はんてんする。

問題もんだい 9

行列式ぎょうれつしきdeterminantが 0 になる $2 \times 2$ 行列ぎょうれつmatrixを 1 つ構成こうせいせよ。

○

たとえば

(\begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{matrix})

は 2 行目ぎょうめが 1 行目ぎょうめの 2 倍ばいなので行列式ぎょうれつしきdeterminantは 0 である。

問題もんだい 10

第二列だいにれつに零れいが多おおい $3 \times 3$ 行列ぎょうれつmatrixを余因子展開よいんしてんかいで計算けいさんせよ。

○

たとえば

A = (\begin{matrix} 1 & 0 & 2 \\ 3 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & 4 \end{matrix})

なら、第二列だいにれつで展開てんかいすると

\det A = 5 (- 1)^{2 + 2} \det (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 4 \end{matrix}) = 20

である。

問題もんだい 11

余因子よいんしの符号ふごうを $3 \times 3$ の表ひょうで書かけ。

○

(\begin{matrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{matrix})

問題もんだい 12

$\det A = 0$ のとき、 $A^{- 1}$ が存在そんざいしない理由りゆうを説明せつめいせよ。

○

$\det A = 0$ は線型変換せんけいへんかんlinear transformationが体積たいせきを 0 倍ばいに潰つぶすことを意味いみする。情報じょうほうが失うしなわれるため、出力しゅつりょくから入力にゅうりょくを一意いちいに復元ふくげんできず、 $A^{- 1}$ は存在そんざいしない。

問題もんだい 13

列れつベクトルcolumn vector $a, b, c$ について

\det (a, b, c) = 5

であるとする。多重線型性たじゅうせんけいせいmultilinearityと交代性こうたいせいだけを使つかって、次つぎを求もとめよ。

$\det (a + 2 b, b, c)$
$\det (2 a, c, b)$
$\det (a, b, a + c)$

○

多重線型性たじゅうせんけいせいmultilinearityより

\det (a + 2 b, b, c) = \det (a, b, c) + 2 \det (b, b, c) = 5

である。2 本ほんの列れつcolumnが一致いっちする項こうは 0 になる。

第だい 2 式しきでは

\det (2 a, c, b) = 2 \det (a, c, b) = - 2 \det (a, b, c) = - 10

である。 $b$ と $c$ を交換こうかんすると符号ふごうが反転はんてんする。

第だい 3 式しきでは

\det (a, b, a + c) = \det (a, b, a) + \det (a, b, c) = 5

である。

この問題もんだいは、行列式ぎょうれつしきdeterminantを公式こうしきに代入だいにゅうするだけでなく、列れつcolumnに関かんする線型性せんけいせいlinearityと「同おなじ列れつcolumnが 2 本ほんあると 0」という原理げんりから値あたいを読よむ練習れんしゅうである。

問題もんだい 14

A = (\begin{matrix} 1 & 2 \\ 3 & 7 \end{matrix}), B = (\begin{matrix} 7 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{matrix})

について、 $B$ が $A^{- 1}$ であることを $A B$ と $B A$ の両方りょうほうを計算けいさんして確認かくにんせよ。

○

A B = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}), B A = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})

である。したがって $B = A^{- 1}$ である。

この問題もんだいは、逆行列ぎゃくぎょうれつinverse matrixが片側かたがわだけの記号操作きごうそうさではなく、左右さゆうから掛かけて単位行列たんいぎょうれつidentity matrixを返かえす行列ぎょうれつmatrixであることを確認かくにんする。

問題もんだい 15

問題もんだい 14 の $A$ について、

b = (\begin{matrix} 5 \\ 17 \end{matrix})

とする。 $A x = b$ を $x = A^{- 1} b$ により解とき、解かいが一意いちいである理由りゆうを述のべよ。

○

x = A^{- 1} b = (\begin{matrix} 7 & - 2 \\ - 3 & 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 5 \\ 17 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \end{matrix})

である。 $A$ が可逆かぎゃくinvertibleなので、 $A x = b$ の解かいが 2 つあれば、その差さは $A (x_{1} - x_{2}) = 0$ を満みたす。 $A^{- 1}$ を掛かけると $x_{1} - x_{2} = 0$ となるため、解かいは一意いちいである。

この問題もんだいは、逆行列ぎゃくぎょうれつinverse matrixが連立一次方程式れんりついちじほうていしきsystem of linear equationsの一意解いちいかいと結むすびつくことを確認かくにんする。

