直積集合ちょくせきしゅうごうCartesian productとべき集合しゅうごうpower set - 基本演習きほんえんしゅう

1対応たいおうする講義こうぎlecture

2演習えんしゅう方針ほうしん

直積集合ちょくせきしゅうごうCartesian productでは順序じゅんじょorderを確認かくにんし、べき集合しゅうごうpower setでは $$\in$$\in と $$\subseteq$$\subseteq の階層かいそうを区別くべつする。

3問題もんだい 1

$$A=\{0,1\}$$A=\{0,1\}、$$B=\{a,b\}$$B=\{a,b\} とする。$$A\times B$$A\times B と $$B\times A$$B\times A を書かき出だせ。

3.1解答かいとう

$$A\times B=\left\{\right(0,a),(0,b),(1,a),(1,b\left)\right\}$$A\times B=\{(0,a),(0,b),(1,a),(1,b)\} である。$$B\times A=\left\{\right(a,0),(a,1),(b,0),(b,1\left)\right\}$$B\times A=\{(a,0),(a,1),(b,0),(b,1)\} である。

3.2解説かいせつ

順序対じゅんじょついordered pairでは第だい 1 成分せいぶんと第だい 2 成分せいぶんを区別くべつする。したがって一般いっぱんに $$A\times B$$A\times B と $$B\times A$$B\times A は一致いっちしない。

3.3よくある誤あやまり

$$(0,a)$$(0,a) と $$(a,0)$$(a,0) を同おなじものとして扱あつかう誤あやまりである。

4問題もんだい 2

$$\left|A\right|=3$$|A|=3、$$\left|B\right|=4$$|B|=4 で、どちらも有限集合ゆうげんしゅうごうfinite setとする。$$|A\times B|$$|A\times B| を求もとめよ。

4.1解答かいとう

$$A$$A からの選択せんたくが 3 通とおり、$$B$$B からの選択せんたくが 4 通とおりある。したがって $$|A\times B|=3·4=12$$|A\times B|=3\cdot4=12 である。

4.2解説かいせつ

直積集合ちょくせきしゅうごうCartesian productの元げんelementは $$(a,b)$$(a,b) であり、2 段階だんかいの選択せんたくで決きまる。

4.3よくある誤あやまり

$$\left|A\right|+\left|B\right|=7$$|A|+|B|=7 と足たしてしまう誤あやまりである。直積ちょくせきは「同時どうじに選えらぶ」ので掛かけ算ざんになる。

5問題もんだい 3

$$A=\{1,2\}$$A=\{1,2\} とする。$$\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("mathcal")")]}P\left(A\right)$$\mathcal P(A) を書かき出だせ。

5.1解答かいとう

$$A$$A の部分集合ぶぶんしゅうごうsubsetは $$\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("varnothing")")]},\left\{1\right\},\left\{2\right\},\{1,2\}$$\varnothing,\{1\},\{2\},\{1,2\} である。したがって $$\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("mathcal")")]}P\left(A\right)=\{\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("varnothing")")]},\{1\},\{2\},\{1,2\left\}\right\}$$\mathcal P(A)=\{\varnothing,\{1\},\{2\},\{1,2\}\} である。

5.2解説かいせつ

べき集合しゅうごうpower setの元げんelementは、元もとの集合しゅうごうsetの部分集合ぶぶんしゅうごうsubsetである。

5.3よくある誤あやまり

$$\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("mathcal")")]}P\left(A\right)=\{1,2\}$$\mathcal P(A)=\{1,2\} と書かく誤あやまりである。これは $$A$$A 自身じしんであって、べき集合しゅうごうpower setではない。

6問題もんだい 4

$$A=\{1,2\}$$A=\{1,2\} とする。$$1\in \text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("mathcal")")]}P\left(A\right)$$1\in\mathcal P(A)、$$\left\{1\right\}\in \text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("mathcal")")]}P\left(A\right)$$\{1\}\in\mathcal P(A)、$$\left\{1\right\}\subseteq A$$\{1\}\subseteq A の真偽しんぎを判定はんていせよ。

