剰余類じょうよるいcoset・正規部分群せいきぶぶんぐんnormal subgroup・商群しょうぐんquotient group 基本きほん演習えんしゅう

1対応たいおうする講義こうぎ

2取とり組くむ順序じゅんじょ

「剰余類じょうよるいとラグランジュの定理ていり」の後あとは問題もんだい1・2・4と、剰余類じょうよるいによる分割ぶんかつの証明演習しょうめいえんしゅうに取とり組くめる。「正規部分群せいきぶぶんぐんと商群しょうぐん」の後あとに問題もんだい3へ進すすむ。このページの prerequisites は全問題ぜんもんだいに取とり組くむための最終到達点さいしゅうとうたつてんを表あらわす。

3関連かんれん演習えんしゅう

4問題もんだい1：剰余類じょうよるいcosetを求もとめる

$$(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z},+)$$(\mathbb Z/6\mathbb Z,+) の部分群ぶぶんぐんsubgroup $$H=\left\{\right[0],[3\left]\right\}$$H=\{[0],[3]\} について、$$\left[1\right]+H$$[1]+H を求もとめよ。

4.1解答かいとう

である。

4.2解説かいせつ

剰余類じょうよるいcosetは、部分群ぶぶんぐんsubgroup全体ぜんたいを一ひとつの元げんelementでずらした集合しゅうごうsetである。

5問題もんだい2：ラグランジュの定理ていりLagrange's theoremを使つかう

位数いすうorder 12 の有限群ゆうげんぐんfinite groupに、位数いすうorder 5 の部分群ぶぶんぐんsubgroupは存在そんざいしうるか。

5.1解答かいとう

存在そんざいしない。ラグランジュの定理ていりLagrange's theoremにより、部分群ぶぶんぐんsubgroupの位数いすうorderは群ぐんgroupの位数いすうorderを割わり切きる必要ひつようがある。しかし 5 は 12 を割わり切きらない。

5.2解説かいせつ

ラグランジュの定理ていりLagrange's theoremは存在そんざい可能性かのうせいを絞しぼる定理ていりである。割わり切きることは必要ひつよう条件じょうけんnecessary conditionであり、十分じゅうぶん条件じょうけんsufficient conditionではない。

6問題もんだい3：商群しょうぐんquotient groupを作つくれる条件じょうけん

部分群ぶぶんぐんsubgroup $$N\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}G$$N\le G について、剰余類じょうよるいcosetの積せき $$\left(aN\right)\left(bN\right)=abN$$(aN)(bN)=abN が代表元だいひょうげんによらず定さだまるための必要十分条件ひつようじゅうぶんじょうけんを述のべ、両方向りょうほうこうを証明しょうめいせよ。

6.1解答かいとう

$$N$$N が正規部分群せいきぶぶんぐんnormal subgroupであることが必要十分ひつようじゅうぶんである。

まず $$N\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("trianglelefteq")")]}G$$N\trianglelefteq G とし、$$aN=a^{\prime }N$$aN=a'N、$$bN=b^{\prime }N$$bN=b'N とする。ある $$n_1,n_2\in N$$n_1,n_2\in N によって $$a^{\prime }=a{n}_1$$a'=an_1、$$b^{\prime }=b{n}_2$$b'=bn_2 と書かけるので、

である。正規性せいきせいより $$\left(b^{-1}{n}_{1}b\right)n_2\in N$$(b^{-1}n_1b)n_2\in N だから、$$a^{\prime }{b}^{\prime }N=abN$$a'b'N=abN である。

逆ぎゃくに積せきが代表元だいひょうげんによらず定さだまるとする。任意にんいの $$g\in G$$g\in G、$$n\in N$$n\in N について $$\left(gn\right)N=gN$$(gn)N=gN なので、$$g^{-1}N$$g^{-1}N を掛かけた結果けっかも等ひとしく、

である。したがって $$gn{g}^{-1}\in N$$gng^{-1}\in N であり、$$N\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("trianglelefteq")")]}G$$N\trianglelefteq G である。

6.2解説かいせつ

正規性せいきせいは積せきが代表元だいひょうげんによらず定さだまることを保証ほしょうし、逆ぎゃくにその代表元独立性だいひょうげんどくりつせいから共役きょうやく $$gn{g}^{-1}$$gng^{-1} が $$N$$N に残のこることを導みちびける。

7証明しょうめい演習えんしゅう：剰余類じょうよるいcosetによる分割ぶんかつ

7.1問題もんだい

$H\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}G$H\le G の左ひだり剰余類じょうよるいcosetが $G$G を分割ぶんかつすることを証明しょうめいせよ。

7.2解答かいとう

単位元たんいげん $$e\in H$$e\in H なので、任意にんいの $g\in G$g\in G は $g=ge\in gH$g=ge\in gH であり、左ひだり剰余類じょうよるいcosetの合併がっぺいで $G$G は覆おおわれる。もし $aH\cap bH\ne \text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("varnothing")")]}$aH\cap bH\ne\varnothing なら、ある $x$x について $x=a{h}_1=b{h}_2$x=ah_1=bh_2 である。すると $b^{-1}a=h_2{h}_{1^{-1}}\in H$b^{-1}a=h_2h_1^{-1}\in H である。任意にんいの $$ah\in aH$$ah\in aH について

なので $$aH\subseteq bH$$aH\subseteq bH である。同おなじ議論ぎろんで $$bH\subseteq aH$$bH\subseteq aH も従したがい、$$aH=bH$$aH=bH となる。よって交まじわる二ふたつの類るいは一致いっちする。

7.3解説かいせつ

剰余類じょうよるいcosetは集合しゅうごうsetとしてはいつも分割ぶんかつを作つくるが、積せきを入いれて群ぐんgroupにするには正規性せいきせいが必要ひつようである。

8問題もんだい4：ラグランジュの定理ていりから元げんの位数いすうへ

有限群ゆうげんぐん $$G$$G の元げん $$g$$g について、$$g$$g の位数いすうが $$\left|G\right|$$|G| を割わり切きることを証明しょうめいせよ。さらに、$$\left|G\right|=p$$|G|=p が素数そすうなら $$G$$G が巡回群じゅんかいぐんであることを示しめせ。

8.1解答かいとう

$$g$$g が生成せいせいする $$⟨g⟩$$\langle g\rangle は $$G$$G の部分群ぶぶんぐんであり、$$g$$g の位数いすうは $$|⟨g⟩|$$|\langle g\rangle| である。ラグランジュの定理ていりをこの部分群ぶぶんぐんに適用てきようすると、

を得える。

$$\left|G\right|=p$$|G|=p が素数そすうなら、単位元たんいげんでない $$g\in G$$g\in G を取とる。$$g$$g の位数いすうは 1 ではなく $$p$$p を割わり切きるので、$$p$$p である。したがって $$|⟨g⟩|=\left|G\right|$$|\langle g\rangle|=|G| であり、$$⟨g⟩=G$$\langle g\rangle=G となる。よって $$G$$G は巡回群じゅんかいぐんである。