正規部分群せいきぶぶんぐんnormal subgroupと商群しょうぐんquotient group

date2026-07-14document_iddoc_439dabe4b5d3745363a37869e69b53a5description正規部分群を、剰余類の集合に群構造を入れるための条件として説明し、商群の意味を整理する。prerequisites[剰余類/じょうよるい]とラグランジュの[定理/ていり]type講義content_typelecturestatusactive

mathabstract-algebragroup-theorylecture

剰余類じょうよるいの集合しゅうごうを作つくるだけなら、任意にんいの部分群ぶぶんぐんでよい。しかし、剰余類じょうよるいどうしを掛かけて再ふたたび剰余類じょうよるいにしたいなら、代表元だいひょうげんの選えらび方かたに依存いぞんしない必要ひつようがある。この条件じょうけんを満みたす部分群ぶぶんぐんが正規部分群せいきぶぶんぐんである。

1正規部分群せいきぶぶんぐんの定義ていぎ

部分群ぶぶんぐん $N [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] G$ が正規部分群せいきぶぶんぐんであるとは、任意にんいの $g \in G$ について

g N = N g

が成立せいりつすることである。このとき

N [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"trianglelefteq\")")] G

と書かく。

$g n g^{- 1}$ を $n$ の $g$ による共役きょうやくconjugateという。同どう値あたいな条件じょうけんとして、任意にんいの $g \in G$ 、 $n \in N$ について

g n g^{- 1} \in N

が成立せいりつすることでもよい。

二ふたつの条件じょうけんが同値どうちであることを確認かくにんする。 $g N = N g$ なら、 $g n \in g N = N g$ なので $g n = n^{'} g$ となる $n^{'} \in N$ があり、 $g n g^{- 1} = n^{'} \in N$ である。逆ぎゃくに共役きょうやくの条件じょうけんを仮定かていすると、 $g n = (g n g^{- 1}) g \in N g$ なので $g N \subseteq N g$ である。また $g^{- 1} n g \in N$ より $n g = g (g^{- 1} n g) \in g N$ なので $N g \subseteq g N$ であり、 $g N = N g$ となる。

2何故なぜ正規性せいきせいが必要ひつようか

剰余類じょうよるいの積せきを

(g N) (h N) = (g h) N

で定義ていぎしたい。この定義ていぎが代表元だいひょうげんによらないためには、 $g$ や $h$ を同おなじ剰余類じょうよるいの別べつの元げんに取とり替かえても、結果けっかが同おなじ剰余類じょうよるいになる必要ひつようがある。

正規性せいきせいは、この代表元独立性だいひょうげんどくりつせい（well-definedness）を保証ほしょうする条件じょうけんである。

3商群しょうぐん

$N [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"trianglelefteq\")")] G$ のとき、剰余類じょうよるい全体ぜんたい

G / N = {g N ∣ g \in G}

は、積せき

(g N) (h N) = (g h) N

によって群ぐんになる。代表元独立性だいひょうげんどくりつせいは後あとで証明しょうめいする。群ぐんの公理こうりは

((a N) (b N)) (c N) = ((a b) c) N = (a (b c)) N = (a N) ((b N) (c N)),

N (g N) = (g N) N = g N, (g N) (g^{- 1} N) = (g^{- 1} N) (g N) = N

と確認かくにんできる。したがって単位元たんいげんは $N = e N$ 、 $g N$ の逆元ぎゃくげんは $g^{- 1} N$ である。これを商群しょうぐんという。

商群しょうぐんでは、 $N$ に属ぞくする違ちがいを 0 のように潰つぶして見みる。つまり、 $N$ の中なかで動うごく差さを無視むしして、残のこった構造こうぞうだけを調しらべる。

4具体例ぐたいれい：整数せいすうの商群しょうぐん

$n [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"ge\")")] 1$ とする。 $(Z, +)$ において、 $n Z$ は正規部分群せいきぶぶんぐんである。何故なぜなら $Z$ は可換群かかんぐんだから、全すべての部分群ぶぶんぐんが正規せいきである。

商群しょうぐん

Z / n Z

は、整数せいすうを $n$ で割わった余あまりで分類ぶんるいした群ぐんである。

5何なにを変かえて何なにを保存ほぞんするか

商群しょうぐんでは、 $N$ の中なかの違ちがいを見みない。変かわるのは元げんの粒度りゅうどであり、個々ここの元げんではなく剰余類じょうよるいを元げんとして扱あつかう。一方いっぽうで、群ぐんの演算えんざん構造こうぞうは代表元だいひょうげんによらず定さだまる形かたちで保存ほぞんされる。

