第一同型定理だいいちどうけいていりfirst isomorphism theoremの見取みとり図ず

第一同型定理だいいちどうけいていりの中心ちゅうしんにある考かんがえは単純たんじゅんである。準同型じゅんどうけいで同おなじ値あたいに潰つぶれる元げんを先さきに同一視どういつしすると、残のこった構造こうぞうは像ぞうと同おなじになる。「第一準同型定理だいいちじゅんどうけいていり」とよぶ流儀りゅうぎもあるが、この教材きょうざいでは第一同型定理だいいちどうけいていりに統一とういつする。

この見方みかたは、群ぐん、環かん、線型代数せんけいだいすうに共通きょうつうしている。

線型代数せんけいだいすうは類似るいじを示しめすための接続せつぞくであり、このページの証明しょうめいでは群ぐんと環かんで導入どうにゅうした核かく・像ぞう・商しょうだけを使つかう。

1第一同型定理だいいちどうけいていりの形かたち

群準同型ぐんじゅんどうけい $$\phi :G\to H$$\varphi:G\to H に対たいして、

が成立せいりつする。

環準同型かんじゅんどうけい $$\phi :R\to S$$\varphi:R\to S に対たいしても、

が成立せいりつする。

式しきは同おなじ形かたちである。違ちがうのは、群ぐんでは核かくが正規部分群せいきぶぶんぐんであり、環かんでは核かくがイデアルである点てんである。

2何故なぜそうなるか

群準同型ぐんじゅんどうけい $$\phi :G\to H$$\varphi:G\to H では、

である。したがって、二ふたつの元げんが同おなじ像ぞうを持もつことと、同おなじ左剰余類ひだりじょうよるい $$g\ker \phi$$g\ker\varphi に属ぞくすることは同値どうちである。そこで、

という剰余類じょうよるいを、

へ送おくる写像しゃぞうは、代表元だいひょうげんの選えらび方かたによらず定さだまる。

環準同型かんじゅんどうけい $$\phi :R\to S$$\varphi:R\to S でも、

である。したがって、二ふたつの元げんが同おなじ像ぞうを持もつことと、同おなじ加法剰余類かほうじょうよるい $$r+\ker \phi$$r+\ker\varphi に属ぞくすることは同値どうちである。よって $$r+\ker \phi \mapsto \phi \left(r\right)$$r+\ker\varphi\mapsto\varphi(r) も代表元だいひょうげんによらず定さだまる。

3線型代数せんけいだいすうとの対応たいおう

線型せんけい写像しゃぞう $$T:V\to W$$T:V\to W では、核かくは

であり、像ぞうは

である。核かく方向ほうこうを潰つぶすと、残のこる自由度じゆうどが像ぞうになる。この直感ちょっかんは、階数かいすう・退化たいか・商空間しょうくうかんの理解りかいにつながる。

この対応たいおうは見通みとおしであり、線型せんけい写像しゃぞうの定理ていりを使つかって第一同型定理だいいちどうけいていりを証明しょうめいしているわけではない。

4何なにが変かわり、何なにが保存ほぞんされるか

第一同型定理だいいちどうけいていりでは、核かくの中なかの違ちがいを潰つぶす。変かわるのは元げんの識別しきべつの細こまかさである。保存ほぞんされるのは、準同型じゅんどうけいによって実際じっさいに観測かんそくできる構造こうぞう、つまり像ぞうである。

5証明しょうめい補足ほそく：第一同型定理だいいちどうけいていりの証明しょうめい

$\phi :G\to H$\varphi:G\to H を群準同型ぐんじゅんどうけいとする。第一同型定理だいいちどうけいていりfirst isomorphism theorem は

を主張しゅちょうする。

まず群ぐんの場合ばあいを証明しょうめいし、その後あとに環かんの場合ばあいを証明しょうめいする。

群準同型ぐんじゅんどうけいの核かくは正規部分群せいきぶぶんぐんなので、$$G/\ker \phi$$G/\ker\varphi は商群しょうぐんとして定義ていぎできる。

写像しゃぞう

を定義ていぎする。まず、この値あたいが剰余類じょうよるいの代表元だいひょうげんの取とり方かたによらないこと（well-defined）を示しめす。$g\ker \phi =g^{\prime }\ker \phi$g\ker\varphi=g'\ker\varphi なら $g^{-1}{g}^{\prime }\in \ker \phi$g^{-1}g'\in\ker\varphi である。したがって

であり、$\phi \left(g{)}^{-1}\phi \right(g^{\prime })=e$\varphi(g)^{-1}\varphi(g')=e だから $\phi \left(g\right)=\phi \left(g^{\prime }\right)$\varphi(g)=\varphi(g') である。

つぎに $\mathrm{\Phi }$\Phi は準同型じゅんどうけいである。

である。全射ぜんしゃは像ぞうの定義ていぎから従したがう。単射たんしゃは、前まえに示しめした「核かくが単位元たんいげんだけなら単射たんしゃ」という判定法はんていほうを $$\mathrm{\Phi }$$\Phi に使つかえばよい。実際じっさい、$\mathrm{\Phi }\left(g\ker \phi \right)=e$\Phi(g\ker\varphi)=e なら $\phi \left(g\right)=e$\varphi(g)=e、つまり $g\in \ker \phi$g\in\ker\varphi なので $g\ker \phi =\ker \phi$g\ker\varphi=\ker\varphi となる。

よって $\mathrm{\Phi }$\Phi は同型どうけいであり、$G/\ker \phi \cong \mathrm{Im}\phi$G/\ker\varphi\cong\operatorname{Im}\varphi である。

次つぎに、$$\phi :R\to S$$\varphi:R\to S を環準同型かんじゅんどうけいとする。環準同型かんじゅんどうけいの核かくは $$R$$R のイデアルなので、$$R/\ker \phi$$R/\ker\varphi は商環しょうかんとして定義ていぎできる。写像しゃぞう

を考かんがえる。$$r+\ker \phi =r^{\prime }+\ker \phi$$r+\ker\varphi=r'+\ker\varphi なら $$r-r^{\prime }\in \ker \phi$$r-r'\in\ker\varphi なので、

であり、$$\mathrm{\Psi }$$\Psi は well-defined である。剰余類じょうよるいの和わと積せきの定義ていぎから、

なので、$$\mathrm{\Psi }$$\Psi は環準同型かんじゅんどうけいである。全射ぜんしゃは像ぞうの定義ていぎから従したがう。また、$$\mathrm{\Psi }(r+\ker \phi )=\mathrm{\Psi }(r^{\prime }+\ker \phi )$$\Psi(r+\ker\varphi)=\Psi(r'+\ker\varphi) なら $$\phi (r-r^{\prime })=0$$\varphi(r-r')=0、すなわち $$r-r^{\prime }\in \ker \phi$$r-r'\in\ker\varphi なので、$$r+\ker \phi =r^{\prime }+\ker \phi$$r+\ker\varphi=r'+\ker\varphi である。したがって $$\mathrm{\Psi }$$\Psi は単射たんしゃでもあり、

を得える。どちらの証明しょうめいも、核かくで潰つぶしてから写うつすと、ちょうど像ぞうだけが残のこるという同おなじ構造こうぞうを表あらわしている。

6演習えんしゅうリンク

7まとめ

第一同型定理だいいちどうけいていりは、「核かくで割わると像ぞうになる」という定理ていりである。群ぐん、環かん、線型せんけい写像しゃぞうで同おなじ形かたちが現あらわれるため、抽象代数ちゅうしょうだいすうと線型代数せんけいだいすうを結むすぶ重要じゅうような見取みとり図ずになる。