部分群ぶぶんぐんsubgroupと生成せいせいgeneration

群ぐんの中なかに、群ぐんとしての構造こうぞうを保たもった小ちいさな部分ぶぶんを見みつけたいことがある。そのような部分集合ぶぶんしゅうごうが部分群ぶぶんぐんである。

部分群ぶぶんぐんは、単たんなる部分集合ぶぶんしゅうごうではない。元げんどうしを演算えんざんしても中なかに残のこり、逆元ぎゃくげんも中なかに残のこる必要ひつようがある。

1部分群ぶぶんぐんの定義ていぎ

群ぐん $$G$$G の部分集合ぶぶんしゅうごう $$H\subseteq G$$H\subseteq G が部分群ぶぶんぐんであるとは、$$H$$H が $$G$$G の演算えんざんを受うけ継ついで群ぐんになることである。

実用上じつようじょうは、次つぎの条件じょうけんで判定はんていできる。

かつ、任意にんいの $$a,b\in H$$a,b\in H について

が成立せいりつするなら、$$H$$H は部分群ぶぶんぐんである。

この判定はんていでは割わり算ざんをしているように見みえるが、群ぐん $$G$$G にある逆元ぎゃくげん $$b^{-1}$$b^{-1} を使つかっている。確認かくにんすべき点てんは、その逆元ぎゃくげんや積せきが小ちいさい集合しゅうごう $$H$$H にも残のこることである。

2具体例ぐたいれい

$$(\mathbb{Z},+)$$(\mathbb Z,+) の中なかで、偶数ぐうすう全体ぜんたい

は部分群ぶぶんぐんである。0 を含ふくみ、偶数ぐうすうどうしの差さは偶数ぐうすうだからである。

一方いっぽう、自然数全体しぜんすうぜんたい $$\mathbb{N}$$\mathbb N は $$(\mathbb{Z},+)$$(\mathbb Z,+) の部分群ぶぶんぐんではない。たとえば 3 は含ふくむが、逆元ぎゃくげん $$-3$$-3 を含ふくまない。

3生成元せいせいげん

群ぐん $$G$$G の部分集合ぶぶんしゅうごう $$A$$A から、$$A$$A の元げんとその逆元ぎゃくげんの有限積ゆうげんせき

として得えられる元げん全体ぜんたいを、$$A$$A が生成せいせいする部分群ぶぶんぐんという。$$r=0$$r=0 の空積くうせきは単位元たんいげん $$e$$e と定さだめるので、$$A=\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("varnothing")")]}$$A=\varnothing のときも $$⟨A⟩=\left\{e\right\}$$\langle A\rangle=\{e\} となる。

と書かく。

一ひとつの元げん $$a$$a で生成せいせいされる群ぐん

を $$a$$a が生成せいせいする巡回部分群じゅんかいぶぶんぐんcyclic subgroupという。ここで $$a^0=e$$a^0=e、$$m>0$$m>0 に対たいして $$a^{-m}=(a^{-1}{)}^m$$a^{-m}=(a^{-1})^m とする。群ぐん $$G$$G が $$G=⟨a⟩$$G=\langle a\rangle と書かけるとき、$$G$$G を巡回群じゅんかいぐんcyclic groupという。

4例れい：剰余類じょうよるいの巡回群じゅんかいぐん

$$(\mathbb{Z}/6\mathbb{Z},+)$$(\mathbb Z/6\mathbb Z,+) では、$$\left[1\right]$$[1] は全体ぜんたいを生成せいせいする。

が $$\left[1\right]$$[1] の繰くり返かえしで得えられるからである。一方いっぽう、$$\left[2\right]$$[2] が生成せいせいする部分群ぶぶんぐんは

である。これが全すべてであることも確たしかめる。$$\left[2\right]$$[2] の任意にんいの整数倍せいすうばいを $$k\left[2\right]$$k[2] と書かき、$$k\in \mathbb{Z}$$k\in\mathbb Z を $$k=3q+r$$k=3q+r、$$r\in \{0,1,2\}$$r\in\{0,1,2\} と書かけば、

