準同型じゅんどうけいhomomorphismと同型どうけいisomorphism 基本きほん演習えんしゅう

1対応たいおうする講義こうぎ

2関連かんれん演習えんしゅう

3順序じゅんじょ上じょうの注意ちゅうい

問題もんだい1・2 は「群準同型ぐんじゅんどうけいと同型どうけい」までで取とり組くめる。問題もんだい4 は「準同型じゅんどうけいの基本きほん」の後あとに、問題もんだい3 は「第一同型定理だいいちどうけいていりの見取みとり図ず」の後あとに扱あつかう。証明しょうめい演習えんしゅうでは、前まえに導入どうにゅうした部分群判定法ぶぶんぐんはんていほうと正規部分群せいきぶぶんぐんを使つかう。

4問題もんだい1：群準同型ぐんじゅんどうけいgroup homomorphismを確認かくにんする

$$\phi :\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$$\varphi:\mathbb Z\to\mathbb Z/5\mathbb Z を $$\phi \left(k\right)=\left[k\right]$$\varphi(k)=[k] で定さだめる。これは加法かほうaddition群ぐんgroupの準同型じゅんどうけいhomomorphismか。

4.1解答かいとう

準同型じゅんどうけいhomomorphismである。任意にんいの整数せいすう $$a,b$$a,b について

だからである。

4.2解説かいせつ

準同型じゅんどうけいhomomorphismでは、演算えんざんoperationしてから写うつすことと、写うつしてから演算えんざんoperationすることが一致いっちするかを見みる。

5問題もんだい2：核かくkernelを求もとめる

問題もんだい1の準同型じゅんどうけいhomomorphismの核かくkernelを求もとめよ。

5.1解答かいとう

核かくkernelは $$\left[0\right]$$[0] に送おくられる整数全体せいすうぜんたいである。

である。

5.2解説かいせつ

核かくkernelは潰つぶれる部分ぶぶんである。この例れいでは、5 の倍数ばいすうが 0 の剰余類じょうよるいに送おくられる。

6問題もんだい3：第一同型定理だいいちどうけいていりを使つかう

直積集合ちょくせきしゅうごう $$\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$$\mathbb Z/6\mathbb Z\times\mathbb Z/4\mathbb Z に成分せいぶんごとの加法かほう

を入いれると群ぐんになる。この群ぐんへの群準同型ぐんじゅんどうけい

の核かくと像ぞうを求もとめ、第一同型定理だいいちどうけいていりが与あたえる同型どうけいを述のべよ。

6.1解答かいとう

$$\psi \left(k\right)=\left(\right[0{]}_6,\left[0{]}_4\right)$$\psi(k)=([0]_6,[0]_4) となるのは 6 と 4 がともに $$k$$k を割わり切きるときである。したがって

像ぞうは $$\left(\right[1{]}_6,\left[1{]}_4\right)$$([1]_6,[1]_4) が生成せいせいする巡回部分群じゅんかいぶぶんぐんである。また、整数せいすう $$k,\ell$$k,\ell について

である。したがって $$\psi \left(0\right),\dots ,\psi \left(11\right)$$\psi(0),\ldots,\psi(11) は互たがいに異ことなり、任意にんいの $$\psi \left(k\right)$$\psi(k) はそのいずれかに等ひとしいので、像ぞうはちょうど 12 個この元げんを持もつ。よって第一同型定理だいいちどうけいていりから

を得える。

6.2解説かいせつ

終域しゅういきは 24 元げんを持もつが、像ぞうはその半分はんぶんの 12 元げんだけである。第一同型定理だいいちどうけいていりは、核かくで潰つぶした群ぐんが終域全体しゅういきぜんたいではなく像ぞうと同型どうけいになることを具体的ぐたいてきに示しめす。

7問題もんだい4：環準同型かんじゅんどうけいの核かくと像ぞう

写像しゃぞう

が環準同型かんじゅんどうけいであることを示しめし、その核かくと像ぞうを求もとめよ。

7.1解答かいとう

任意にんいの $$f,g\in \mathbb{Z}\left[x\right]$$f,g\in\mathbb Z[x] について

なので、$${\mathrm{ev}}_0$$\operatorname{ev}_0 は環準同型かんじゅんどうけいである。$$f\left(0\right)=0$$f(0)=0 であることは $$f$$f の定数項ていすうこうが 0 であることと同値どうちであり、そのとき $$f\left(x\right)=xq\left(x\right)$$f(x)=xq(x) と書かける。したがって

である。また、任意にんいの $$n\in \mathbb{Z}$$n\in\mathbb Z は定数多項式ていすうたこうしき $$n$$n の像ぞうなので、

である。

7.2解説かいせつ

評価写像ひょうかしゃぞうは、多項式たこうしきの演算えんざんを値あたいの演算えんざんへ移うつす。核かく $$x\mathbb{Z}\left[x\right]$$x\mathbb Z[x] は 0 を根こんに持もつ多項式たこうしき全体ぜんたいであり、環準同型かんじゅんどうけいの核かくがイデアルになる具体例ぐたいれいである。

8証明しょうめい演習えんしゅう：核かくkernelと単射たんしゃinjectionの関係かんけい

8.1問題もんだい

$\phi :G\to H$\varphi:G\to H を群準同型ぐんじゅんどうけいgroup homomorphismとする。$\ker \phi$\ker\varphi が正規部分群せいきぶぶんぐんであること、また $\phi$\varphi が単射たんしゃinjectionであることと $\ker \phi =\left\{e_G\right\}$\ker\varphi=\{e_G\} が同値どうちであることを証明しょうめいせよ。

8.2解答かいとう

$$\phi \left(e_G\right)=e_H$$\varphi(e_G)=e_H なので $$e_G\in \ker \phi$$e_G\in\ker\varphi であり、核かくは空からではない。また、$a,b\in \ker \phi$a,b\in\ker\varphi なら

なので $a{b}^{-1}\in \ker \phi$ab^{-1}\in\ker\varphi であり、部分群判定法ぶぶんぐんはんていほうから部分群ぶぶんぐんである。さらに $$g\in G$$g\in G、$$a\in \ker \phi$$a\in\ker\varphi に対たいして

なので核かくkernelは正規せいきである。

$\phi$\varphi が単射たんしゃinjectionで $$g\in \ker \phi$$g\in\ker\varphi なら、$\phi \left(g\right)=e_H=\phi \left(e_G\right)$\varphi(g)=e_H=\varphi(e_G) から $g=e_G$g=e_G である。よって $\ker \phi =\left\{e_G\right\}$\ker\varphi=\{e_G\} である。逆ぎゃくに $\ker \phi =\left\{e_G\right\}$\ker\varphi=\{e_G\} とし、$\phi \left(g_1\right)=\phi \left(g_2\right)$\varphi(g_1)=\varphi(g_2) とする。このとき $\phi \left(g_1{g}_{2^{-1}}\right)=e_H$\varphi(g_1g_2^{-1})=e_H なので $g_1{g}_{2^{-1}}=e_G$g_1g_2^{-1}=e_G である。よって $g_1=g_2$g_1=g_2 である。

8.3解説かいせつ

核かくkernelは準同型じゅんどうけいhomomorphismで潰つぶれる部分ぶぶんである。核かくkernelが単位元たんいげんidentity elementだけなら、異ことなる元もとが同おなじ行いき先さきに潰つぶれない。