群ぐんgroupの基本きほん

群ぐんは、操作そうさを合成ごうせいし、必要ひつようなら元げんに戻もどせる構造こうぞうである。整数せいすうの足たし算ざん、剰余類じょうよるいの足たし算ざん、図形ずけいの回転かいてん、可逆行列かぎゃくぎょうれつの積せきは見みた目めが違ちがう。しかし、どれも閉包性へいほうせいを含ふくむ二項演算にこうえんざんと、結合法則けつごうほうそく・単位元たんいげん・逆元ぎゃくげんを持もつ。

1群ぐんの定義ていぎ

集合しゅうごう $$G$$G と二項演算にこうえんざん $$\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}:G\times G\to G$$\ast:G\times G\to G の組くみ $$(G,\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]})$$(G,\ast) が群ぐんであるとは、次つぎを満みたすことである。$$\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}$$\ast が二項演算にこうえんざんであることに閉包性へいほうせいはすでに含ふくまれる。

この $$e$$e に対たいして、

最初さいしょの等式とうしきは任意にんいの $$a,b,c\in G$$a,b,c\in G に対たいする結合法則けつごうほうそく、続つづく二ふたつは単位元たんいげんと、その同おなじ単位元たんいげんに対たいする各元かくげんの逆元ぎゃくげんの存在そんざいを表あらわす。

2何故なぜこれらの条件じょうけんか

閉包性へいほうせいは、演算えんざんの結果けっかが同おなじ世界せかいに残のこることを保証ほしょうする。結合法則けつごうほうそくは、操作そうさを何なに回かいも続つづけるときに括弧かっこの位置いちを気きにしなくてよいことを保証ほしょうする。単位元たんいげんは何なにもしない操作そうさであり、逆元ぎゃくげんは操作そうさを取とり消けす操作そうさである。

これらの条件じょうけんがあると、方程式ほうていしき

を

と一意いちいに解とける。実際じっさい、左ひだりから $$a^{-1}$$a^{-1} を演算えんざんすると

となり、$$x=a^{-1}\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}b$$x=a^{-1}\ast b を得える。つまり任意にんいの解かいはこの値あたいに等ひとしいので一意いちいである。逆ぎゃくにこの値あたいを代入だいにゅうすれば $$a\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}\left(a^{-1}\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}b\right)=\left(a\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}{a}^{-1}\right)\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}b=e\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}b=b$$a\ast(a^{-1}\ast b)=(a\ast a^{-1})\ast b=e\ast b=b であり、実際じっさいに解かいになる。非可換群ひかかんぐんでは掛かける側がわが重要じゅうようであり、$$x\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}a=b$$x\ast a=b の解かいは $$x=b\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ast")")]}{a}^{-1}$$x=b\ast a^{-1} となる。

3可換群かかんぐん

全すべての $$a,b\in G$$a,b\in G について

が成立せいりつする群ぐんを可換群かかんぐんabelian groupという。整数せいすうの足たし算ざんは可換かかんである。一方いっぽう、置換ちかんの合成ごうせいや行列積ぎょうれつせきは一般いっぱんに可換かかんでない。

ここでは、置換ちかんは集合しゅうごうの元げんを入いれ替かえる操作そうさ、行列積ぎょうれつせきは非可換ひかかんな演算えんざんの例れいとしてだけ使つかう。

4基本きほん例れい

$$R^{\times }$$\mathbb R^\times は 0 でない実数じっすう全体ぜんたいである。0 を除のぞくのは、0 に乗法逆元じょうほうぎゃくげんがないからである。

$$S_n$$S_n は $$\{1,\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("dots")")]},n\}$$\{1,\dots,n\} から自分自身じぶんじしんへの全単射ぜんたんしゃ、つまり置換ちかんの全体ぜんたいである。$$G{L}_n\left(\mathbb{R}\right)$$GL_n(\mathbb R) は積せきに関かんして逆元ぎゃくげんを持もつ $$n\times n$$n\times n 実じつ行列ぎょうれつの全体ぜんたいである。行列ぎょうれつの詳くわしい計算けいさんは、このページの証明しょうめいの前提ぜんていにはしない。

$$S_n$$S_n では、全単射ぜんたんしゃの合成ごうせいは全単射ぜんたんしゃであり、写像しゃぞうの合成ごうせいは結合的けつごうてきである。恒等写像こうとうしゃぞうが単位元たんいげんで、全単射ぜんたんしゃには逆写像ぎゃくしゃぞうがある。$$G{L}_n\left(\mathbb{R}\right)$$GL_n(\mathbb R) では、$$A,B$$A,B が可逆かぎゃくなら $$(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} なので積せきも可逆かぎゃくである。行列積ぎょうれつせきの結合法則けつごうほうそく、単位行列たんいぎょうれつ、逆行列ぎゃくぎょうれつと合あわせて群ぐんの条件じょうけんが揃そろう。

5何なにを変かえて何なにを保存ほぞんするか

群ぐんとして見みると、元げんの具体的ぐたいてきな姿すがたは重要じゅうようでなくなる。整数せいすう、置換ちかん、行列ぎょうれつは別物べつものである。しかし、演算えんざんを繰くり返かえせること、単位元たんいげんがあること、逆元ぎゃくげんで戻もどせることは共通きょうつうしている。この共通構造きょうつうこうぞうを保存ほぞんして議論ぎろんするのが群論ぐんろんである。

6証明しょうめい補足ほそく：単位元たんいげん・逆元ぎゃくげん・消去法則しょうきょほうそく

群ぐんgroup では、単位元たんいげんは一意いちいである。$e$e と $e^{\prime }$e' がどちらも単位元たんいげんだとする。$e$e は単位元たんいげんなので $e{e}^{\prime }=e^{\prime }$ee'=e' であり、$e^{\prime }$e' は単位元たんいげんなので $e{e}^{\prime }=e$ee'=e である。したがって $e=e^{\prime }$e=e' である。

逆元ぎゃくげんも一意いちいである。$b$b と $c$c がどちらも $a$a の逆元ぎゃくげんだとする。つまり $ab=e$ab=e、$ca=e$ca=e である。このとき

である。ここで結合法則けつごうほうそくを使つかっている。

さらに、群ぐんでは消去法則しょうきょほうそくcancellation law が成立せいりつする。

および

である。最初さいしょの式しきは、左ひだりから $a^{-1}$a^{-1} を掛かけると

である。結合法則けつごうほうそくより $\left(a^{-1}a\right)b=\left(a^{-1}a\right)c$(a^{-1}a)b=(a^{-1}a)c、つまり $eb=ec$eb=ec となる。したがって $b=c$b=c である。二ふたつ目めも右みぎから $a^{-1}$a^{-1} を掛かければ同様どうように従したがう。

この証明しょうめいは、群ぐんで「逆ぎゃくに戻もどせる」ことが、方程式ほうていしきを解とく力ちからになっていることを示しめしている。

7演習えんしゅうリンク

8まとめ

群ぐんは、結合法則けつごうほうそくを満みたす二項演算にこうえんざんと、単位元たんいげん・各元かくげんの逆元ぎゃくげんを持もつ代数的構造だいすうてきこうぞうである。群ぐんを学まなぶ理由りゆうは、数かず・置換ちかん・行列ぎょうれつ・対称性たいしょうせいを同おなじ言葉ことばで扱あつかうためである。