6.1解答かいとう

$$1\in \text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("mathcal")")]}P\left(A\right)$$1\in\mathcal P(A) は偽ぎである。$$1$$1 は $$A$$A の元げんelementだが、$$A$$A の部分集合ぶぶんしゅうごうsubsetではない。

$$\left\{1\right\}\in \text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("mathcal")")]}P\left(A\right)$$\{1\}\in\mathcal P(A) は真しんである。$$\left\{1\right\}$$\{1\} は $$A$$A の部分集合ぶぶんしゅうごうsubsetだからである。

$$\left\{1\right\}\subseteq A$$\{1\}\subseteq A も真しんである。

6.2解説かいせつ

この問題もんだいは、元げんelementとしての $$1$$1 と、集合しゅうごうsetとしての $$\left\{1\right\}$$\{1\} を区別くべつする練習れんしゅうである。

6.3よくある誤あやまり

$$1$$1 と $$\left\{1\right\}$$\{1\} を同一視どういつしする誤あやまりである。

7問題もんだい 5

$$\left|A\right|=n$$|A|=n の有限集合ゆうげんしゅうごうfinite setについて、$$\left|\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("mathcal")")]}P\right(A\left)\right|=2^n$$|\mathcal P(A)|=2^n となる理由りゆうを説明せつめいせよ。

7.1解答かいとう

$$A$$A の各かく元げんelementについて、部分集合ぶぶんしゅうごうsubsetに入いれるか入いれないかの 2 通とおりを選えらぶ。$$n$$n 個この元げんelementについて独立どくりつに選択せんたくするので、総数そうすうは $$2^n$$2^n である。

7.2解説かいせつ

べき集合しゅうごうpower setは、選択せんたくの全体ぜんたいを集あつめた集合しゅうごうsetである。$$n=0$$n=0 の場合ばあいも、$$\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("mathcal")")]}P\left(\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("varnothing")")]}\right)=\left\{\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("varnothing")")]}\right\}$$\mathcal P(\varnothing)=\{\varnothing\} なので $$2^0=1$$2^0=1 と整合せいごうする。

7.3よくある誤あやまり

$$\left|\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("mathcal")")]}P\right(A\left)\right|=2n$$|\mathcal P(A)|=2n と考かんがえる誤あやまりである。各かく元げんelementについて 2 択たくを掛かけ合あわせるため $$2^n$$2^n である。

8証明しょうめい演習えんしゅう：直積ちょくせきCartesian productとべき集合しゅうごうpower setの保存性ほぞんせい

8.1問題もんだい

つぎを証明しょうめいせよ。

また、$$A\subseteq A^{\prime }$$A\subseteq A'、$$B\subseteq B^{\prime }$$B\subseteq B' なら

であることを証明しょうめいせよ。

8.2解答かいとう

$$A\subseteq B$$A\subseteq B とする。$$X\in \text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("mathcal")")]}P\left(A\right)$$X\in\mathcal{P}(A) なら $$X\subseteq A$$X\subseteq A である。したがって $$X\subseteq B$$X\subseteq B であり、$$X\in \text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("mathcal")")]}P\left(B\right)$$X\in\mathcal{P}(B) である。

逆ぎゃくに $$\text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("mathcal")")]}P\left(A\right)\subseteq \text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("mathcal")")]}P\left(B\right)$$\mathcal{P}(A)\subseteq\mathcal{P}(B) とする。$$a\in A$$a\in A なら $$\left\{a\right\}\subseteq A$$\{a\}\subseteq A なので $$\left\{a\right\}\in \text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("mathcal")")]}P\left(A\right)$$\{a\}\in\mathcal{P}(A) である。よって $$\left\{a\right\}\in \text{[PARSE ERROR: Undefined("Command("mathcal")")]}P\left(B\right)$$\{a\}\in\mathcal{P}(B) となり、$$a\in B$$a\in B である。したがって $$A\subseteq B$$A\subseteq B である。

$$(a,b)\in A\times B$$(a,b)\in A\times B とする。$$a\in A$$a\in A かつ $$b\in B$$b\in B である。$$A\subseteq A^{\prime }$$A\subseteq A'、$$B\subseteq B^{\prime }$$B\subseteq B' より $$a\in A^{\prime }$$a\in A'、$$b\in B^{\prime }$$b\in B' なので、$$(a,b)\in A^{\prime }\times B^{\prime }$$(a,b)\in A'\times B' である。

8.3解説かいせつ

べき集合しゅうごうpower setは部分集合ぶぶんしゅうごうsubsetを要素ようそにするため、包含ほうがんinclusionの情報じょうほうをもう一ひと段だん上うえの集合しゅうごうsetへ移うつしている。直積ちょくせきCartesian productは各成分かくせいぶんごとに包含ほうがんを確認かくにんすればよい。