イデアルと商環しょうかんquotient ring

群ぐんで商群しょうぐんを作つくるには正規部分群せいきぶぶんぐんが必要ひつようだった。環かんで商環しょうかんを作つくるには、正規部分群せいきぶぶんぐんに対応たいおうする役割やくわりを持もつ部分集合ぶぶんしゅうごうが必要ひつようである。それがイデアルidealである。

1イデアルの定義ていぎ

環かん $$R$$R の部分集合ぶぶんしゅうごう $$I$$I がイデアルであるとは、$$0\in I$$0\in I であり、さらに次つぎを満みたすことである。

$$0\in I$$0\in I により $$I$$I は空からではない。第一だいいち条件じょうけんは、$$I$$I が加法かほうについて部分群ぶぶんぐんであることを表あらわす。第二だいに条件じょうけんは、環かんの任意にんいの元げんを掛かけても $$I$$I の中なかに残のこることを表あらわす。

可換環かかんかんでは $$ra$$ra と $$ar$$ar は同おなじなので、片側かたがわだけ確認かくにんすればよい。

2何故なぜイデアルが必要ひつようか

商環しょうかんでは、$$I$$I の元げんを 0 とみなす。つまり、$$a$$a と $$b$$b の差さが $$I$$I に属ぞくするとき、同おなじ元げんとして扱あつかう。

$$I$$I は加法部分群かほうぶぶんぐんなので、これは同値関係どうちかんけいである。反射性はんしゃせいは $$a-a=0\in I$$a-a=0\in I から従したがう。$$a-b\in I$$a-b\in I なら $$b-a=-(a-b)\in I$$b-a=-(a-b)\in I なので対称性たいしょうせいを満みたす。また、$$a-b\in I$$a-b\in I、$$b-c\in I$$b-c\in I なら

なので推移性すいいせいも満みたす。

この同値関係どうちかんけいで作つくった同値類どうちるいを使つかい、

と定義ていぎしたい。$$I$$I が加法部分群かほうぶぶんぐんであるもとで、この乗法じょうほうが代表元だいひょうげんによらず定さだまるためには、さらに左右さゆうの吸収性きゅうしゅうせい、すなわちイデアル条件じょうけんが必要ひつようである。

ここでの同値類どうちるいは $$a+I=\{a+i\mid i\in I\}$$a+I=\{a+i\mid i\in I\} と書かける。商環しょうかんでは、これらの類るい全体ぜんたいを元げんとして扱あつかう。

3整数せいすうの例れい

$$n\mathbb{Z}=\{nk\mid k\in \mathbb{Z}\}$$n\mathbb Z=\{nk\mid k\in\mathbb Z\} は $$\mathbb{Z}$$\mathbb Z のイデアルである。

商環しょうかん

は、整数せいすうを $$n$$n の倍数ばいすうの差さを無視むししてまとめたものである。これは合同式ごうどうしきの世界せかいそのものである。

4商群しょうぐんとの対応たいおう

どちらも、核かくとして潰つぶれる部分ぶぶんを構造こうぞうの単位元たんいげんと同一視どういつしして商しょうを作つくるという点てんで同おなじである。群ぐんでは乗法記法じょうほうきほうの単位元たんいげん $$e$$e、環かんでは加法単位元かほうたんいげん 0 に潰つぶす。

環準同型かんじゅんどうけいと第一同型定理だいいちどうけいていりは後あとで扱あつかう。この表ひょうは、イデアルが後あとで核かくとして現あらわれるという見通みとおしを示しめすためのものである。

5何なにを変かえて何なにを保存ほぞんするか

商環しょうかんでは、イデアルの中なかの違ちがいを 0 として潰つぶす。変かわるのは元げんの粒度りゅうどである。一方いっぽうで、加法かほう、乗法じょうほう、分配法則ぶんぱいほうそくは商しょうの上うえでも well-definedwell-defined に保存ほぞんされる。

6証明しょうめい補足ほそく：商環しょうかんの演算えんざんが代表元だいひょうげんによらない理由りゆう

$I$I を環かん $R$R のイデアルideal とする。剰余類じょうよるいの和わと積せきを

で定義ていぎする。この定義ていぎが代表元だいひょうげんに依存いぞんしないことを証明しょうめいする。

$a+I=a^{\prime }+I$a+I=a'+I、$b+I=b^{\prime }+I$b+I=b'+I とする。これは $a^{\prime }-a\in I$a'-a\in I、$b^{\prime }-b\in I$b'-b\in I という意味いみである。和わについては

なので $(a^{\prime }+b^{\prime })+I=(a+b)+I$(a'+b')+I=(a+b)+I である。

積せきについては

である。$b^{\prime }-b\in I$b'-b\in I であり、$I$I は環かんの要素ようそを掛かけても $I$I の中なかに残のこるので $a^{\prime }(b^{\prime }-b)\in I$a'(b'-b)\in I である。同おなじく $(a^{\prime }-a)b\in I$(a'-a)b\in I である。したがって $a^{\prime }{b}^{\prime }-ab\in I$a'b'-ab\in I であり、$a^{\prime }{b}^{\prime }+I=ab+I$a'b'+I=ab+I である。

この証明しょうめいから、イデアルの条件じょうけんは「余あまりの類るいどうしを掛かけても壊こわれない」ための条件じょうけんだと分わかる。

逆ぎゃくに、$$I$$I が加法かほうについて部分群ぶぶんぐんであり、$$(a+I)(b+I)=ab+I$$(a+I)(b+I)=ab+I が代表元だいひょうげんによらず定さだまると仮定かていする。$$i\in I$$i\in I なら $$i+I=0+I$$i+I=0+I なので、任意にんいの $$r\in R$$r\in R について

である。したがって $$ri+I=0+I$$ri+I=0+I、$$ir+I=0+I$$ir+I=0+I、すなわち $$ri,ir\in I$$ri,ir\in I である。よって積せきの well-definedness は左右さゆうの吸収性きゅうしゅうせいを強制きょうせいする。加法部分群かほうぶぶんぐんという条件じょうけんと合あわせると、イデアル条件じょうけんは十分じゅうぶんであるだけでなく必要ひつようでもある。

演算えんざんが well-defined だと分わかったので、環かんの公理こうりも確認かくにんできる。加法単位元かほうたんいげんは $$0+I$$0+I、$$a+I$$a+I の加法逆元かほうぎゃくげんは $$(-a)+I$$(-a)+I、乗法単位元じょうほうたんいげんは $$1+I$$1+I である。たとえば分配法則ぶんぱいほうそくは

となる。加法かほうの結合けつごう・交換法則こうかんほうそく、乗法じょうほうの結合法則けつごうほうそく、もう一方いっぽうの分配法則ぶんぱいほうそくも、$$R$$R の対応たいおうする公理こうりを代表元だいひょうげんに適用てきようすれば従したがう。したがって、これらの演算えんざんをもつ剰余類じょうよるい全体ぜんたい $$R/I$$R/I は環かんである。$$I=R$$I=R のときは $$0+I=1+I$$0+I=1+I となり、この教材きょうざいで環かんに含ふくめている零環れいかんを得える。

7演習えんしゅうリンク

8まとめ

イデアルは、商環しょうかんを作つくるための部分集合ぶぶんしゅうごうである。商環しょうかんでは、イデアルの元げんを 0 とみなし、残のこった剰余類じょうよるいに加法かほうと乗法じょうほうを入いれる。整数せいすうの $$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$$\mathbb Z/n\mathbb Z は最もっとも基本きほん的てきな商環しょうかんである。