問題もんだい 16

A = (\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix}), B = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})

について、 $A B$ と $B A$ を計算けいさんし、片側かたがわだけで単位行列たんいぎょうれつidentity matrixになっても逆行列ぎゃくぎょうれつinverse matrixとは言いえないことを説明せつめいせよ。

○

A B = (\begin{matrix} 1 \end{matrix}) = I_{1}

である。一方いっぽう、

B A = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) \neq I_{2}

である。したがって、 $B$ は $A$ の両側りょうがわの逆行列ぎゃくぎょうれつinverse matrixではない。

この問題もんだいは、長方行列ちょうほうぎょうれつでは片側逆かたがわぎゃくが現あらわれても、正方行列せいほうぎょうれつsquare matrixの逆行列ぎゃくぎょうれつinverse matrixと同おなじようには扱あつかえないことを確認かくにんする。

問題もんだい 17

$\det A = 6$ とする。次つぎの列操作れつそうさの後あとで行列式ぎょうれつしきdeterminantがどう変化へんかするかを答こたえよ。

$C_{1} \leftrightarrow C_{3}$
$C_{2} \leftarrow 3 C_{2}$
$C_{3} \leftarrow C_{3} - 5 C_{1}$

○

列れつcolumnの交換こうかんなので $- 6$ 。
列れつcolumnの 3 倍ばいなので $18$ 。
他列たれつの倍ばいを加くわえる操作そうさoperationなので $6$ 。

この問題もんだいは、行ぎょうrowだけでなく列れつcolumnの基本変形きほんへんけいelementary operationでも行列式ぎょうれつしきdeterminantの変化へんかを追跡ついせきできることを確認かくにんする。

問題もんだい 18

A = (\begin{matrix} 0 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 1 \end{matrix})

の行列式ぎょうれつしきdeterminantを、行基本変形ぎょうきほんへんけいelementary row operationによる変化へんかを追跡ついせきしながら求もとめよ。

○

まず $R_{1} \leftrightarrow R_{2}$ とする。この交換こうかんで行列式ぎょうれつしきdeterminantの符号ふごうが反転はんてんする。

(\begin{matrix} 0 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 1 \end{matrix}) \to (\begin{matrix} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 1 \end{matrix})

つぎの 2 つの行ぎょうrowへの加算かさんは行列式ぎょうれつしきdeterminantを変かえない。

R_{3} \leftarrow R_{3} - 2 R_{1}, R_{3} \leftarrow R_{3} + R_{2}

したがって

(\begin{matrix} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix})

を得える。さらに $R_{2} \leftarrow \frac{1}{2} R_{2}$ とすると、

(\begin{matrix} 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & \frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix})

となる。この定数倍ていすうばいでは行列式ぎょうれつしきdeterminantが $\frac{1}{2}$ 倍ばいになる。最後さいごの三角行列さんかくぎょうれつの行列式ぎょうれつしきdeterminantは

1 \cdot 1 \cdot 2 = 2

である。よって、定数倍ていすうばいの前まえの行列式ぎょうれつしきdeterminantは $4$ 、最初さいしょの行交換ぎょうこうかんの前まえの行列式ぎょうれつしきdeterminantは

\det A = - 4

である。

この問題もんだいは、行基本変形ぎょうきほんへんけいelementary row operationを計算けいさんの道具どうぐとして使つかうときに、交換こうかん、非零定数倍ひぜろていすうばい、他行たぎょうの倍ばいの加算かさんがそれぞれ行列式ぎょうれつしきdeterminantをどう変かえるかを同時どうじに管理かんりする練習れんしゅうである。

行列式ぎょうれつしきdeterminantと可逆性かぎゃくせい-基本演習きほんえんしゅう

演習えんしゅう方針ほうしん

問題もんだい 1

解答例かいとうれい

解説かいせつ

問題もんだい 2

解答例かいとうれい

解説かいせつ

問題もんだい 3

解答例かいとうれい

解説かいせつ

問題もんだい 4

解答例かいとうれい

解説かいせつ

問題もんだい 5

解答例かいとうれい

解説かいせつ

補充問題ほじゅうもんだい：行列式ぎょうれつしきdeterminantの計算けいさんと可逆性かぎゃくせい

問題もんだい 6

問題もんだい 7

問題もんだい 8

問題もんだい 9

問題もんだい 10

問題もんだい 11

問題もんだい 12

問題もんだい 13

問題もんだい 14

問題もんだい 15

問題もんだい 16

問題もんだい 17

問題もんだい 18

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