群作用ぐんさようgroup actionと対称性たいしょうせいsymmetry

群ぐんgroupは、単たんなる演算表えんざんひょうoperation tableとしてだけでなく、集合しゅうごうsetを動うごかす変換へんかんtransformationの集あつまりとして見みることができる。この見方みかたが群作用ぐんさようgroup actionである。

群作用ぐんさようgroup actionを使つかうと、「群ぐんgroupの元げんelementが対象たいしょうobjectをどう動うごかすか」を直接ちょくせつ扱あつかえる。図形ずけいfigureの対称性たいしょうせいsymmetryの群ぐん、置換ちかんpermutationの群ぐん、可逆行列かぎゃくぎょうれつの群ぐんが線型変換せんけいへんかんとして作用さようすることが基本例きほんれいである。

線型変換せんけいへんかんは応用例おうようれいとしての見通みとおしである。このページの定義ていぎと証明しょうめいでは、集合しゅうごうの元げんを別べつの元げんへ移うつす変換へんかんだけを使つかう。

1群作用ぐんさようの定義ていぎ

群ぐんgroup $$G$$G が集合しゅうごうset $$X$$X に作用さようactするとは、写像しゃぞう $$G\times X\to X$$G\times X\to X、$$(g,x)\mapsto g·x$$(g,x)\mapsto g\cdot x が与あたえられ、任意にんいの $$g,h\in G$$g,h\in G、$$x\in X$$x\in X に対たいして次つぎを満みたすことである。

第一だいいち式しきは、単位元たんいげんidentity elementは何なにもしないことを表あらわす。第二だいに式しきは、群ぐんgroupの積せきproductと変換へんかんtransformationの合成ごうせいcompositionが対応たいおうすることを表あらわす。

各かく $$g\in G$$g\in G は $$x\mapsto g·x$$x\mapsto g\cdot x という $$X$$X の全単射ぜんたんしゃを定さだめる。逆写像ぎゃくしゃぞうは $$g^{-1}$$g^{-1} の作用さようである。$$X$$X の全単射ぜんたんしゃ全体ぜんたいの群ぐんを $$\mathrm{Sym}\left(X\right)$$\operatorname{Sym}(X) と書かくと、群作用ぐんさようは群準同型ぐんじゅんどうけい

を与あたえることと同おなじである。実際じっさい、$$\rho \left(g\right)\left(x\right)=g·x$$\rho(g)(x)=g\cdot x とおけば

なので $$\rho$$\rho は準同型じゅんどうけいである。逆ぎゃくに準同型じゅんどうけい $$\rho :G\to \mathrm{Sym}\left(X\right)$$\rho:G\to\operatorname{Sym}(X) から $$g·x=\rho \left(g\right)\left(x\right)$$g\cdot x=\rho(g)(x) と定さだめれば、$$\rho \left(e\right)={\mathrm{id}}_X$$\rho(e)=\operatorname{id}_X と $$\rho \left(gh\right)=\rho \left(g\right)\circ \rho \left(h\right)$$\rho(gh)=\rho(g)\circ\rho(h) から作用さようの二ふたつの公理こうりが従したがう。

2軌道きどう

元げん $$x\in X$$x\in X の軌道きどうorbitを

で定義ていぎする。軌道きどうは、群ぐんの作用さようによって $$x$$x から到達とうたつできる元げん全体ぜんたいである。

$$y\sim x$$y\sim x を「ある $$g\in G$$g\in G があって $$y=g·x$$y=g\cdot x」と定さだめると、これは同値関係どうちかんけいである。反射性はんしゃせいは $$x=e·x$$x=e\cdot x、対称性たいしょうせいは $$y=g·x$$y=g\cdot x なら $$x=g^{-1}·y$$x=g^{-1}\cdot y、推移性すいいせいは $$y=g·x$$y=g\cdot x、$$z=h·y$$z=h\cdot y なら $$z=\left(hg\right)·x$$z=(hg)\cdot x から従したがう。したがって軌道きどうは $$X$$X を互たがいに交まじわらない同値類どうちるいへ分割ぶんかつする。

