環かんringの基本きほん

群ぐんgroupは一ひとつの演算えんざんoperationを持もつ構造こうぞうstructureだった。環かんringは、加法かほうadditionと乗法じょうほうmultiplicationという二ふたつの演算えんざんoperationを同時どうじに持もつ構造こうぞうstructureである。

環かんringを学まなぶ目的もくてきは、整数せいすうinteger、多項式たこうしきpolynomial、行列ぎょうれつmatrix、剰余類じょうよるいresidue classを同おなじ言葉ことばで扱あつかうことである。これらは見みた目めは違ちがうが、加法かほうadditionと乗法じょうほうmultiplicationが分配法則ぶんぱいほうそくdistributive lawで結むすびついている。

1環かんの定義ていぎ

集合しゅうごうset $$R$$R と二ふたつの演算えんざんoperation $$+$$+、$$·$$\cdot の組くみ $$(R,+,·)$$(R,+,\cdot) が環かんringであるとは、次つぎを満みたすことである。

まず、$$(R,+)$$(R,+) は可換群かかんぐんabelian groupである。つまり、加法かほうadditionは結合法則けつごうほうそくと交換法則こうかんほうそくを満みたし、加法単位元かほうたんいげん 0 があり、各かく元げんelement $$a$$a に加法逆元かほうぎゃくげんadditive inverse $$-a$$-a がある。

次つぎに、$$(R,·)$$(R,\cdot) はモノイドである。つまり、乗法じょうほうmultiplicationは結合法則けつごうほうそくassociative lawを満みたし、乗法単位元じょうほうたんいげんmultiplicative identity $$1$$1 をもつ。

さらに、加法かほうadditionと乗法じょうほうmultiplicationは分配法則ぶんぱいほうそくdistributive lawで結むすばれる。

ここで公理こうりは $$a,b,c\in R$$a,b,c\in R の任意にんいの選えらび方かたについて成立せいりつするものとする。$$1$$1 を要求ようきゅうしない流儀りゅうぎもあるが、この教材きょうざいでは、特とくに断ことわらない限かぎり、環かんringは $$1$$1 を持もつものとして扱あつかう。また、この定義ていぎでは $$0=1$$0=1 である零環れいかんも環かんに含ふくめる。体たいや整域せいいきのように零環れいかんを除のぞく構造こうぞうでは、$$0\ne 1$$0\ne1 を定義ていぎに明示めいじする。

2何故なぜ乗法逆元じょうほうぎゃくげんを要求ようきゅうしないか

整数せいすう環かん $$\mathbb{Z}$$\mathbb Z では、2 の乗法逆元じょうほうぎゃくげんは整数せいすうの中なかに存在そんざいしない。もし環かんの定義ていぎで 0 以外いがいの全すべてに乗法逆元じょうほうぎゃくげんを要求ようきゅうすると、整数せいすうを環かんとして扱あつかえなくなる。

環かんは、割わり算ざんまでは要求ようきゅうしない。その代かわり、足たし算ざんと掛かけ算ざんが一緒いっしょに動うごく構造こうぞうを保たもつ。

$$0\ne 1$$0\ne1 であり、0 以外いがいの全すべてに乗法逆元じょうほうぎゃくげんを要求ようきゅうした可換環かかんかんが体たいである。

3基本きほん例れい

行列積ぎょうれつせきが非可換ひかかんであるため、環かんでは乗法じょうほうの可換性かかんせいを必かならずしも要求ようきゅうしない。

$$M_n\left(\mathbb{Z}\right)$$M_n(\mathbb Z) は $$n\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}2$$n\ge2 のときの非可換ひかかん環かんの代表例だいひょうれいとして挙あげている。行列ぎょうれつの詳くわしい理論りろんは、この章しょうの環かんの定義ていぎには必要ひつようない。

4何なにが保存ほぞんされるか

環かんでは、加法かほうの可換群かかんぐん構造こうぞう、乗法じょうほうのモノイド構造こうぞう、分配法則ぶんぱいほうそくが同時どうじに成立せいりつする。足たし算ざんだけを見みると可換群かかんぐんであり、掛かけ算ざんだけを見みるとモノイドである。分配法則ぶんぱいほうそくがこの二ふたつを結むすぶため、展開てんかいや因数分解いんすうぶんかいのような計算けいさんができる。

5公理こうりから従したがう基本恒等式きほんこうとうしき

環かんでは、$$a,b\in R$$a,b\in R に対たいして

が成立せいりつする。これらは追加ついかの公理こうりではなく、分配法則ぶんぱいほうそくと加法逆元かほうぎゃくげんから導みちびかれる。

たとえば

である。加法かほうについて両辺りょうへんに $$-\left(a0\right)$$-(a0) を加くわえると $$0=a0$$0=a0 を得える。また、

なので、$$(-a)b$$(-a)b は $$ab$$ab の加法逆元かほうぎゃくげんであり、$$(-a)b=-\left(ab\right)$$(-a)b=-(ab) である。$$a(-b)=-\left(ab\right)$$a(-b)=-(ab) も同様どうように示しめせる。したがって

も従したがう。実際じっさい、$$(-a)(-b)=-\left(\right(-a\left)b\right)=-(-(ab\left)\right)=ab$$(-a)(-b)=-((-a)b)=-(-(ab))=ab である。

6演習えんしゅうリンク

7補足ほそく：単元たんげんと体たいの違ちがい

環かん $$R$$R の元げん $$u$$u が単元たんげんunitであるとは、ある $$v\in R$$v\in R が存在そんざいして

となることである。体たいでは 0 以外いがいの全すべての元げんが単元たんげんである。しかし一般いっぱんの環かんでは、単元たんげんは一部いちぶの元げんだけである。

たとえば $$\mathbb{Z}$$\mathbb Z の単元たんげんは $$1$$1 と $$-1$$-1 だけである。2 は $$\mathbb{Z}$$\mathbb Z の元げんだが、$$2v=1$$2v=1 となる整数せいすう $$v$$v は存在そんざいしない。したがって、環かんでは「掛かけられる」ことと「割われる」ことを区別くべつする必要ひつようがある。

8注意ちゅうい：可換かかんでない環かん

行列ぎょうれつ環かん $$M_n\left(\mathbb{Z}\right)$$M_n(\mathbb Z) は、$$n\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}2$$n\ge2 のとき可換かかんではない。つまり、$$AB\ne BA$$AB\ne BA となる行列ぎょうれつ $$A,B$$A,B が存在そんざいする。このため、環かんの計算けいさんでは乗法じょうほうの順序じゅんじょを勝手かってに入いれ替かえてはいけない。可換環かかんかんであることを使つかう議論ぎろんでは、その仮定かていを明示めいじすることが重要じゅうようである。

9まとめ

環かんringは、加法かほうの可換群かかんぐんと乗法じょうほうのモノイドを分配法則ぶんぱいほうそくdistributive lawで結むすんだ代数的構造だいすうてきこうぞうalgebraic structureである。整数せいすうinteger、多項式たこうしきpolynomial、剰余類じょうよるいresidue class、行列ぎょうれつmatrixを同おなじ言葉ことばで扱あつかえる。乗法逆元じょうほうぎゃくげんは全すべての元げんに要求ようきゅうせず、逆元ぎゃくげんをもつ元げんだけを単元たんげんとよぶ。次つぎは、商環しょうかんを作つくるためのイデアルを学まなぶ。