は $$\left[0\right],\left[2\right],\left[4\right]$$[0],[2],[4] のいずれかである。逆ぎゃくに、$$q=0$$q=0、$$k=r=0,1,2$$k=r=0,1,2 とすればこの 3 元げんがそれぞれ得えられるので、列挙れっきょした集合しゅうごうと $$⟨\left[2\right]⟩$$\langle[2]\rangle は一致いっちする。

5何なにが保存ほぞんされるか

部分群ぶぶんぐんでは、元げんの群ぐんの演算えんざん、単位元たんいげん、逆元ぎゃくげんがそのまま保たもたれる。変かわるのは、使つかえる元げんの範囲はんいである。生成せいせいでは、少数しょうすうの元げんから閉包性へいほうせいと逆元ぎゃくげんを使つかって、必要最小限ひつようさいしょうげんの部分群ぶぶんぐんを作つくる。

6証明しょうめい補足ほそく：部分群判定法ぶぶんぐんはんていほうと生成部分群せいせいぶぶんぐんの最小性さいしょうせい

$G$G を群ぐん、$H\subseteq G$H\subseteq G を空からでない部分集合ぶぶんしゅうごうとする。もし

が成立せいりつするなら、$H$H は部分群ぶぶんぐんsubgroup である。

証明しょうめいする。$H$H は空からでないので、ある $h\in H$h\in H が存在そんざいする。すると $h{h}^{-1}=e\in H$hh^{-1}=e\in H である。つぎに $x\in H$x\in H とする。$e\in H$e\in H なので、条件じょうけんを $e,x$e,x に使つかうと $e{x}^{-1}=x^{-1}\in H$ex^{-1}=x^{-1}\in H である。最後さいごに $x,y\in H$x,y\in H とする。いま $y^{-1}\in H$y^{-1}\in H が分わかっているので、条件じょうけんを $x,y^{-1}$x,y^{-1} に使つかうと $x(y^{-1}{)}^{-1}=xy\in H$x(y^{-1})^{-1}=xy\in H である。よって $H$H は単位元たんいげん、逆元ぎゃくげん、積せきについて閉とじている。結合法則けつごうほうそくは $$G$$G の演算えんざんからそのまま受うけ継つぐので、$$H$$H は群ぐん、すなわち部分群ぶぶんぐんである。

有限積ゆうげんせきの集合しゅうごうは、空積くうせき $$e$$e を含ふくみ、二ふたつの有限積ゆうげんせきの因子いんしを順じゅんに並ならべれば積せきになり、因子いんしを逆順ぎゃくじゅんにしてそれぞれを逆元ぎゃくげんにすれば逆元ぎゃくげんになる。結合法則けつごうほうそくは $$G$$G から受うけ継つぐので、これは部分群ぶぶんぐんである。

生成部分群せいせいぶぶんぐん $⟨S⟩$\langle S\rangle は、$S$S を含ふくむすべての部分群ぶぶんぐんの共通部分きょうつうぶぶんとしても定義ていぎできる。

この共通部分きょうつうぶぶんは部分群ぶぶんぐんである。なぜなら、単位元たんいげんはすべての $H$H に含ふくまれ、積せきと逆元ぎゃくげんも各かく $H$H の中なかで閉とじているからである。また、どの $H$H も $S$S を含ふくむので、共通部分きょうつうぶぶんも $S$S を含ふくむ。さらに $S$S を含ふくむ任意にんいの部分群ぶぶんぐん $K$K は、交まじわりを取とる対象たいしょうの一ひとつなので、$⟨S⟩\subseteq K$\langle S\rangle\subseteq K である。よって $⟨S⟩$\langle S\rangle は $S$S を含ふくむ最小さいしょうの部分群ぶぶんぐんである。先さきに定義ていぎした有限積ゆうげんせきの集合しゅうごうは $$S$$S を含ふくむ部分群ぶぶんぐんなので、この共通部分きょうつうぶぶんを含ふくむ。一方いっぽう、$$S$$S を含ふくむどの部分群ぶぶんぐんも $$S$$S の元げんと逆元ぎゃくげんの有限積ゆうげんせきを全すべて含ふくむ。したがって二ふたつの定義ていぎは一致いっちする。

