剰余類じょうよるいcosetとラグランジュの定理ていり

date2026-07-14document_iddoc_323cb9ec267a59419dd81186f193cca7description群における剰余類を導入し、有限群の位数と部分群の位数を結ぶラグランジュの定理を説明する。prerequisites[部分群/ぶぶんぐん]と[生成/せいせい]type講義content_typelecturestatusactive

mathabstract-algebragroup-theorylecture

整数せいすうの剰余類じょうよるいは、整数せいすうを余あまりで分類ぶんるいするものだった。群ぐんでも、部分群ぶぶんぐんを基準きじゅんにして元げんを分類ぶんるいできる。その分類ぶんるいが群ぐんの剰余類じょうよるいである。

1左剰余類ひだりじょうよるい

群ぐん $G$ の部分群ぶぶんぐん $H$ と元げん $g \in G$ に対たいして、

g H = {g h ∣ h \in H}

を $H$ の左剰余類ひだりじょうよるいleft cosetという。

右みぎから掛かける

H g = {h g ∣ h \in H}

を右剰余類みぎじょうよるいright cosetという。

群ぐんが可換かかんなら左剰余類ひだりじょうよるいと右剰余類みぎじょうよるいは一致いっちする。しかし一般いっぱんの群ぐんでは一致いっちするとは限かぎらない。

2剰余類じょうよるいは群ぐんを分割ぶんかつする

左剰余類ひだりじょうよるいどうしは、等ひとしいか交まじわらないかのどちらかである。また、全すべての左剰余類ひだりじょうよるいを集あつめると $G$ 全体ぜんたいを覆おおう。

これは、剰余類じょうよるいが $G$ を同おなじ大おおきさの箱はこに分わけることを意味いみする。

3ラグランジュの定理ていり

有限群ゆうげんぐん $G$ と部分群ぶぶんぐん $H$ に対たいして、

| G | = [G : H] | H |

が成立せいりつする。ここで $[G : H]$ は $H$ の左剰余類ひだりじょうよるいの個数こすうである。

したがって、

| H | ∣ | G |

である。これがラグランジュの定理ていりLagrange's theoremである。

4具体例ぐたいれい

$G = Z / 6 Z$ 、 $H = {[0], [3]}$ とする。 $H$ の位数いすうは 2 である。剰余類じょうよるいは

[0] + H = {[0], [3]}

[1] + H = {[1], [4]}

[2] + H = {[2], [5]}

の三みっつである。したがって $| G | = 6 = 3 \cdot 2$ である。

5何なにが保存ほぞんされるか

剰余類じょうよるいに分わけると、個々ここの元げんではなく、部分群ぶぶんぐんだけずれたものを同おなじ箱はことして見みる。部分群ぶぶんぐんの大おおきさは各かく箱はこで保存ほぞんされる。これにより、有限群ゆうげんぐんの位数いすうが部分群ぶぶんぐんの位数いすうで割わり切きれることが分わかる。

6商群しょうぐんへの注意ちゅうい

剰余類じょうよるいの集合しゅうごうはいつでも作つくれる。しかし、剰余類じょうよるいどうしの積せきで群ぐんを作つくれるとは限かぎらない。商群しょうぐんを作つくるには、部分群ぶぶんぐんが正規部分群せいきぶぶんぐんである必要ひつようがある。

data/lecture/math/abstract-algebra/normal-subgroups-and-quotient-groups.lecture.n.md

7証明しょうめい補足ほそく：剰余類じょうよるいの分割ぶんかつとラグランジュの定理ていり

$H [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] G$ とする。左ひだり剰余類じょうよるい $a H$ と $b H$ は、交まじわらないか、完全かんぜんに一致いっちする。

まず左剰余類ひだりじょうよるい全体ぜんたいが $G$ を覆おおうことを確認かくにんする。任意にんいの $g \in G$ について、単位元たんいげん $e \in H$ だから $g = g e \in g H$ である。

証明しょうめいする。 $a H \cap b H \neq [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"varnothing\")")]$ とし、 $x \in a H \cap b H$ を取とる。すると $x = a h_{1} = b h_{2}$ となる $h_{1}, h_{2} \in H$ が存在そんざいする。ここから

b^{- 1} a = h_{2} h_{1^{- 1}} \in H

である。任意にんいの $a h \in a H$ について、

a h = b (b^{- 1} a) h

であり、 $(b^{- 1} a) h \in H$ だから $a h \in b H$ である。よって $a H \subseteq b H$ である。同おなじ議論ぎろんで $b H \subseteq a H$ も従したがうので $a H = b H$ である。

また、写像しゃぞう

H \to a H, h \mapsto a h

は全単射ぜんたんしゃである。全射ぜんしゃは $a H$ の定義ていぎから従したがう。単射たんしゃは、 $a h_{1} = a h_{2}$ なら左ひだりから $a^{- 1}$ を掛かけて $h_{1} = h_{2}$ となることから従したがう。ここでは $a^{- 1}$ が存在そんざいすること、つまり $G$ が群ぐんであることを使つかっている。

したがって、有限群ゆうげんぐん $G$ では、 $G$ は同おなじ大おおきさの左ひだり剰余類じょうよるいに分割ぶんかつされる。左ひだり剰余類じょうよるいの個数こすうを $[G : H]$ とすれば

| G | = [G : H] | H |

である。これがラグランジュの定理ていりLagrange's theorem である。

8系けい：元げんの位数いすうは群ぐんの位数いすうを割わり切きる

元げん $g$ の位数いすうorderを、巡回部分群じゅんかいぶぶんぐん $⟨ g ⟩$ の元げんの個数こすう $| ⟨ g ⟩ |$ と定さだめる。有限群ゆうげんぐん $G$ の元げん $g$ について、ラグランジュの定理ていりより、

| ⟨ g ⟩ | ∣ | G |

である。 $| ⟨ g ⟩ |$ は $g$ の位数いすうなので、有限群ゆうげんぐんでは各かく元げんの位数いすうが群ぐんの位数いすうを割わり切きる。

特とくに、 $| G | = p$ が素数そすうなら、単位元たんいげんでない元げん $g$ の位数いすうは 1 ではなく、 $p$ を割わり切きるので $p$ である。したがって $G = ⟨ g ⟩$ であり、位数いすうが素数そすうの群ぐんは巡回群じゅんかいぐんである。

9演習えんしゅうリンク

data/exercise/math/abstract-algebra/cosets-normal-subgroups-and-quotient-groups.exercise.n.md

10まとめ

群ぐんの剰余類じょうよるいは、部分群ぶぶんぐんを基準きじゅんに群ぐんを同おなじ大おおきさの箱はこへ分わける方法ほうほうである。有限群ゆうげんぐんでは、部分群ぶぶんぐんの位数いすうと各元かくげんの位数いすうは群ぐんの位数いすうを割わり切きり、素数位数そすういすうの群ぐんは巡回群じゅんかいぐんになる。商群しょうぐんを作つくるには、さらに正規性せいきせいが必要ひつようである。