群作用ぐんさようgroup actionと軌道固定部分群定理きどうこていぶぶんぐんていりorbit-stabilizer theorem 基本きほん演習えんしゅう

1対応たいおうする講義こうぎ

2問題もんだい1：左正則作用ひだりせいそくさよう

群ぐん $$G$$G に対たいして $$g·x=gx$$g\cdot x=gx と定さだめる。これが $$G$$G の自分自身じぶんじしんへの群作用ぐんさようであることを示しめし、$$x\in G$$x\in G の軌道きどうと固定部分群こていぶぶんぐんを求もとめよ。

2.1解答かいとう

$$e·x=ex=x$$e\cdot x=ex=x であり、$$\left(gh\right)·x=\left(gh\right)x=g\left(hx\right)=g·(h·x)$$(gh)\cdot x=(gh)x=g(hx)=g\cdot(h\cdot x) なので作用さようの公理こうりを満みたす。任意にんいの $$y\in G$$y\in G は $$y=\left(y{x}^{-1}\right)·x$$y=(yx^{-1})\cdot x と書かけるので軌道きどうは $$G$$G 全体ぜんたいである。また $$g·x=x$$g\cdot x=x なら右消去みぎしょうきょにより $$g=e$$g=e なので、固定部分群こていぶぶんぐんは $$\left\{e\right\}$$\{e\} である。

3問題もんだい2：正三角形せいさんかくけいの頂点ちょうてん

正三角形せいさんかくけいの 6 個この対称性たいしょうせいが 3 頂点ちょうてんに作用さようする。ある頂点ちょうてん $$x$$x の軌道きどうと固定部分群こていぶぶんぐんの元げんの個数こすうを求もとめ、軌道固定部分群定理きどうこていぶぶんぐんていりを確認かくにんせよ。

3.1解答かいとう

任意にんいの頂点ちょうてんへ移うつせるので $$\left|Gx\right|=3$$|Gx|=3 である。$$x$$x を固定こていするのは恒等変換こうとうへんかんと $$x$$x を通とおる軸じくについての鏡映きょうえいなので $$\left|G_x\right|=2$$|G_x|=2 である。したがって

となる。

4問題もんだい3：作用さようの核かくと固定部分群こていぶぶんぐん

作用さように対応たいおうする $$\rho :G\to \mathrm{Sym}\left(X\right)$$\rho:G\to\operatorname{Sym}(X) について、

を証明しょうめいせよ。また、正三角形せいさんかくけいの頂点ちょうてんへの作用さようでは $$\ker \rho =\left\{e\right\}$$\ker\rho=\{e\} だが $$\left|G_x\right|=2$$|G_x|=2 であることを説明せつめいせよ。

4.1解答かいとう

$$g\in \ker \rho$$g\in\ker\rho であることは $$\rho \left(g\right)$$\rho(g) が恒等写像こうとうしゃぞうであること、すなわち全すべての $$x\in X$$x\in X について $$g·x=x$$g\cdot x=x であることと同値どうちである。これは $$g\in G_x$$g\in G_x がすべての $$x$$x について成立せいりつすることなので、等式とうしきを得える。

正三角形せいさんかくけいの全頂点ぜんちょうてんを固定こていする対称性たいしょうせいは恒等変換こうとうへんかんだけなので核かくは自明じめいである。しかし 1 頂点ちょうてんだけを固定こていする対称性たいしょうせいには、その頂点ちょうてんを通とおる軸じくの鏡映きょうえいもあるので $$\left|G_x\right|=2$$|G_x|=2 である。