6証明しょうめい補足ほそく：商群しょうぐんの演算えんざんが代表元だいひょうげんによらず定さだまる条件じょうけん

$N [PARSE ERROR: Undefined("Command(\"le\")")] G$ とする。剰余類じょうよるいどうしの積せきを

(a N) (b N) = (a b) N

で定義ていぎしたい。この定義ていぎが代表元だいひょうげんの選えらび方かたに依存いぞんしないためには、 $N$ が正規部分群せいきぶぶんぐんnormal subgroup であることが必要ひつようである。

まず $N$ が正規せいきだとする。 $a N = a^{'} N$ 、 $b N = b^{'} N$ とする。このとき $a^{'} = a n_{1}$ 、 $b^{'} = b n_{2}$ となる $n_{1}, n_{2} \in N$ が存在そんざいする。すると

a^{'} b^{'} = a n_{1} b n_{2} = a b (b^{- 1} n_{1} b) n_{2}

である。 $N$ は正規せいきなので $b^{- 1} n_{1} b \in N$ であり、したがって $(b^{- 1} n_{1} b) n_{2} \in N$ である。よって $a^{'} b^{'} N = a b N$ である。つまり積せきは代表元だいひょうげんに依存いぞんしない。

逆ぎゃくに、この積せきが常つねに代表元だいひょうげんによらず定さだまるとする。任意にんいの $g \in G$ と $n \in N$ を取とる。左ひだり剰余類じょうよるいとして $(g n) N = g N$ なので、第一だいいち因子いんしの代表元だいひょうげんを $g$ から $g n$ に替かえても、 $g^{- 1} N$ との積せきは同おなじでなければならない。したがって

(g N) (g^{- 1} N) = N, ((g n) N) (g^{- 1} N) = g n g^{- 1} N

が同おなじ剰余類じょうよるいになる。よって $g n g^{- 1} N = N$ 、すなわち $g n g^{- 1} \in N$ である。任意にんいの $g, n$ について成立せいりつするので、 $N$ は正規せいきである。

つまり、正規性せいきせいは「剰余類じょうよるいを要素ようそとして掛かけても矛盾むじゅんしない」ことを保証ほしょうする条件じょうけんである。

7演習えんしゅうリンク

data/exercise/math/abstract-algebra/cosets-normal-subgroups-and-quotient-groups.exercise.n.md

8反例はんれい：すべての部分群ぶぶんぐんが正規せいきとは限かぎらない

対称群たいしょうぐん $S_{3}$ で、 $H = {e, (12)}$ を考かんがえる。これは部分群ぶぶんぐんである。しかし $g = (13)$ とすると、

g H = {(13), (13) (12)}

であり、

H g = {(13), (12) (13)}

である。ここで $(13) (12)$ と $(12) (13)$ は異ことなる置換ちかんである。したがって $g H \neq H g$ であり、 $H$ は正規部分群せいきぶぶんぐんではない。

この例れいでは剰余類じょうよるいの集合しゅうごうは作つくれるが、剰余類じょうよるいどうしの積せきを代表元だいひょうげんによらず定義ていぎできない。実際じっさい、 $H = e H = (12) H$ だが、 $H \cdot g H$ を代表元だいひょうげん $e$ で計算けいさんすると $g H$ 、 $(12)$ で計算けいさんすると $(12) g H$ となる。もし両者りょうしゃが等ひとしければ $g^{- 1} (12) g = (23) \in H$ となるが、これは $H = {e, (12)}$ に矛盾むじゅんする。つまり、非可換ひかかんな群ぐんでは正規性せいきせいの確認かくにんが本質的ほんしつてきである。

9まとめ

部分群ぶぶんぐん $N$ が正規せいきであることは、剰余類じょうよるいの積せきを代表元だいひょうげんによらず定さだめ、剰余類じょうよるいの集合しゅうごうに群ぐん構造こうぞうを入いれるための必要十分条件ひつようじゅうぶんじょうけんである。商群しょうぐんは、正規部分群せいきぶぶんぐんの中なかの違ちがいを潰つぶして残のこる構造こうぞうを見みる方法ほうほうである。