3固定部分群こていぶぶんぐん

元げん $$x\in X$$x\in X を動うごかさない群ぐんの元げん全体ぜんたい

を固定部分群こていぶぶんぐんstabilizerという。これは $$G$$G の部分群ぶぶんぐんである。実際じっさい、$$e·x=x$$e\cdot x=x なので空からでなく、$$g,h\in G_x$$g,h\in G_x なら

である。ここで $$h·x=x$$h\cdot x=x の両辺りょうへんに $$h^{-1}$$h^{-1} を作用さようさせて $$h^{-1}·x=x$$h^{-1}\cdot x=x を使つかった。したがって部分群判定法ぶぶんぐんはんていほうより $$G_x\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}G$$G_x\le G である。

軌道きどうは $$x$$x が「どこへ動うごけるか」を表あらわし、固定部分群こていぶぶんぐんは「どの群ぐんの元げんが $$x$$x を固定こていするか」を表あらわす。

4作用さようの核かく・像ぞう・忠実性ちゅうじつせい

作用さように対応たいおうする準同型じゅんどうけいを $$\rho :G\to \mathrm{Sym}\left(X\right)$$\rho:G\to\operatorname{Sym}(X) とする。その核かくは

である。最初さいしょの等号とうごうは $$\rho \left(g\right)$$\rho(g) が恒等写像こうとうしゃぞうである条件じょうけん、二ふたつ目めは $$g$$g がすべての $$x$$x の固定部分群こていぶぶんぐんに属ぞくする条件じょうけんを書かいただけである。したがって $$\ker \rho$$\ker\rho は正規部分群せいきぶぶんぐんであり、$$\mathrm{Im}\rho \text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}\mathrm{Sym}\left(X\right)$$\operatorname{Im}\rho\le\operatorname{Sym}(X) は $$X$$X 上じょうで実際じっさいに起おこる変換へんかん全体ぜんたいの部分群ぶぶんぐんである。

$$\ker \rho =\left\{e\right\}$$\ker\rho=\{e\}、すなわち $$\rho$$\rho が単射たんしゃである作用さようを忠実ちゅうじつという。忠実ちゅうじつであっても、ある $$G_x$$G_x が $$\left\{e\right\}$$\{e\} より大おおきいことはある。正三角形せいさんかくけいの頂点ちょうてんへの作用さようはその例れいである。

5具体例ぐたいれい：正三角形せいさんかくけいの対称性たいしょうせい

正三角形せいさんかくけいの頂点集合ちょうてんしゅうごうを $$X=\{1,2,3\}$$X=\{1,2,3\} とする。正三角形せいさんかくけいの回転かいてんと鏡映きょうえいの対称性たいしょうせいは、頂点集合ちょうてんしゅうごうを置換ちかんする。したがって、対称性たいしょうせいの群ぐんは $$X$$X に作用さようする。

頂点ちょうてん 1 の軌道きどうは $$\{1,2,3\}$$\{1,2,3\} である。どの頂点ちょうてんにも対称性たいしょうせいで移うつれるからである。一方いっぽう、頂点ちょうてん 1 を固定こていする対称性たいしょうせいは、恒等変換こうとうへんかんと、頂点ちょうてん 1 を通とおる軸じくについての鏡映きょうえいである。

この作用さようは忠実ちゅうじつである。三みっつの頂点ちょうてんをすべて固定こていする対称性たいしょうせいは恒等変換こうとうへんかんだけなので、作用さようの核かくは $$\left\{e\right\}$$\{e\} だからである。しかし、頂点ちょうてん 1 の固定部分群こていぶぶんぐんには鏡映きょうえいも含ふくまれる。この例れいは、「すべての頂点ちょうてんを同時どうじに固定こていする」ことと「一ひとつの頂点ちょうてんを固定こていする」ことの違ちがいを示しめしている。

6何なにを変かえて何なにを保存ほぞんするか

群作用ぐんさようでは、群ぐんの元げんを変換へんかんとして見みる。作用さようによって、集合しゅうごうの元げんは同おなじ集合しゅうごうの別べつの元げんへ移うつりうる。保存ほぞんされるのは、群ぐんの積せきと変換へんかんの合成ごうせいが対応たいおうするという構造こうぞうである。