7計算けいさん補足ほそく：$$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$$\mathbb Z/n\mathbb Z で $$\left[k\right]$$[k] が生成せいせいする部分群ぶぶんぐん

$$n\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("ge")")]}1$$n\ge1、$$k\in \mathbb{Z}$$k\in\mathbb Z とする。有限群ゆうげんぐんやその部分群ぶぶんぐんの位数いすうorderとは、その元げんの個数こすうである。加法群かほうぐん $$(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z},+)$$(\mathbb Z/n\mathbb Z,+) で $$\left[k\right]$$[k] が生成せいせいする部分群ぶぶんぐんの元げんは

である。この列れつが初はじめて $$\left[0\right]$$[0] に戻もどる正せいの整数せいすう $$m$$m は、$$n\mid mk$$n\mid mk を満みたす最小さいしょうの $$m$$m である。$$d=\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("gcd")")]}(n,k)$$d=\gcd(n,k)、$$n=d{n}^{\prime }$$n=dn'、$$k=d{k}^{\prime }$$k=dk' と書かくと $$\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("gcd")")]}(n^{\prime },k^{\prime })=1$$\gcd(n',k')=1 であり、

となる。最後さいごの同値どうちを確認かくにんする。$$\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("gcd")")]}(n^{\prime },k^{\prime })=1$$\gcd(n',k')=1 なので、ベズーの等式とうしき $$u{n}^{\prime }+v{k}^{\prime }=1$$un'+vk'=1 を満みたす整数せいすう $$u,v$$u,v がある。$$n^{\prime }\mid m{k}^{\prime }$$n'\mid mk' なら $$m=mu{n}^{\prime }+mv{k}^{\prime }$$m=mun'+mvk' の右辺うへんの両項りょうこうを $$n^{\prime }$$n' が割わるので、$$n^{\prime }\mid m$$n'\mid m である。逆向ぎゃくむきは明あきらかである。したがって最小さいしょうの $$m$$m は $$n^{\prime }=n/d$$n'=n/d である。

さらに、$$0\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("le")")]}i<j<m$$0\le i<j<m で $$\left[ik\right]=\left[jk\right]$$[ik]=[jk] なら $$\left[\right(j-i\left)k\right]=\left[0\right]$$[(j-i)k]=[0] となり、$$0<j-i<m$$0<j-i<m が $$m$$m の最小性さいしょうせいに矛盾むじゅんする。よって $$\left[0\right],\left[k\right],\dots ,\left[\right(m-1\left)k\right]$$[0],[k],\ldots,[(m-1)k] は相異あいことなる。$$\left[mk\right]=\left[0\right]$$[mk]=[0] なのでその後あとは周期しゅうき $$m$$m で繰くり返かえす。したがって

である。

たとえば $$\mathbb{Z}/12\mathbb{Z}$$\mathbb Z/12\mathbb Z で $$\left[8\right]$$[8] を考かんがえると、$$\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("gcd")")]}(12,8)=4$$\gcd(12,8)=4 なので生成せいせいされる部分群ぶぶんぐんの位数いすうは $$12/4=3$$12/4=3 である。実際じっさい、

である。

8演習えんしゅうリンク

9まとめ

部分群ぶぶんぐんは、群ぐんの構造こうぞうを保たもったまま元げんを制限せいげんしたものである。生成せいせいは、指定していした元げんから閉とじた最小さいしょうの部分群ぶぶんぐんを作つくる操作そうさであり、巡回群じゅんかいぐんは一ひとつの元げんで生成せいせいされる群ぐんである。