群作用ぐんさようの考かんがえ方かたは、幾何きか、線型代数せんけいだいすう、物理ぶつり、組合くみあわせ論ろんに広ひろく現あらわれる。

7定理ていり：軌道きどう・固定部分群こていぶぶんぐん定理ていり

群ぐん $$G$$G が集合しゅうごう $$X$$X に作用さようし、$$x\in X$$x\in X とする。このとき、$$G_x$$G_x の左剰余類ひだりじょうよるいの集合しゅうごうと軌道きどう $$Gx$$Gx の間あいだに全単射ぜんたんしゃがあり、

である。$$G_x$$G_x は正規部分群せいきぶぶんぐんとは限かぎらないので、ここで $$G/G_x$$G/G_x は商群しょうぐんではなく左剰余類ひだりじょうよるいの集合しゅうごうを表あらわす。特とくに $$G$$G が有限ゆうげんなら

が成立せいりつする。これを軌道固定部分群定理きどうこていぶぶんぐんていりorbit-stabilizer theoremという。

正三角形せいさんかくけいの対称群たいしょうぐんでは、頂点ちょうてん 1 の軌道きどうは 3 個こ、固定部分群こていぶぶんぐんは 2 個この元げんを持もつ。したがって群ぐんの位数いすうは $$3·2=6$$3\cdot2=6 である。

8証明しょうめい補足ほそく：軌道きどう・固定部分群こていぶぶんぐん定理ていりが成立せいりつする理由りゆう

群ぐん $$G$$G が集合しゅうごう $$X$$X に作用さようしているとし、$$x\in X$$x\in X を固定こていする。$$x$$x の固定部分群こていぶぶんぐんを $$G_x=\{g\in G\mid g·x=x\}$$G_x=\{g\in G\mid g\cdot x=x\} と書かく。

ここで $$G/G_x$$G/G_x は左剰余類ひだりじょうよるいの集合しゅうごうを表あらわす。写像しゃぞう

を考かんがえる。この写像しゃぞうが well-defined であることを確認かくにんする。もし $$g{G}_x=h{G}_x$$gG_x=hG_x なら $$h^{-1}g\in G_x$$h^{-1}g\in G_x である。したがって

であり、左ひだりから $$h$$h を作用さようさせると $$g·x=h·x$$g\cdot x=h\cdot x である。よって代表元だいひょうげんを変かえても行いき先さきは変かわらない。

逆ぎゃくに $$g·x=h·x$$g\cdot x=h\cdot x なら $$\left(h^{-1}g\right)·x=x$$(h^{-1}g)\cdot x=x なので $$h^{-1}g\in G_x$$h^{-1}g\in G_x、したがって $$g{G}_x=h{G}_x$$gG_x=hG_x であり、単射たんしゃである。また、$$G·x$$G\cdot x の任意にんいの元げんは定義ていぎより $$g·x$$g\cdot x の形かたちなので全射ぜんしゃでもある。有限群ゆうげんぐんの場合ばあい、

が得えられる。

9演習えんしゅうリンク

10まとめ

群作用ぐんさようは、群準同型ぐんじゅんどうけい $$G\to \mathrm{Sym}\left(X\right)$$G\to\operatorname{Sym}(X) によって群ぐんを集合しゅうごう上じょうの変換へんかんとして見みる方法ほうほうである。軌道きどうは $$X$$X を到達可能性とうたつかのうせいで分割ぶんかつし、固定部分群こていぶぶんぐん $$G_x$$G_x は $$x$$x を固定こていする群ぐんの元げんを集あつめる。軌道固定部分群定理きどうこていぶぶんぐんていりは、この二ふたつを左剰余類ひだりじょうよるいによって結むすびつける。

ここまでで、一ひとつの演算えんざんをもつ群ぐんと、その群ぐんが集合しゅうごうを動うごかす仕組しくみを学まなんだ。次つぎは、加法かほうと乗法じょうほうという二ふたつの演算えんざんをもつ環かんへ進すすむ。